第1章 线性空间与线性变换(详解)
1-1 证:用表示n 阶矩阵中除第行,第列得元素为1外,其余元素全为0得矩阵、用表示n 阶
矩阵中除第行,第列元素与第行第列元素为1外,其余元素全为0得矩阵、 显然,,都就是对称矩阵,有个、不难证明,就是线性无关得,且任何一个对称矩阵都可用这n+=个矩阵线性表示,此即对称矩阵组成维线性空间、
同样可证所有n 阶反对称矩阵组成得线性空间得维数为、
评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下就是一个维线性空间,只需找出个向量线性无关,并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即可、 1-2解: 解出即可、
1-3 解:方法一 设
即 故 于就是 解之得
即在下得坐标为、
方法二 应用同构得概念,就是一个四维空间,并且可将矩阵瞧做, 可瞧做、于就是有 因此在下得坐标为、 1-4 解:证:设
即 于就是 解之得
故线性无关、 设 于就是 解之得
即为所求坐标、
1-5 解:方法一 (用线性空间理论计算)
32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ????????=+=????
????
????
????=---????
????
又由于
于就是在基下得坐标为
方法二 将根据幂级数公式按展开可得 因此在基下得坐标为、
评注:按照向量坐标定义计算,第二种方法比第一种方法更简单一些、 1-6 解:①设
将与代入上式得 故过渡矩阵
1
100
12
0561100133601101
12100111013112222
35
1422
19
1522311
2
82
2-????
????-?
??
?=????
--????
-????
??---????????=??????
??????
P
②设
将坐标代入上式后整理得
评注:只需将代入过渡矩阵得定义计算出、
1-7 解:因为
由于秩,且就是向量得一个极大线性无关组,所以与空间得维数就是3,基为、 方法一 设,于就是由交空间定义可知 解之得
为任意数
于就是
很显然
所以交空间得维数为1,基为、 方法二 不难知
其中、又也就是线性方程组 得解空间、就是线性方程组
得解空间,所以所求得交空间就就是线性方程组
得解空间,容易求出其基础解系为,所以交空间得维数为1,基为、
评注:本题有几个知识点就是很重要得、得基底就就是得极大线性无关组、维数等于秩、、方法一得思路,求交就就是求向量,既可由线性表示,又可由线性表示得那部分向量、方法二就是借用“两个齐次线性方程组解空间得交空间就就是联立方程组得解空间”,将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解、
1-8解:
(1):解出方程组得基础解系,即就是得基, 解出方程组得基础解系,即就是得基; (2): 解出方程组得基础解系,即为得基; (3):设,则得极大无关组即就是得基、 1-9解:仿上题解、
1-10解: 仿上题解、 1-11 证:设
① 用从左侧成①式两端,由可得 因为,所以,代入①可得
②
用从左侧乘②式两端,由可得,继续下去,可得,于就是线性无关、
1-12 解:由1-11可知,个向量线性无关,它就是得一个基、又由
2
1
212
1
2
1
[,(),(),,()]
[(),(),,()][(),(),
,(),0]
000010000100[,(),(),
,()]00000
10n n n n n n
----?==??
????
??
=?
?????
????ξξξξξξξξξξξξξξA A A A
A A A A A
A
A A
A 所以在下矩阵表示为阶矩阵
评注:维线性空间中任何一组个线性无关得向量组都可以构成得一个基,因此就是得一个基、
1-13证: 设 设
则可以证明
1-14 解:由题意知
设在基下得矩阵表示就是,则
由于,故只有零解,所以得核就是零空间、由维数定理可知得值域就是线性空间、
1-15解:已知
(1) 求得式中得过渡矩阵,则即为所求;
(2)仿教材例1、5、1、(见<矩阵分析>史荣昌编著、北京理工大学出版社、) 1-16解:
设,则就就是齐次方程组 得解空间、 1-17证:
由矩阵得乘法定义知得主对角线上元素相等,故知得迹相等;再由1-18 题可证、 1-18证:
对k 用数学归纳法证。 1-19证:设。 1-20证:设。 1-21解:设。
1-22证:设1
11,--=B P AP E B E P AP P E A P E A λλλλ---==
-=-则。
1-23解:仿线性代数教材例题。 1-24 证:若
即 所以 因此满足
得只能全为零,于就是线性无关、
1-25 证:容易验证等式
所以线性相关、 1-26 证:先证:中得元素
就是线性无关得、设
由于中就是变量,所以欲使上式对于任何都成立得充分必要条件就是 于就是线性无关、
对于中任何一个向量(多项式)
均可由线性表出,这表明:就是得基,于就是就是n 维得、 不难验证:也就是得一组基、因为
(1)21
()
()()()()()()()2!(1)!
