2006—2007学年第一学期 《本科高等数学(上)》试卷
一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)
1. 设
??
?>≤=1
,01
,1)(x x x f , 则{}=)]([x f f f .
2. 设函数????
???????<+=>-=?0,sin 0,80,)cos 1()(02x x dt
e x b x x x x a x
f x t
连续，则=a ，=b .
3．极限
=
+→x
x x s i n 2
)
31(l i m .
4．设 2)(lim
0=→x x f x ,且)(x f 在0=x 连续,则)0(f '= .
5．设方程0=--y
e y x 确定函数)(x y y =, 则dx dy
= .
6．设
x y x
3cos 2-=, 则dy = .
7．抛物线822
++=x x y 在其顶点处的曲率为 .
8．设)(x f 可导，{})]([x f f f y =，则='y . 9．[]?-=
-+
-+a
a
dx x a x x f x f 22sin )()( .
10．微分方程02=--
'x x y
y 的通解是 .
二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ）
(A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；
(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.
2．极限=
++∞→n n n n 32lim （ ）
(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 5;
3．设常数0>k ，则函数k
e x x x
f +-
=ln )( 在
),0(∞+内零点的个数为（ ）
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
4．设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的( ). (A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.
5．设函数)(x f 二阶可导，且0)(0)(>''>'x f x f ，，令)()(x f x x f y -?+=?，当
0
(A) ;0>>?dy y (B) ;0<?>y dy (D) .0
6．若)()()(+∞<<-∞-=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)(>'x f ，0)(<''x f ，则)
(x f 在),0(∞+内( ). (A) 0)(,0)(<''>'x f x f (B) 0)(,0)(>''>'x f x f (C) 0)(,0)(<''<'x f x f (D) 0)(,0)(>''<'x f x f
7．设)(x f 在
0x x =处二阶可导, 且1)
(lim
-=-'→x x x f x x ,则( ).
(A) 0x 是)(x f 的极大值点; (B) 0x 是)(x f 的极小值点; (C) ))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点; (D) 以上都不是.
8．下列等式中正确的结果是 ( ).
(A)
?=');()(x f dx x f (B) ?=);()(x f dx x df (C) ?=);(])([x f dx x f d (D) ?=');())((x f dx x f
9．下列广义积分收敛的是( ).
(A) ?∞
+e dx x x ln (B) ?∞+e dx x x ln 1
(C) ?∞+e dx x x 2)(ln 1 (D) ?∞+e
dx x x ln 1
10．设)(x f 在a x =的某个领域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是
( ).
(A) 存在)]()1
([lim a f h a f h h -++∞→ (B)存在h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→
(C) 存在h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→ (D)存在h h a f a f h )()(lim 0--→
三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
1. 求不定积分?+-dx x x x
x sin 2cos 5sin 3cos 7
2. 计算定积分.
ln 1?
e e
dx x
3．求微分方程x y y y 234 5 -=+'+''的通解.
四．解答题：（本题共6小题，共37分。）
1．（本题5分）求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在
2π
=
t 处的切线的方程.
2.（本题6分）求曲线
322
3
-+=x x x y 的渐进线.
3．（本题6分）求由曲线1=xy 及直线x y =,2=y 所围成图形面积。
4．（本题6分）证明：对任意实数x ，恒有.11≤-x
xe
5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?
6.（本题8分）设对任意实数.)(0)0(],1)([)(的极值求，且，
x f f x f x x f x =-'=-'
五．（本题8分）设函数)(x f 在闭区间[0,2]上连续，在开区间（0,2）内可导，且满足条
件0)21
()0(==f f ,?=1
21)
2()(2f dx x f
证明：0)()2,0(=''∈?ξξf 使得．
2007—2008学年第一学期 《高等数学》（上）期末试卷
一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分). 1. x x x 2sin )31ln(lim
0-→= .
2. 设函数)(arctan x f y =，其中)(x f 在),0(∞+内可导，则dy = .
3. 设0>a ，则?
-dx
x
a 2
2
21=____________.
4.
?
-+-212
111ln
dx
x x
=__________. 5. ?+π
42sin a a
xdx
= __________.
6. 微分方程 x y y sin 4=+''的通解是 .
二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).
1．设)(x f 为可导的奇函数，且5)(0='x f ，则=-')(0x f （ ）.
(A) 5-； (B) 5； (C) 25； (D) 25
-
.
2. 设函数)(x f 在点0x 的某邻域有定义，则)(x f 在点0x 处可导的充要条件是
（ ）.
