科技论文写作大作业小波变换图像去噪综述 院系： 班级： 学号： 姓名：
摘要小波图象去噪已经成为目前图象去噪的主要方法之一.在对目前小波去噪文献进行理解和综合的基础上,首先通过对小波去噪问题的描述,揭示了小波去噪的数学背景和滤波特性;接着分别阐述了目前常用的3类小波去噪方法,并从小波去噪中常用的小波系数模型、各种小波变换的使用、小波去噪和图象压缩之间的联系、不同噪声场合下的小波去噪等几个方面,对小波图象去噪进行了综述;最后,基于对小波去噪问题的理解,提出了对小波去噪方法的一些展望 关键词：小波去噪小波萎缩小波变换图象压缩 1.前言 在信号数据采集及传输时，不仅能采集或接收到与所研究的问题相关的有效信号，同时也会观测到各种类型的噪声。在实际应用中，为降低噪声的影响，不仅应研究信号采集的方式方法及仪器的选择，更重要的是对已采集或接收的信号寻找最佳的降噪处理方法。对于信号去噪方法的研究可谓是信号处理中一个永恒的话题。传统的去噪方法是将被噪声污染的信号通过一个滤波器，滤除掉噪声频率成分。但对于瞬间信号、宽带噪声信号、非平稳信号等，采用传统方法具有一定的局限性。其次还有傅里叶(Fourier)变换也是信号处理中的重要手段。这是因为信号处理中牵涉到的绝大部分都是语音或其它一维信号，这些信号可以近似的认为是一个高斯过程，同时由于信号的平稳性假设，傅立叶交换是一个很好的信号分析工具。但也有其不足之处，给实际应用带来了困难。 小波变换是继Fourier变换后的一重大突破，它是一种窗口面积恒定、窗口形状可变(时间域窗口和频率域窗口均可改变)的时频局域化分析方法，它具有这样的特性；在低频段具有较高的频率分辨率及较低的时间分辨率，在高频段具有较高的时间分辨率及较低的频率分辨率，实现了时频窗口的自适应变化，具有时频分析局域性。小波变换的一个重要应用就是图像信号去噪。将小波变换用于信号去噪，它能在去噪的同时而不损坏信号的突变部分。在过去的十多年，小波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注。本文阐述小波图像去噪方法的原理，概括目前的小波图像去噪的主要方法，最后对小波图像去噪方法的发展和应用进行展望。 2小波图像去噪的原理 所谓小波变化，即:
小波分析在信号去噪中的应用 摘要：利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对几种去噪方法不同阀值的选取比对分析和基于MATLAB 信号去噪的仿真试验，比较各种阀值选取队去噪效果的影响。 关键词：小波去噪；阀值；MATLAB 工具 1、 小波去噪模型的建立 如果一个信号被噪声污染后为，那么基本的噪声模型就可以表示为()f n ()s n ()()() s n f n e n σ=+式中：为噪声；为噪声强度。最简单的情况下为高斯白噪声，且=1。()e n σ()e n σ小波变换就是要抑制以恢复，从而达到去除噪声的目的。从统计学的()e n ()f n 观点看，这个模型是一个随时间推移的回归模型，也可以看作是在正交基上对函数无参估计。小波去噪通常通过以下3个步骤予以实现： ()f n a)小波分解； b)设定各层细节的阈值，对得到的小波系数进行阈值处理； c)小波逆变换重构信号。 小波去噪的结果取决于以下2点： a)去噪后的信号应该和原信号有同等的光滑性； b)信号经处理后与原信号的均方根误差越小，信噪比越大，效果越好。 如何选择阈值和如何利用阈值来量化小波系数，将直接影响到小波去噪结果。 2、小波系数的阈值处理 2．1由原始信号确定阈值 小波变换中，对各层系数降噪所需的阈值一般是根据原信号的信噪比来决定的。在模型里用这个量来表示，可以使用MATLAB 中的wnoisest 函数计算得到σσ值，得到信号的噪声强度后，根据下式来确定各层的阈值。 thr =式中n 为信号的长度。 2．2基于样本估计的阈值选取 1)无偏似然估计(rigrsure)：是一种基于Stein 无偏似然估计原理的自适应阈值选择。对于给定的阈值T ，得到它的似然估计，再将似然T 最小化，就得到了所选的阈值，这是一种软件阈值估计。 2)阈值原则(sqtwlolg)：固定阈值T 的计算公式为。 3)启发式阈值原则(heursure)：是无偏似然估计和固定阈值估计原则的折
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
《小波分析》试题 适用范围：硕士研究生 时 间：2013年6月 一、名词解释（30分） 1、线性空间与线性子空间 解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （） 。an ...a a 11，，，3、内积 解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。，()T n x x x x ,...,,21= ，令，称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性（linearity ）：对任意 f ， g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product ）：
摘要 小波变换归属于数学领域的调和函数的范畴，是调和分析几十年来的一个突破性进展，并且在很多科技领域内得到了广泛应用。本文旨在探讨小波变换理论，并结合专业中的地震信号去噪展开研究。 论文以小波变换为核心，首先介绍了论文研究的目的、意义及主要研究内容，由此引出了小波变换理论，并对其原理做了详细阐述。这不仅包括连续小波，离散小波，多分辨率分析方法还包括与传统傅氏变换等的对比，从而在理论上明确其性能特点的优越性。本文选定了小波阈值去噪方法。由此结合给定的信号应用matlab 进行处理，并通过对比处理结果为本文后面的处理工作选定合适的参数。从所做例子来看，小波阈值处理达到了很好的去噪效果。论文应用matlab 模拟微地震信号，结合小波阈值去噪方法对微地震信号进行了处理。在文中给出了信号的原始模拟信号，加噪信号及处理后的效果图，从图中可以看出，小波阈值去噪完成了模拟微地震信号的去噪处理。另外，对实际的微地震资料进行了试处理，达到了去噪的目的。 关键词：小波变换；去噪；微地震；分解；重构
