第三节 极限承载力的计算
在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c ，?表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
一．普朗特尔极限承载力公式
普朗特尔公式是求解宽度为b 的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P 作用下的极限荷载Pu 值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：
（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0=γ，而只具有c ，?的材料。 （2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。 （3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I ，径向剪切区II 或过渡区和朗肯被动区III 所组成。其中滑动区I 边界BC 或AC 为直线，并与水平面成（45＋?/2）角；即三角形ABC 是主动应力状态区；滑动区II 的边界CE 或
C Ｄ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 θθtg e r r 0=，r 0为起始矢径；θ为射线r 与r 0夹角，滑
动区III 的边界E G ，DF 为直线并与水平面成（45－φ/2）角。
（4）当基础有埋置深度d 时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：
c q u cN rdN p +=
式中：r ：基础两侧土的容重
d ：基础的埋置深度
q N ，c N ：承载力系数，它们是土的内摩擦角?的函数，可查下表：
其中)2
45(02?
?π+
=tg e Nq tg
?ctg Nq Nc )1(-=
二、斯肯普顿地基极限承载力公式
对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：
d c p b d l b u 055)1)(1(5γ+++=
c ——地基土粘聚力;
b 、l ——分别为基础的宽度和长度；
0γ——基础埋置深度d 范围内土的重度。
三．太沙基极限承载力公式
对于均匀地基上的条形基础，当受中心荷载作用时，若把土作为有重量的介质，即γ不等于零，求其极限承载力时，太沙基作了如下假设：
1．基础底面粗糙，即的与土之间有摩擦力存在
当地基达到破坏并出现连续的滑动面时，其基底下有一部分土体将随着基础一起移动而处于弹性平衡状态，该部分土体称为弹性核或叫弹性契体，如图8-9中ABC 所示。
弹性核的边界AC 或BC 为滑动面的一部分，它与水平面的夹角为?，而它的具体数值又与基底的粗糙程度有关。
2．当把基底看作是完全粗糙时，则滑动区域由径向过渡区剪切区II 和朗肯被动区III 所组成。其中滑动区域II 的边界CE 和ＤC 为对数螺旋曲线，其曲线方程为（r 0为起始矢径）。朗肯区域III 的边界DFA 为直线，它与水平面成（450－φ/2）角。
3．当基础有埋置深度时，则基底以上两侧的土体用相当的均布超载d q γ=来代替。根据上述假定，经推导可得地基的极限承载力
c q r u cN qN rbN p ++=
2
1
式中：N r ，N q ，N c 称为承载力系数，都是土的内摩擦角?的函数。
其中：)
2
45(cos 202)2
3
(?
??π+
=
-tg e
Nq
?ctg Nq Nc )1(-=
但对N r ，太沙基并未给出公式。太沙基将N r ，N q ，N c 可以查表8－4得。 几点说明：
（1）当把基础底面假定为光滑时，则基底以下的弹性核就不存在，而成为朗肯主动区I 了，而AC 面与水平面的夹角ψ＝（450＋φ/2）而整个滑动区域将完全与普朗特尔的情况相似，因此，由C,q 所引起的承载力系数即可直接取用普朗特尔的结果，即：
)245(02?
?π+=tg e N tg q
?ctg Nq N c )1(-=
而由土容重γ所引起的承载力系数则采用下列半经验公式来表达：
?28.1Nctg N r =
将)2
45(02?