（A ）
)(lim )(lim 0
x f x f x x x x +
-
→→=； （B ）
)
()(lim 00
x f x f x x '='→；
（C ）)()(00x f x f +-'='； （D ）函数)(x f 在点0x 处连续.
3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数)(t s ，一条是汽车的速度函数)(t v ，一条是汽车的加速度函数)(t a ，则（ ）.
（A ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v
的图形，曲线c 是)(t a 的图形； （B ） 曲线b 是)(t s 的图形，曲线a 是)(t v 的图形，曲线c 是)(t a 的图形；
（C ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线c 是)(t v 的图形，曲线b 是)(t a 的图形；
（D ） 曲线c 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v 的图形，曲线a 是)(t a 的图形.
4. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数，1x 、)(212x x x <是),(b a 内任意两点，则( ).
（A ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，其中ξ为),(21x x 内任意一点 ；
（B ）至少存在一点),(21x x ∈ξ，使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ； （C ）恰有一点),(21x x ∈ξ，使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ;
（D ）至少存在一点),(21x x ∈ξ，使))()(122
1x x f(ξdx x f x x -=?.
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
.00
,
;
0,)1()( .111的值处连续，求常数在设函数a x x a x e x x f x
x =?????????=≠?
??
??
??+=
2. 求极限 ??? ??-+++∞→n n n n n n πππ)1(sin 2sin sin 1lim .
3. 求定积分
?-41
dx
x x .
4. 求广义积分
?
∞+-+2
2)7(1
dx
x x .
四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1. 设函数)(x y y =是由方程 ??
=2
2
cos x y t tdt
dt e 所确定的函数，求dx dy
.
2．设函数x x
x f sin 1sin 1)(+-=
，求)(x f 的原函数.
3．求微分方程x
e x y y sin cos -=+'的通解．
4．判断曲线
3
3
5x
x
y-
+
=的凸性与拐点.
五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.
1.曲线
y
x=
，
2
2y
x-
=
及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转而成的立体
的体积.
2.求曲线
2
4
1
:x
y
L-
=
位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线L以及两坐标轴所
围图形的面积最小.
3．有一半径为R 的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面h 的地方，求薄板一侧所受的水压力.
六、证明题（本题4分）.
证明方程12
1=++++--x x
x x n n n )4,3,2( =n 在)1,0(内必有唯一实根n x ， 并求n
n x ∞
→lim .
2008—2009学年第一学期
《高等数学》期末考试试卷
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1） 10)(cos lim x x x →
（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.
（3）已知x
x
xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2
)(ln 21
x _____ .
（4）曲线
132+=
x x y 的斜渐近线方程为 _________.91
31-=x y
（5）微分方程5
22(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.
)1()1(32227
+++=x C x y
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ D ）
(A) 01
1
1=?-dx x (B) 21112
-=?-dx x
(C) +∞=?∞+141
dx x (D) +∞=?∞+11dx x
（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.
(A)21,x x 都是极值点.
(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.
（3）函数212e e
e x
x
x
y C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）
23e .x
y y y '''--= （C ）
23e .x y y y x '''+-=
（D ）
23e .x
y y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()
000
lim
h f x f x h h →--为（ A ）.
(A)
()0f x
'. (B) ()0f x '
-. (C) 0. (D)不存在 .
（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.
(A) (())().
f x dx f x '=? (B)
()().=?df x f x
(C) [()]().d f x dx f x =? (D) ()().f x dx f x '=?
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1．求极限
)ln 11(
lim 1
x x x x --→.
解 )ln 11(lim 1x x x x --→=
x x x x x x ln )1(1ln lim 1
-+-→-------1分 =x x x x x ln 1
ln lim
1+-→-------2分 = x x x x
x x ln 1ln lim
1+-→ -------1分
= 211ln 1ln 1lim 1=
+++→x x x -------2分
2.方程???+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2
2dx y d .
解 ,s i n )()(t t t x t y dx dy =''= ----------------------------（3分）
.
sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''=---------------------（6分）
5. 计算不定积分
.
2
22 =2arctan 2 =2C =----------------+---------?分
分
（分
4.计算定积分?++3011dx x x
.
解 ??-+-=++303
0)11(11dx x x x dx x x ?+--=3
0)11(dx x --------- --------------- （3
分）
3
5)
1(3
2
330
23=
++-=x ----------------------------------------- ---------------------（6分）
（或令t x =+1）
四、解答题（本题共4小题，共29分）.
1．（本题6分）解微分方程256x
y y y xe '''-+=.
2122312*20101*223212-56012,31.1()11
1.
21
(1)12
1
(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分
代入解得，所以分
所以所求通解C 分
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．
解：建立坐标系如图
220
322203*********R
R
R
P g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------??