ABSTRACT The wavelet transform attributables to the mathematical field of harmonic function areas, it’s a breakthrough progress, and in many areas of science and technology has been widely used. This study aims to explore wavelet transform theory, and the combination of professional study of seismic signal de-noising. Papers to wavelet transform at the core, first of all, on paper the purpose of thestudy, the significance and major research content, which leads to the wavelettransform theory, and its principles expounded in detail.This includes not only thecontinuous wavelet, wavelet, multire solution analysis methods include traditional Fourier transform contrast, in theory, clear the superiority of its performance characteristics. The paper selected through comparative study of wavelet de-noising threshold method.This combination of a given signal processing applications matlab,and by comparing the results of this paper to the back of the appropriate handling of the selected parameters. From doing example, wavelet thresholding to deal with a very good de-noising effect. Papers matlab simulated micro-seismic signal applications, wavelet de-noising threshold with this method micro-seismic signal processing. In this paper the original analog signal, the signal plus noise and the effects of treatment plans, as can be seen from Fig, wavelet de-noising threshold completed micro-seismic signal de-noising analog processing. Key words: wavelet；de-noising；micro-seismic；decompose；compose
基于小波分析的信号去噪技术 [摘要] 介绍了小波变换的基本思想和优点及多分辨率分析的过程, 并在MA TLAB 下利用小波变换工具箱, 编写程序实现信号去噪处理。充分显示了小波变换在处理非平稳信号中的优势。 [关键词] 小波变换 信号去噪 模极大值 李普西兹指数 在通信及计算机过程控制系统中，对信号进行实时采样是很重要的环节。但由于信号在激励、传输和检测过程中，可能不同程度地受到随机噪声的污染，特别在小信号采集和测量中，噪声干扰显得尤其严重。因此，如何消除实际信号中的噪声，从混有噪声的信号中提取有用信息一直是信息学科研究的焦点之一。傅里叶变换是一种经典方法，适用于诸多场合。但由于傅里叶变换是一种全局变换，无法表述信号的时域局部性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了更有效地处理非平稳信号，人们提出了小波变换这种新的信号分析理论。小波变换是一种信号的时频分析，它具有多分辨率的特点，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，被誉为分析信号的显微镜。本文主要讨论应用小波变换的理论，利用Matlab 软件在计算机上实现了信号的噪声消除，从混有噪声的实际信号中提取了原始信号，具有非常实用的意义。 1.小波变换与多分辨率分析 设ψ是定义在(-,+)∞∞上能量有限的函数，Ψ构成平方可积信号空间，记为Ψ∈L2(R)，则生成函数族{ ab ψ }： 1/2()||()ab t b t a a --ψ=ψ ,0b a -∞<<+∞> （1） Ψ(t)称为小波函数，()ab t ψ由Ψ(t)伸缩和平移生成，为小波基函数。a 为伸缩因子，b 为平移因子。对任一信号()f i ∈L2(R)的连续小波变换可定义为信号与小波基函数的内积： 1/ 2 (();,),||()ab R t b WT f t a b f a dt a --=<ψ>=ψ? （2）
一、小波分析基本原理： 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。相关原理详见附件资料和系统设计书。 注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。本人找到了相对好理解些的两个外文的资料： Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf 二、搜索到的小波分析源码简介 （仅谈大体印象，还待继续研读）： １、83421119WaveletVCppRes.rar 源码类型：VC++程序 功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。 说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序） 源码类型：fortran程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。 ３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份 功能是：气象应用。用小波分析方法对太平洋温度的南方涛动指数进行分析。 说明：用的是Morlet和墨西哥帽小波。程序编写规范，思路清晰，但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ４、Morlet小波变换源程序.rar 源码类型：matlab程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。
