- 1 - 初中圆复习
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径
②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤
弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；
③OCOF；④ 弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴2AOBACB 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角
∴CD
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵90C
∴90C ∴AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC中，∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或90C
注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，
∵四边ABCD是内接四边形
∴180CBAD 180BD
DAEC
九、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MNOA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也OEDCBAOCDABrddCBAOFEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAOEDCBANMAOPBAO - 2 - 称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线
∴PAPB；PO平分BPA
十一、圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：
在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，
∴PAPBPCPD
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：
在⊙O中，∵直径ABCD，
∴2CEAEBE
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线
∴
2PAPCPB
3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线
∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。 即：∵⊙1O、⊙2O相交于A、B两点
∴12OO垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12RtOOC中，
22221122ABCOOOCO；
（2）外公切线长：2CO是半径之差； 内公切线长：2CO是半径之和
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：180nRl；
（2）扇形面积公式： 213602nRSlR
n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径
l：扇形弧长 S：扇形面积 PODCBAOEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAOECBADOBAO - 3 - SlBAO
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2SSS侧表底=222rhr
（2）圆柱的体积：2Vrh
3、圆锥侧面展开图
（1）SSS侧表底=2Rrr
（2）圆锥的体积：213Vrh
十六、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的
半径r=2cba 。
（3）S△ABC=)(21cbar，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角， ∠DBE=∠A。
\
练习题
1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( ) A．点A在圆内 B．点A在圆上 c．点A在圆外 D．不能确定
2．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是
3．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则求PA+PB的最小值
4如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为
5．与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______．
6．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径R=______，内切圆半径r=______．
7．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为63，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 ．
8．PA、 PB是⊙O的切线，切点是A 、B，∠APB=50°，过A作⊙O直径AC，连接CB，则∠PBC=______．
9．如图4，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P，则CD∶AB等于
A．sinBPC B．CosBPC C．TanBPC D．cotBPC
10．如图5，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4， PB=2，则PC的长是 B E O A D
母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO图2EDCBAo_ N _ M _ B_ A_ _ P_ O - 4 - A．2 B．2 C．22 D．3
11．圆的最大的弦长为12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么
A、d<6 cm B、6 cm
12．如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为______．13．如图7，PE是⊙O的切线，E为切点，PAB、PCD是割线，AB=35，CD=50，AC∶DB=1∶2，则PA=______．
14．如图8，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线．
15 如图，AB既是⊙C的切线也是⊙D的切线，⊙C与⊙D相外切，⊙C的半径r=2，⊙D的半径R=6，求四边形ABCD的面积。
16．如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：
(1) AC是⊙O的切线．(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径．(12分)
17．如图11，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA=1∶2， PA=6，求⊙O的半径；(3)求sinPCA的值．(12分)
18．如图，⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于 D、B、E、C，弦DF//AC交 BC于C．
（1）求证：CGBCFGAC；
（2）若CF＝AE．求证：△ABC为等腰三角形．
19.如图12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sinP=35，求⊙O的直径。
20．如图13，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC＝∠B．
（l）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3，
求AB的长和∠ECB的正切值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：（l）AC是⊙D的切线；
（2）AB＋EB＝AC．
22．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙1O；与⊙O的弦AC相交于D， DE⊥OC，垂足为E．
（l）求证： AD＝DC；
（2）求证： DE是⊙1O的切线；
（3）如果OE＝EC，请判断四边形1OOED是什么四边DCAB图10 图11 ABCDE ． ABCDPOEF图12 ·
ABCDEOFG