n n f a f a f x f a f a x a x a x a n --'''=+-+-+
+-- 故在这组基下得坐标为
1-27 解:得核空间就就是得解空间,所以得基础解系就就是核空间得基、对 作初等行变换后
得
因此得解为
其中为自由变量、不难知得基础解系可以取为
或
它们都可以作为得核空间得基,核空间就是二维得、 1-28 解:设在所给基下得坐标为,故
即
1234(1,2,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)T T T T T k k k k =+--+--+--
1234123412341234(,,,)
k k k k k k k k k k k k k k k k =++++---+---+于就是有 解之得
所以在所给基下得坐标为、 1-29 解:设
于就是有 解之得
所以在已给基下得坐标为、 1-30 解:因为
112321(1)(2)
()()1(1)()()2
n n n n n n n x a a n a x a x x --------=-?+--?+
-?++
故由到得过渡矩阵为
1-31 解:将矩阵作初等行变换得
上式表明由基到基得关系为(为什么？)
所以由到得过渡矩阵为 设在下得坐标为,即
其中1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T T T
====εεεε则
11221234334420211113(,,,)()02111222x y x
y x y x y -????
?? ? ??? ? ??
?== ? ?
?? ? ?
??????
??
1234ξεεεεβ,β,β,β
于就是
1
11223344123412342021111302111
22246811468111313131313131313
23912131313131327813131313182613131313y x y x y x y x x x x x x x x x --????
?? ? ??? ? ?
??= ? ?
?? ? ?
????????
??----+????????-- ??? ?==?? ???---
?????????
--??1234123412343913131313327813131313182613
131313x x x x x x x x x x x x ??????
??
-+-??????---+??????-++-??
1-32 解:由定理知
就是向量组得极大无关组,故它就是得基,、 设,即且,于就是
将得坐标代入上式,解之得 于就是
所以得基为,维数为1、
又解交空间得向量实质上就就是求在中向量也能由线性表示得这部分向量,即确
定使得
秩秩 此即
于就是 代入
所以得基为,、
1-33 解:方程组与得交空间就就是这两个方程组得所有公共解所构成得空间,此即方程组
得解空间、容易求得该方程组得基础解系为,它就就是所求得基,、
1-34 解:不难瞧出就是线性齐次方程组
得基础解系,方程组得解空间为、而就是线性齐次方程组 得基础解系,方程组得解空间为、
交空间实质上就是与公共解得空间,即方程组
得解空间、不难求得方程组得基础解系为,此即得基,维数为1、
所以,基为、
1-35 解:1122123()(1,1,0),()(2,1,1)2T T ==+==++αββαβββA
A 于就是所求矩阵为
1-36 解: , , ,, ,于就是所求矩阵为 注 对于线性映射: 在基与基下得矩阵表示为 1-37 解:
于就是所求矩阵为
1-38 解:核子空间就就是求满足,由于、故 于就是
所以所求得坐标应就是齐次方程组 得解空间,求得它得基础解系为 因此核子空间得基就是 、
注:得基不就是、而就是、为什么？得基就是 、 得值域 1-39 解:不难求得
因此在下矩阵表示为 设,即 解之得
所以在基下坐标为、 在基下坐标可由式得 在基下坐标为 在基下坐标为
1-40 解:就是4维线性空间,利用同构得概念,可把题中矩阵写成向量形式
于就是
123412341234(,,,)((),(),(),())
10001001(,,,)001000111011011311011
120=??????==??