文章编号：1006-7043（2000）04-0021-03 基于小波变换的去噪方法 林克正 李殿璞 （哈尔滨工程大学自动化学院，黑龙江哈尔滨150001） 摘 要：分析了信号与噪声在小波变换下的不同特点，提出了基于小波变换的去噪方法，且将该去噪算法 用算子加以描述，给出了具体实例.小波变换硬阈值去噪法和软阈值去噪法的性能比较及仿真实验，表明基于小波变换的去噪方法是非常有效的.!关 键 词：小波变换；去噪；奇异性检测；多尺度分析 中图分类号：TN911.7 文献标识码：A Denoising Method Based on Wavelet Transform Lin Ke-zheng Li Dian-pu （Automation Coiiege ，Harbin Engineering University ，Harbin 150001，China ） Abstract ：This paper anaiyzes the different characteristics of noise and signai under waveiet transform and proposes the denoising method based on waveiet transform.The denoising aigorithm based on waveiet transform are described with some operators.Some exampies are demonstrated.The performance of denoising with hard and soft threshoid method based on waveiet transform are compared in computer simuiation.The simuiation shows that the denoising method based on waveiet transform is very effective. Key words ：waveiet transform ；denoising ；singuiarity detection ；muitiresoiution anaiysis 提取掩没在噪声中的信号是信号处理的一项重要课题.实际的信号总是含有噪声的，当待检测信号的输入信噪比很低，各种噪声幅值大、分布广，而干扰信号又与真实信号比较接近时，用传统的时域或频域滤波往往不能取得预期效果.D.L.Donoho 提出的非线性小波方法从噪声中提取信号 效果最明显［2-5］ ，并且在概念上也有别于其它方 法，其主要思想有局部极大值阈值法、全局单一阈 值法［3］和局部SURE 多阈值法［4］ .在此基础上，本文首先分析了信号和噪声在小波变换下的不同特 性，据此可有效地从噪声信号检出有用的信号，用算子的形式对基于小波变换的去噪方法进行了统一的描述，并提出了一种可浮动的自适应阈值选取方法. 1 小波分析基础 1.1 信号的小波变换 ［1］ 设母波函数是!（t ），伸缩和平移因子分别为a 和6，小波基函数!a ，6（t ） 定义为!a ， 6（t ）=1! a !（t -6 a ）（1）式中，6"R ，a "R -｛0｝. 函数f （t ）" 2 （R ） 的小波变换W a ，6（f ）定义为 W a ，6（f ）=
%应用db5作为小波函数进行3层分解 %利用无偏似然估计阈值 %对100.dat from MIT-BIH-DB的单导联数据进行去噪处理clear;clc load('D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat'); E=M(:,2); E=E'; n=size(E); s=E(1:2000); %小波分解 [C L]=wavedec(E,3,'db5'); % 从c中提取尺度3下的近似小波系数 cA3=appcoef(C,L,'db5',3); %从信号c中提取尺度1,2,3下的细节小波系数 cD1=detcoef(C,L,1); cD2=detcoef(C,L,2); cD3=detcoef(C,L,3); %使用stein的无偏似然估计原理进行选择各层的阈值 %cD1,cD2,cD3为各层小波系数， %'rigrsure’为无偏似然估计阈值类型 thr1=thselect(cD1,'rigrsure'); thr2=thselect(cD2,'rigrsure'); thr3=thselect(cD3,'rigrsure'); %各层的阈值 TR=[thr1,thr2,thr3]; %'s'为软阈值;'h'硬阈值。 SORH='s'; %---------去噪---------------- %XC为去噪后信号 %[CXC,LXC]为的小波分解结构 %PERF0和PERF2是恢复和压缩的范数百分比。 %'lvd'为允许设置各层的阈值, %'gbl'为固定阈值。 %3为阈值的长度 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERF2]=wdencmp('lvd',E, ...'db5',3,TR,SORH); %---------去噪效果衡量（SNR越大效果越好, %MSE越小越好）------------------------ %选取信号的长度。 N=n(2); x=E; y=XC; F=0; M=0; for ii=1:N m(ii)=(x(ii)-y(ii))^2; t(ii)=y(ii)^2; f(ii)=t(ii)/m(ii); F=F+f(ii);
