第二章开放式光腔与高斯光束
1.证明如图
2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为
1
2
1 0
η
η
??
??
??
??
??
。
证明：设入射光线坐标参数为
11
,rθ，出射光线坐标参数为
22
,rθ，根据几何关系可知211122
,sin sin
r rηθηθ
==傍轴光线sinθθ则
1122
ηθηθ
=，写成矩阵形式
21
21
1
2
1 0
r r
θθ
η
η
??
????
??
=
????
??
????
??
??
得证
2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为
1
2
1
0 1
d
η
η
??
??
??
??
??
。
证明：设入射光线坐标参数为
11
,rθ，出射光线坐标参数为
22
,rθ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得
21
21
21
12
1 0 1 0
1
0 0
0 1
r r
d
θθ
ηη
ηη
????
????
??
????
=
????
??
????
??
????
????
????
化简后21
21
1
2
1
0 1
d
r r
θθ
η
η
??
????
??
=
????
??
????
??
??
得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，则有
1010
11
22
11
0101
A B L L
T
C D
????
??????
????
==
??????
????
--
??????
12R R L ==
将上式代入计算得往返矩阵
()
()()1
2
101
0110101n n
n
n n n r L r L ??????===-=-????????????
A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。 4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中1212
11,1L L
g g R R =--
=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。则122
1,1L
g g R ==-
，再根据稳定性条件 1201g g <<可得2
2011L
R R L <-
<>?。 对双凹共轴球面腔有，120,0R R >>则1212
1,1L L
g g R R =-
=-,根据稳定性条件1201g g << 可得11221
212010 01 1R L R L R L R L R R L L R R L
<??
<????<-- ?????? 或。
对凹凸共轴球面镜腔有，120,0R R ><则1212
1,1,0L L
g g R R =-
=>-根据稳定性条件1201g g << 可得121120111R L R R R L L R L ????
<--
???。
5.激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-= 工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η=
1001T -??=??
-??
当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为1l 和2l ，则12l l l L ++=。设此时的等效腔长为L '，则光在腔先经历自由传播横向距离1l ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离2l ，则
所以等效腔长等于
21()l
l
L l l L l η
η
'=+
+=-+
再利用稳定性条件
由(1)解出 2m 1m L '>>
则 所以得到：
1.17m<
2.17m L <
6. 图2.3所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos )/2F R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，
/(2cos )F R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。
图2.1
解：
011 1 (1)
21L L ''?
???<-+< ????
???1
0.5(1)0.171.52
L L L ''=+?-
=+212
1101
1101110010100101101L l l l l l l ηηη??
'????????????=??????????????????????
????
??
++?
?=??
????
2222
2101
011211
010111442132221A B l l C D F F l l l l F F F l l F l F ????
??????????=??????
????--??????????
??-+-??
??=??--????
()2
21312l l A D F F
+=-+ 稳定条件 223111l l
F F
-<-+<
左边有 22
320210l l
F F
l l F F -+>????
--> ???????
所以有21l l F F ><或
对子午线： 对弧矢线： 对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得 子午光线 弧矢光线
任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得
7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L =30cm ，方形孔边长20.12cm d a ==，λ=632.8nm ，镜的反射率为121,0.96r r ==，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式
估算（l 为放电管长度，假设l L ≈）
解：01TEM 模为第一高阶横模，并且假定00TEM 和01TEM 模的小信号增益系数相同，用0
g
表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式
根据已知条件求出腔的菲涅耳数
cos 2
R F θ=子午2cos R F θ
=
弧矢
R <或
923
R R <<>或2R R <<>0
4
e 1310g l l
d
-=+?0
0001e 0.003) 1 I
e 0.003) 1 II g g δδ-->--<22
7
0.06 1.9
a N -===