?π+
=tg e N tg q
?ctg N
N q
c )1(-=
?28.1tg N N c r =
代入：c q r u cN qN rbN p ++=
2
1
即可得基础底面完全光滑情况下的太沙基地基极限承载力，或N q ，N c ，N r 可直接查表取得。
（2）太沙基承载力公式都是在整体剪切破坏的条件下得到的，对于局部剪切破坏时的承载力，应进行修正。
c c 32=
,32
??tg tg =
再用修正后的c ，?，就可计算局部剪切破坏时松软土的地基承载力
'''2
1
c q r u N c qN rbN p ++=
式中：c
N '，q N '，r N '：修正后的承载力系数。 （3）对于方形或圆形基础，太沙基建议用下列修正公式计算地基极限承载力：
圆形基础：c q r ur cN rdN rRN p 2.16.0++= 整体破坏
'2.1''6.0c q r ur N c rdN rRN p ++= 局部破坏
方形基础： c q r us cN rdN rbN p 3.14.0++= 整体破坏
'3.1''4.0c q r us N c rdN rbN p ++= 局部破坏
4．地基的容许承载力
将上述各公式算出的极限承载力u p ，除以安全系数K ，即得到地基的容许承载力
[]K
p p u
=
在设计时，基底压力p 应满足p ≤[p]的要求。
例题1：某办公楼采用砖混结构基础。设计基础宽度b=1.50m ，基础埋深d=1.4m ，地基为粉土，γ =18.0kN/m 3,
?＝30度，c ＝10kPa ，地下水位深7.8m ，计算此地基的极限荷载和
地基承载。
解：（1）条形，由太沙基公式：c q r u cN qN rbN p ++=
2
1
因为0
30=?，查得，N r ＝19，N c ＝35，N q ＝18
代入公式u p ＝18.0×1.5×19÷2＋10×35＋18.0×1.4×18＝1060.1 kPa （2）地基承载力：K
p p u
=
＝1060.1/3.0＝353.4 kPa 例题2：在例题1中，若地基的?为20度，其余条件不变，求u p 和p 解：（1）当0
20=φ，查曲线：Nr ＝4，Nc=17.5，Nq ＝7，
c q r u cN qN rbN p ++=
2
1
u p ＝18.0×1.5×4÷2＋10×17.5＋18.0×1.4×7＝405.4kPa
（2）K
p p u
=
＝405.4/3.0＝135 kPa 评论：由上两例计算结果可见：基础的形式，尺寸与埋深相同，地基土的γ，c 不变，只是?由30度减小为20度，极限荷载与地基承载力均降低为原来的38％，可知：?的大小，对u p 和p 影响很大。
四、考虑其它因素影响时的极限承载力计算公式
1、汉森极限承载力公式
对于均质地基基础底面完全光滑，在中心倾斜荷载作用下，汉森建议按下式计算竖向地基极限承载力。
c c c c c q q q q r r r r r u N i
d s c i d s dN d i d s bN p ++=
γγ2
1
式中：(1)γs ，q s ，c s 为基础的形状系数，
取：c c q q r r i l b s i l b s i l
b s 2.01sin 16.04.01+=+=≥-=?或l
b
s tg l b
s l N b N s r q c q c
4
.0111-=+=+=?
(2) ic iq ir ,,为荷载倾斜系数
))450/7.0(1(0
7.015
?η?
cActg p p cActg p p ir h h
+--
=+-=
0)5.01(5 ?
cActg p p iq h
+-
=
)1
1(---
=Nq iq
iq ic （3）c q r d d d ,,深度修正系数
B
D d B D d B
D tg d d c c q r 35.01,40
.01)sin 1(211
2+=+=-+==??
（4）c q r g g g ,,地面倾斜系数
7
.141)5.01(5β
β-
=-==c q r g tg g g
（5）c q r b b b ,,基底倾斜系数
7
.14/1)2exp(7.2exp(η?η?η-=-=-=c q r b tg b tg b （6）Nr ，Nc ，Nq 承载力系数，由下式表示：
?
???π228.1)1()
2
45(Nctg Nr ctg Nq Nc tg e Nq tg =-=+=上式中βη分别为地面和基底的倾角。
几点说明：
（1）应用公式时，应满足δptg CaA p h +≤，以保证基底不因水平力过大而产生水平滑动。
Ph ：作用在基底上的水平分力 P ：作用在基底上的垂直分力 Ca ：为基底与土之间的粘滞力 δ：为基底与土之间的摩擦力 A=L ×B
（2）当基底受到偏心荷载作用时，先将其换成有效的基底面积，然后按中心荷载情况下的极限承载力公式进行计算。
若条形基础，其荷载的偏心距为e ，则用有效宽度 B’=B －2e ，来代替原来的宽度B 。 若是矩形基础，并且在两个方面均有偏心，则用有效面积A’=B’×L’来代替原来的面积A 。其中B’=B －2e B ,L’=L －2e L
(3)对于成层土所组成的地基，当各土层的强度相差不大的情况下，汉森建议按下式近似确定持力层的深度。
Z max ＝λB
式中：λ：为系数，根据土层平均内摩擦角和荷载的倾角β从下表查出：
B ：为基础的原宽度。
λ值表：单位为（度）