小波分析浅析 —— 李继刚 众所周知，以π2为周期的复杂的波都可以用以π2为周期的函数)(t f （模拟信号）来描述，它可以由形如)sin(n n nt A θ+的若干谐波叠加而成，因此，完全有理由认为)(t f 有如下的表现形式： ∑ ∑ ∑ ∞ =∞ =∞ =+= += += ) sin cos ()cos sin cos sin ()sin()(n n n n n n n n n n n nt b nt a nt A nt A nt A t f θθθ 为了确定上式中的系数n n b a ,，可以利用Fourier 变换，可以得到函数)(t f 的Fourier 级数，即 ??? ? ? ? ? ?? ====++=??∑--+∞ =π πππππ.,2,1,sin )(1,,1,0,cos )(1),sin cos (2)(1 0 n ntdt t f b n ntdt t f a nt b nt a a t f n n n n n 如果函数以T 为周期，则通过对t 作T w x T t ππ2,2= ?=变换，可以得到函数的Fourier 级数，即 ??? ? ? ? ? ??=?==?=?+?+=??∑--+∞ =π πππ .,2,1,sin )(2,,1,0,cos )(2),sin cos (2)(1 0 n wtdt n t f T b n wtdt n t f T a wt n b wt n a a t f n n n n n 从时域角度来理解Fourier 级数，将}sin ,{cos wt n wt n ??看作是具有频率w n ?的谐波，则时域表现的函数)(t f 可分解为无穷个谐波之和。 从频域角度来理解Fourier 级数，因为)(t f 的频域范围是[)+∞∈,0w ，所以，可将w 轴用间距w ?作离散分化，离散点w n ?处对应着频率为w n ?的谐波}sin ,{cos wt n wt n ??，这样就可将时域函数)(t f 与谐波组成1-1对应关系，即 +∞???0}sin ,cos {)(wt n b wt n a t f n n
1 绪论 1.1概述 小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。 从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。 在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。 而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 全文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场合，各个小波函数各有利弊。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。
基于小波分析的脑电信号去噪方法研究 摘要 小波变换[1]是20世纪 80 年代后期迅速发展起来的新兴学科。它是在傅里叶分析[2]的基础上发展起来的，但小波分析与傅里叶变换有很大的不同。总体来说，傅里叶分析是整体域分析，用单独的时域[3]或频域表示信号的特征；而小波分析是整体域分析，它用时域和频域的联合来表示信号的特征。小波分析的理论和方法在信号处理[4]、图像处理、语音处理、模式识别、量子物理等领域得到越来越广泛的应用，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。信号的采集与传输过程中，不可避免会受到大量噪声信号的干扰，对信号进行去噪，提取出原始信号是一个重要的课题。 本文根据目前的研究课题基于脑电信号的机械外骨骼[5]系统研究与应用，在此研究小波变换在脑电信号去噪中的应用。 关键词小波变换、信号处理、脑电信号、机械外骨骼、小波包分析[6] Abstract Wavelet transform is a new subject in the late twentieth Century 80 developed rapidly. It is developed based on the analysis on Fourier transformation ，but wavelet and Fourier transformation are very different. Overall, Fourier transformation analysis is the whole domain analysis[7], said signal characteristics[8] with single time domain or frequency domain; wavelet analysis is the whole domain analysis, it combined with the time domain and frequency domain to represent the signal features. The theory and method of wavelet analysis has been applied more and more widely in signal processing, image processing, speech processing, pattern recognition, quantum physics and other fields, it is considered a major breakthrough in the tools and methods in recent years. Collection and the process of signal transmission, will inevitably receive a lot of noise signal interference, the signal denoising, extract the original signal is an important topic.