分
）分
[（）]分
分
3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()(
f a f b =
试求()()b
a
xf x f x dx
'?
.
222()()()()21 ()22
1 =[()]()2211
=0222b
b a
a
b
a b b
a a
xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------????解：分
分
分
分
4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成
平面图形D.
(1) 求D 的面积A;
(2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.
解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线
x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是
).(1
ln 00
0x x x x y -+
= ----1分
由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为
.
1x e y =
----1分
平面图形D 的面积
?-=
-=1
.121
)(e dy ey e A y ----2分
（2） 切线
x
e y 1
=
与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为
.
3121e V π= ----2分
曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为
dy
e e V y 21
2)(?-=π， ----1分
因此所求旋转体的体积为
).
3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y π
ππ ----1分
五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数x ，1x
e x ≥+.
解法一：2
112x
e e x x x
ξ=++≥+ 解法二：设
() 1.x
f x e x =--则(0)0.f =------------------------1分 因为
() 1.x
f x e '=-------------------------—————— 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分
当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分
所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x
e x ≥+。------------------------1分 解法三：由微分中值定理得，
01(0)x x e e e e x e x ξξ-=-=-=，其中ξ位于0到x 之间。------------------------2
分
当0x ≥时，1e ξ>，1x
e x -≥。------------------------2分 当0x ≤时，1e ξ<，1x
e x -≥。------------------------2分 所以对于任意的实数x ，1x
e x ≥+。------------------------1分
2009—2010学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末试卷
一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1． 2
1
lim()x
x x e x →-=
2
1e .
2．
()()120051
1x x x x e e dx --+-=
?
e 4
.
3．设函数()y y x =由方程2
1x y
t e dt x +-=?确定，则0
x dy
dx
==
1-e .
4. 设()x f 可导，且
1
()()
x tf t dt f x =?
，1)0(=f ，则()=x f 22
1x e
.
5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为x
e x C C y 221)(-+=.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数0>k ，则函数
k
e x x x
f +-
=ln )( 在
),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）
（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *
=+； （D ）x A y 2sin *
= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
(A) 若[][]b a d c ,,?,则必有
()()??
≤b
a
d
c
dx
x f dx x f ;
(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b
a
f x dx ≥?;
(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()??
+=T
T a a
dx
x f dx x f 0
;
(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则
()0
x t f t dt
?
也为奇函数.
4. 设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分?-2
032
dx
e x x .
解：
??
?----===2
02
020
322121,2
t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2
?
?????
--=?--200221dt e te t t -------2 2
223210221
----=--=e e e t --------2
2．计算不定积分dx x x x ?
5cos sin .
解：
???
???-==???x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3
C x x x x x d x x x +--=+-=
?tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43
4
2
4 -----------3 3．求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在
2π=
t 处的切线的方程. 解：切点为
)
),12
(
(a a -π
-------2
2
π==
t dx dy k 2
)c o s 1(s i n π=-=
t t
a t
a 1= -------2
切线方程为
)
12
(
--=-π
a x a y 即
a
x y )2
2(π
-
+=. -------2
4. 设 ?-=x
dt
t x x F 0
2)cos()(，则
=')(x F )cos()12(cos 22
2x x x x x ---. 5．设
n n n n n x n
n )
2()3)(2)(1( +++=
，求n
n x ∞→lim .
解：
)
1l n (1ln 1∑=+=n i n n i
n x ---------2 ?∑+=+==∞→∞→101)1ln(1
)1ln(lim ln lim dx
x n n i x n i n n n --------------2 =12ln 211
)1ln(1
010-=+-+?dx x x
x x ------------2 故 n n x ∞→lim =
e e
412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=
x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
解：
设切点为
),00y x （，则过原点的切线方程为x
x y 221
0-=
，
由于点
),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22x
y =
-----------------------------3
面积
dy
y y s )222(2
2
?
-+==32
2-------------------3
或 322)22
21(
2
2120
4
2
=
--+=?
?dx x x xdx s
2．设平面图形D 由22
2x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积
.
解： 法一：21V V V -=
[
]
[]
?
??---=-----=10
22
1
210
2
2
)1(12)2()11(2dy
y y
dy y dy y πππ -------6
)
314(201)1(3
1423-=??????--=ππππy --------3 法二：V =
?---1
2)2)(2(2dx
x x x x π
??----=10
10
22)2(22)2(2dx
x x dx x x x ππ ------------------ 5
[]
?--+--=1
0223
4
222)22(π
πdx x x x x x
ππππππ
ππ32213421323
4141201)2(322223
2-=-+=-????????+-=x x ------------- 4
3. 设1,a >at a t f t
-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求
最小值.