??
????????=??
??
??
ααααααααααααA A A A A A A
于就是
1
10111
00001131001110100101
1200011130148370148110148110024
-?????????
???=??
??
??
??
??
??
??-???
???-??=?
???-??????-??
A
注 根据同构映射得定义,中矩阵可以瞧做中向量、
课程名称：矩阵分析 一、课程编码：1700002 课内学时： 32 学分： 2 二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业 三、先修课程：线性代数，高等数学 四、教学目标 通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。 五、教学方式 教师授课 六、主要内容及学时分配 1、线性空间和线性变换（5学时） 1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换 1.2子空间、线性变换 1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件 2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时） 2.1 λ-矩阵及Smith标准形 2.2 初等因子与相似条件 2.3 Jordan标准形及应用； 3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时） 3.1 欧式空间、酉空间 3.2标准正交基、Schmidt方法 3.3酉变换、正交变换 3.4幂等矩阵、正交投影 3.5正规矩阵、Schur 引理 3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式 3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵 3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形
4、矩阵分解（4学时） 4.1矩阵的满秩分解 4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解） 4.3矩阵的奇异值分解 4.4矩阵的极分解 4.5矩阵的谱分解 5、范数、序列、级数（4学时） 5.1向量范数 5.2矩阵范数 5.3诱导范数（算子范数） 5.4矩阵序列与极限 5.5矩阵幂级数 6、矩阵函数（4学时） 6.1矩阵多项式、最小多项式 6.2矩阵函数及其Jordan表示 6.3矩阵函数的多项式表示 6.4矩阵函数的幂级数表示 6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数 7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时） 7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分 7.2 函数向量的线性相关性 7.3 矩阵微分方程 (t) ()() dX A t X t dt = 7.4 线性向量微分方程 (t) ()()() dx A t x t f t dt =+ 8、矩阵的广义逆（3学时） 8.1 广义逆矩阵 8.2 伪逆矩阵 8.3 广义逆与线性方程组 课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线
第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用 ij E (,1,2, ,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素 为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成 (1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间，只需找出 (1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1) 2 n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 1234 1231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=??? ?+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++=
1210,3x x x +== 解之得 12343,3,2,1x x x x ==-==- 即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 方法二 应用同构的概念，22R ?是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ， 1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有 111111 000 31110201003110000 01021000300011???? ????-??? ?→???? ??? ? -???? 因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++= 即 12341234123134 12411111110110110110 k k k k k k k k k k k k k k k k k ????????+++???????????????? +++++??==??++++?? 于是 12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++= 解之得 12340k k k k ==== 故1234,,,αααα线性无关. 设
矩阵分析在汉明码中的应用 摘要：数字信号在传输过程中，由于受到干扰的影响，码元波形将变坏。接收端收到后可能发生错误判决。由于乘性干扰引起的码间串扰，可以采用均衡的办法来纠正。而加性干扰的影响则需要用其他办法解决。在设计数字通信系统时，应该首先从合理选择调制制度，解调方法以及发送功率等方面考虑，使加性干扰不足以影响到误码率要求。在仍不能满足要求时，就要考虑采用差错控制措施了，本文在基于矩阵分析的基础上对汉明编码进行介绍，效率高，提高抗突发干扰的能力。 关键词：矩阵分析汉明码 引言 矩阵如今在各个领域都有广泛的应用，例如在生活中，在经济中，在通信领域，数字图像领域中等各个方面应用很广泛。在生活中的魔方也是根据矩阵分析，在excel表格中，我们可以根据矩阵很简单的计算出各行各列的和，在数字图像处理中，我们将图像用矩阵表示，像素来表示，一个像素代表一点，有很多像素组成一幅数字图像，再对矩阵进行各种变换从而实现数字图像处理，在通信领域中我们也经常用到矩阵，例如编码，我们下面将对矩阵分析在汉明编码中的应用进行具体分析 1.汉明码编码 Hamming码中文称作汉明码。汉明码是由汉明于1950年提出的，具有纠正一位错误能力的线性分组码它的突出特点是：编译码电路简单，易于硬件实现；用软件实现编译码算法时，软件效率高；而且性能比较好. 1.1 汉明码的定义： 若一致监督矩阵H 的列是由不全为0且互不相同的所有二进制m(m≥2的正整数)重组成，则由此H矩阵得到的线性分组码称为[2m-1,2m-1-m，3]汉明码。1.2 汉明码的构造特点： 1)．绐定一个m，我们由二进制m 重组成线性分组码的监督矩阵H，由二进制m重来标定一个发生错误的位置。由此可知，二进制m 重共有2 种位组合，去掉一个全为0的位组合，则余下共有2m-1种位组合。故汉明码的最大码长n=2m-1。
矩阵分析结课论文 《矩阵分析的应用与学习心得》 姓名：雷仁鹏 学号：2120120053 学院：宇航学院
矩阵分析的应用 摘要：本文主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。 关键字：矩阵方程求解相容方程 不相容方程 最小二乘解 满秩分解 一、 矩阵在相容方程求解中的应用 已知n 元线性方程组如下表示： 11112211 21122222 1122...............n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ??+++=? 其矩阵的表达形式如下： 111112********* 2 n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ???? ???????????? ??=?????????? ???????? 矩阵A 可记为 1112121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?????? =???? ?? 如果矩阵A 满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例： 例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为 3 21I I I 、、，如图2所示：
图2 已知14 ,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电 流AB I . 解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组： ??? ??=-+-=-+-+=-+-+E I I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0)()(2341321253242331221511 即 ??? ??=+--=-+-=--14 3202404321 321321I I I I I I I I I 同样计算如下几个行列式 2132124 1 114=------=A 84321424 110 1=----=D 1263 14120 1 1042=----=D 210 14 2104 1 014 3=----=D 所以 10,6,4332211====== A D I A D I A D I 从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB . 即电流是从B 流向A 的.
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0 的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此 即对称矩阵组成(1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间， 只需找出(1) 2 n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这 (1) 2n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=????+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++= 1210,3x x x +==
一、综述本课题的研究动态，说明选题的依据和意义 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，英国数学家凯莱首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，1855年，他发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》系统地阐述了关于矩阵的理论。1858年，艾米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯讨论了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念。矩阵经过两个多世纪的发展，矩阵及其理论已广泛的应用到现在科技的各个领域。 线性代数是研究线性空间和线性变换的一门学科。线性空间到自身的映射称为空间上的变换，如果此变换保线性运算称为线性变换。线性变换可以通过儿何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换理论化，几何的直观有助于对数学理论、相关内容的理解。 本课题通过研究线性变换所表示的几何形象，探讨具体的线性变换如正交投影变换、反射变换等以及对应矩阵的几何现象，探讨与线性变换相关的如特征值、特征向量等等内容的几何意义。 二、本课题研究的基本内容，拟解决的主要问题和难点问题 基本内容：本课题介绍有关于线性变换的基本概念、基本定理；研究具体的线性变换如投影变换、反射变换、切变变换及其性质；说明线性变换的特征值、特征向量, 线性变换的可对角化等几何意义。 主要问题：线性变换的概念介绍及各种变换的性质和几何意义的研究。 难点问题：各种线性变换的有关的概念的图形表示，线性变换可对角化矩阵的几何意义及其求解过程的研究。 三、研究步骤、方法及措施： 1、根据任务书的要求查阅参考书及参考文献，完成开题报告； 2、深入阅读相关文献,理解线性变换的基本概念、基本定理； 3、理解具体的线性变换如投影变换、反射变换及线性变换的特征值、特征向
第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ== 定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ?????=?????????? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知
220(1)212020A -????=--????-?? ，1 1011110(2)0 1111 01 1A -????-? ?=??-??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-?? ??-?? ，222(2)254245A -?? ??=-????--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1 ()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满 秩。 ()() 1 1()()()--=-+ =-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要 H H H =，只要()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由 ()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E
第一章 线性空间与线性变换 （以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传） （此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别） 1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。 1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数） 1.13.提示：设),)(- ?==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行） ，代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故 A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ， 0=+ji ij a a ， 再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于 0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A 1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)( 1.15.存在性：令2 ,2H H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==, 唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由
毕业论文﹙设计﹚开题报告 题目正定、半正定二次型的性质及应用 学生姓名学号 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业班 指导教师 2012年 3月 5 日
题目正定、半正定二次型的性质及应用 一、选题的目的及研究意义 在高等代数中,在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文主要探讨常见的正定二次型以及半正定二次型的判定。二次型不仅在数学学科中出现，而且在数学的其他分支学科以及物理、力学中也常常会出现。而在大学的学习中, 只是简单的介绍了实二次型及其矩阵表示、正定二次型的定义和简单性质，并没有涉及到半正定二次型的学习，而且对它们的性质研究也很少，只是很零散的在课本习题中提及到。这对于初学者来说，较全面、系统地掌握正定、半正定二次型的性质及应用是很困难的。但根据对正定、半正定二次型的重要作用及特殊地位，我认为有必要也很有意义对其系统的研究讨论一下，本文先给出正定、半正定二次型的定义，然后讨论了它们的若干性质。最后，利用它们的性质，讨论了许多关于它们的应用。 二、综述与本课题相关领域的研究现状、发展趋势、研究方法及应用领域等 研究现状： 在许多相关的教材和书籍资料中，都只是简单介绍了正定二次型的定义和它的一些简单零散性质，也没有提及半正定二次型，对于它们的研究不深，应用也涉及不多，更没有做什么系统的归纳。 发展趋势： 正定二次型在《高等代数》中作为基础性的知识，他的地位十分重要，并且也被广泛的应用于解决实际数学问题中。 应用领域：基础数学与数学的其他分支学科以及物理、力学。 研究方法：查阅资料，列出提纲，撰写论文、修改、定稿。
三、对本课题将要解决的主要问题及解决问题的思路与方法、拟采用的研究方法（技术路线） 或设计（实验）方案进行说明，论文要写出相应的写作提纲 解决的主要问题：讨论正定、半正定二次型的性质；利用正定、半正定二次型的性质来研究它们的一些简单应用。 思路与方法：首先了解正定、半正定二次型的定义，再讨论它们的性质，再利用其中一些性质来研究它们的应用。 研究方法：查阅资料，列出提纲，撰写论文、修改、定稿。 论文的写作提纲为： 1.对正定、半正定二次型的定义进行归纳总结； 2.对正定、半正定二次型的性质进行一些讨论； 3.利用正定、半正定二次型的性质解决实际的数学问题。 四、检索与本课题有关参考文献资料的简要说明 [1] 王萼芳，石生明.《高等代数》［M］.(第三版)．北京：高等教育出版社，2008.4 :205-234. [2] 陈文灯，《线性代数复习指导---思路、方法与技巧》［M］北京:清华大学出版社, 2011.3 :119-127 [3] 陈大新《矩阵理论》［M］上海: 上海交通大学出版社, 1997.4 :117-133 [4] 曹璞.《正定矩阵的判定与性质》[J].南都学坛，1994(3)：117-129 [5] 史荣昌、魏丰.《矩阵分析》 [M].北京：北京理工大学出版社，2010:134-139. [6] 费伟劲. 《线性代数》[M].上海:复旦大学出版社，2007:169—192. . 五、毕业论文（设计）进程安排 2009年3月1日～2009年3月8日,查阅相关资料,学习理论知识；完成开题答辩并填写开题报告。 2009年3月10日～2009年3月30日,按提纲要点，完成论文的框架；整理论文框架并完成论文雏稿。