小波分析理论简介 （一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换 1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数 )(t f ，都可以用三角级数表示： )(t f = ∑∞ -∞=k ikt k e C = 20 a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞ =1 sin k k kt b (1) k C = π 21 ? -π 20 )(dt e t f ikt = * ikt e f , (2) k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3) 对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1, T 为测量时间： )(t f =2 0a + )sin cos (12 1∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 2 2cos 21 ω=∑-=1 0N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-== 1 02cos 2 N m m k N km x N a π ，=k 0，1，2，…,2N (5) ∑-== 1 2sin 2N m m k N km x N b π , =k 1,2,…, 2N -1 (6) ∑-=-= 1 )/2(1N m N km i m k e x N C π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7) t N k k ?=π ω2 ，N T t =? (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）： ? ∞ ∞ --= dt e t f f t i ωω)()( =t i e f ω, （9） ωωπ ωd e f t f t i )(21 )(? ∞ ∞ -= (10)
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值
小波去噪常用方法 目前，小波去噪的方法大概可以分为三大类：第一类方法是利用小波变换模极大值原理去噪，即根据信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留信号所对应的模极大值点，然后利用所余模极大值点重构小波系数，进而恢复信号；第二类方法是对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，然后直接重构信号；第三类是小波阈值去噪方法，该方法认为信号对应的小波系数包含有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较多，但幅值小。基于这一思想，在众多小波系数中，把绝对值较小的系数置为零，而让绝对值较大的系数保留或收缩，得到估计小波系数，然后利用估计小波系数直接进行信号重构，即可达到去噪的目的。 1：小波变换模极大值去噪方法 信号与噪声的模极大值在小波变换下会呈现不同的变化趋势。小波变换模极大值去噪方法，实质上就是利用小波变换模极大值所携带的信息，具体地说就是信号小波系数的模极大值的位置和幅值来完成对信号的表征和分析。利用信号与噪声的局部奇异性不一样，其模极大值的传播特性也不一样这些特性对信号中的随机噪声进行去噪处理。 算法的基本思想是，根据信号与噪声在不同尺度上模极大值的不同传播特性，从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的模极大值，然后用剩余的小波变换模极大值重构原信号。小波变换模极大值去噪方法，具有很好的理论基础，对噪声的依赖性较小，无需知道噪声的方差，非常适合于低信噪比的信号去噪。这种去噪方法的缺点是，计算速度慢，小波分解尺度的选择是难点，小尺度下，信号受噪声影响较大，大尺度下，会使信号丢失某些重要的局部奇异性。 2：小波系数相关性去噪方法 信号与噪声在不同尺度上模极大值的不同传播特性表明，信号的小波变换在各尺度相应位置上的小波系数之间有很强的相关性，而且在边缘处有很强的相关
基于小波的图像去噪 一、小波变换简介 在数学上，小波定义卫队给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成： ())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的内积： () dx a b x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ=ψ=?+∞ ∞- （3） 与时域函数对应，在频域上则有：
())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- （3） 可以看出，当|a|减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低，这便是它优于经典傅里叶变换的地方。总体说来，小波变换具有更好的时频窗口特性。 二、图像去噪描述 所谓噪声，就是指妨碍人的视觉或相关传感器对图像信息进行理解或分析的各种因素。通常噪声是不可预测的随机信号。由于噪声影响图像的输入、采集、处理以及输出的各个环节，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响图像处理全过程乃至最终结果，因此抑制噪声已成为图像处理中极其重要的一个步骤。 依据噪声对图像的影响，可将噪声分为加性噪声和乘性噪声两大类。由于乘性噪声可以通过变换当加性噪声来处理，因此我们一般重点研究加性噪声。设f(x,y)力为理想图像，n(x,y)力为噪声，实际输入图像为为g(x,y)，则加性噪声可表示为: g(x,y)= f(x,y)+ n(x,y)， （4） 其中，n(x,y)和图像光强大小无关。 图像去噪的目的就是从所得到的降质图像以g(x,y)中尽可能地去除噪声n(x,y)，从而还原理想图像f(x,y)。图像去噪就是为了尽量减少图像的均方误差，提高图像的信噪比，从而尽可能多地保留图像的特征信息。 图像去噪分为时域去噪和频域去噪两种。传统图像去噪方法如维纳滤波、中值滤波等都属于时域去噪方法。而采用傅里叶变换去噪则属于频域去噪。这些方法去噪的依据是一致的，即噪声和有用信号在频域的不同分布。我们知道，有用信号主要分布于图像的低频区域，噪声主要分布在图像的高频区域，但图像的细节信息也分布在高频区域。这样在去除高频区域噪声的同时，难免使图像的一些细节也变得模糊，这就是图像去噪的一个两难问题。因此如何构造一种既能降低图像噪声，又能保留图像细节特征的去噪方法成为图像去噪研究的一个重大课题。