解:
.ln ln ln 1)(0ln )(a a
a t a a a t f t -
==-='得由 --------------- 3
0)(l n 1
ln ln )(2
e e a a a a a t ==-=
'得唯一驻点又由------------3
.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2
故
.1
1ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-
==最小值为的最小值点为--------------1
五．证明题（7分）
设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1
(0)=(1)0,()12f f f ==，
试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'
证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,
有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2
又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=2
2222F f ，在1[1]
2，上()F x 用零点定理， 根据11(1)()=-0
22F F <，--------------- 2 可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)
2F ηη∈?，, (0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈?使得
()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 2212 2: -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ）
同济大学２00９-２0１0学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=） １. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e =+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足： [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><； ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线 1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线； ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线； ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7． 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ］ (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ;
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）
青理工高等数学下册期中测验 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,23,2b a n b a m +=-=且,4),(,2||,1||^π ===b a b a 则._______||=? 2.设.________) ( ,2) ( ,3| | ,4| | ====b a b a 则 3.设由方程12+=+z ye xyz xz 确定函数),(y x z z =,则=-)1,2,0(|dz 4.曲线???=+-=++xoy z y x z y x 在1 12222222坐标面上的投影曲线是 5．1=xy xoy 面内的曲线y 绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程是 二、.选择题(每小题4分,共24分) 6.已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 ( ). (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 7．函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数 ),(00y x f x '和),(00y x f y '存在,是),(y x f 在该点连续的( ). (A).充分条件而非必要条件; (B).必要条件而非充分条件; (C).充分必要条件; (D).既非充分条件又非充分条件. 8．函数)ln(2z xy xe u yz +=在点(1,2,1)M =处沿方向}2,1,2{ -=l =M |( ). (A).213 e +; (B).213e -; (C).213e -+; (D).213e --. 9．曲面8=xyz 上平行于平面042=++z y x 的切平面方程是( ). (A).1642=++z y x ; (B).1242=++z y x ; (C).842=++z y x ; (D).442=++z y x . 10．设),2,2(y x y x f z -+=且2 C f ∈，则=???y x z 2( ). (A).122211322f f f --; (B). 12221132f f f ++; (C). 12221152f f f ++; (D). 12221122f f f --. 三、计算 12、求函数(),arctan x f x y y =在点()0,1M 的梯度 11、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ??= ??? 确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,证明z y z y x z x =??+?? 13. 求二元函数()()22,2ln f x y x y y y =++的极值 14. 已知曲线22220:35 x y z C x y z ?+-=?++=?,求C 上距离xOy 最远的点和最近的点
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e
高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x
高等数学（上）期中测试题 一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设 1 (1) ,0 (),0 x x x f x x a x ?? -<=??+≥?在 (,)-∞+∞上处处连续，则a =---。 解 ()()1 11 10 lim 1lim 1x x x x x x e - - ---→→????-=+-=?????? ()0 lim x x a a + →+=,有连续性有a =-1 e 2. 已 知 (3)2f '=,则 0 (3)(3)lim 2h f h f h →--=1-。 解 已知 ()0(3)(3) 3lim 2h f f h f h →--'== 则 00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h →→----=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0, ] 2 π 上的最大值为6 π+解 令 ()12sin 0f x x '=-=得6 x π = 则最大值为 6 π + 4. 设 5(sin )5(1cos ) x t t y t =+?? =-? ， 则 t dy dx =0,2 2t d y dx ==120 解 () 5sin 0 51cos t t t dy dy t dt dx dx t dt ===== =+ 5. 设 1(0)x y x x +=>，则y '= ()1ln x x x x x ++ 解 两边取对数有 ()ln 1ln y x x =+
两边关于 x 求导得1ln y x x y x ' +=+,整理后即得结果 6. 设函数 ()y y x =由方程 cos()0 x y xy ++=确定，则 dy =sin 1 1sin y xy dx x xy --。 解 对方程两边关于x 求导 得: sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy = sin 11sin y xy dx x xy -- 7. 曲线 2x y e -=在点(0,1)M 处的曲率K =25 解 200 22x x x y e -=='=-=- 200 44x x x y e -==''== 则 () ( )3 3 222 2 4 25 112y k y '' = = =??'++-?? 8.函数()x f x xe =在0 1x =处的二阶泰勒公式为()f x = 解 由 () ()()n x f x n x e =+,代入泰勒公式即得 二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当 0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ） 。
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。
（2010至2011学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -1 11； (C) dx x x ?+∞∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定
可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：
05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .