高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案 课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式； (2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。 2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用。 3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展 的观点看问题。 二、教学重点、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学过程设计： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--．
《倍角公式和半角公式》教案1 一、教学目标 1.知识目标 掌握公式的推导，明确的取值范围。 能运用二倍角公式求三角函数值。 2.能力目标 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。 通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 3.情感目标 通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。 二、教学重点、难点 重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形。 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。 三、教学方法 本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。 四、课时 1课时
五、教学过程 教学环 节 教学内容师生互动设计意图复 习引入复习两角和与 差的三角函数 公式 先让学生回忆两角和与 差的正弦、余弦、正切 公式的来龙去脉，并请 一个同学把这六个公式 写在黑板上 学生板演 教师点评这些公式：一 方面要从公式的推导上 去理解它，另一方面要 从公式的结构特点上去 记忆，还要注意公式的 正、用、逆用和变用。 今天，我们继续学习二 倍角的正弦、余弦和正 切公式 温旧知新，让 学生明确学习 的内容 公 式的推导探索研究 二倍角的 正弦、余弦 和正切公式 请学生想一想，在公式 中对 如何合理赋值，才 能出现 sin2,cos2,tan2 的表达式，并请同学把 对应的等式写在黑板上 1. 引导学生运用已 学过的两角和的三角 函数公式推得二倍角 公式，使学生理解二 倍角公式就是两角和 的三角函数公式的特 例，这样有助于公式 的记忆
新人教版高中数学必修四教材分析
一、教材分析的理论 本文分析的内容为新人A教版高中数学（必修四），运用系统理论进行研究，其出发点就是将教材看成是一个系统。分析系统的要素之间整体与部分的构成关系，以及形成的不同质态的分系统及其排列次序。 进行教材分析，首先从整个数学教育发展到教师个人专业成长，再到课堂教学等方面研究教材分析的意义；然后，按照树立正确教材观、深刻理解课标、分析教材特点、分析教材内容结构、处理教材等步骤研究如何科学分析高中数学教材，其中的案例均来自人教A版高中数学(必修四)；最后，结合典例分析的感悟，提出了高中数学教材分析时应坚持的思想性、实践性、整体性及发展性原则，以提升教材分析的效果。 二、数学必修四第三章的教材分析 从系统上看作为新课程高中数学非常重要的必修四，它是由“第一章三角函数、第二章平面向量、第三章三角恒等变换”三部分内容组成。内容层层递进，逐步深入，这对于发展学生的运算和推理能力都有好处。 本章内容以三角恒等变换重点，体会向量方法的作用，并利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立的正弦、余弦值的等量关系。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生
体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 本章还强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 三、数学必修四第三章第一课时的教材分析 3.1教学要求： 基本要求： ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 ③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求： ①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。 ③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 3.2重点难点：
三 角 函 数 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3.半角公式： 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ sin 2α =cos 2α= sin 1cos tan 21cos sin α αααα-===+ 4．辅助角公式 | ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 5.积化和差公式： ()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2 1sin cos a ()()[]βαβαβ-++= cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβ αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--=
cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题： 例1． 已知α∈( 2π,π)，sin α=53,则tan(4 πα+)的值. ， 例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值. 例2． 已知0cos cos 1 sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。 ￥ 例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=??? ??+πππ。 ' 例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin ππππ π=-+。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 【学习目标】: 1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、发现数学规律，激发学习兴趣，提高综合分析、应用数学的能力。 【学习重点与难点】: 重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导。 难点：二倍角公式的综合应用。 一、复习两角和的三角公式 二、二倍角公式的推导 利用公式 cos2α可变形为：1. ； 注： 2. 。 1.“二倍角” 是一种相对的数量关系。 如：２α是α的二倍角；α是 的二倍角。 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角 公式。 练习1: 练习2： 判断： 三、例题教学(公式正用) 思维小结： 公式正用技巧： 从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。 ()=+βαcos ()=+βαsin ()=+βαtan ？？，： ， ，：有什么发现你得到什么启示即到特殊的两个角相等由一般的问题αββα=+()？=+ααsin ()？=+ααcos ()？=+ααtan 1cos sin 22=+αα 2αcos__sin__24sin )1(=α__sin __cos 2 cos )2(22-=α_________(3)cos 213α=-22tan__(5)tan 31tan __α=-23cos 23sin 3sin )1(ααα=1sin 22cos )2(2-=αα232tan 3(3)tan 21tan 3ααα=-α的值.cos2α、tan2 .求α,135已知sinα例1.),2(ππ∈=sin2α、 (1) 本题求出cos α的值是关键,要注意象限定号； （2）在求tan2α时，直接用切化弦 也可先求出tan α＝sin αcos α，再求tan2α＝2tan α1－tan 2α 的值.
新人教版高中数学必修4知识点总结经典
新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
倍角公式和半角公式一 目标认知： 学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用． 学习重点： 倍角公式及其变形． 学习难点： 倍半角公式变形及应用． 内容解析： 1．倍角公式 在和角公式中令=，即得二倍角公式： ； ； ． 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题． （2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与， 与等，也为 引出半角作准备． （3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式． （4）二倍角的正切公式成立的条件：． （5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）． （6）公式的逆用及变形：．
2．半角公式 由倍角公式变形得到： ；；； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式： ；；； 其中正负号由的象限确定． 借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在 于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） （1）积化和差： （2）和差化积： 本周典型例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴
∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求． 解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值： （1）；（2）； （3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°； 解析：（1）=； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）cos20°cos40°cos80° = 注意：关注（5）的结构特点．
二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学过程 1、复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 2、新科探究 探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？ sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= α α － α α = α － α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= α － α 注意：要使tan2α= α － α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π ， 且α≠ π+ π ﹜ 学以致用 提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法 探究二、cos2α的变形式 利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α 1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=
两倍角公式、半角公式、万能公式 ① sin( ) sin cos cos sin ; ② cos( ) cos cos sin sin ; ③ tan( ) tan tan 令1 tan tan 二倍角公式： ① sin 2 2sin cos ； ② cos2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2sin 2 ； ③ tan 2 2 tan 1 tan 2 两倍角公式中 sin 2 2 sin cos 是两个函数之积，可在(sincos ) 2 中产生。两倍角是“相对的” ，应该广义地理解。 如 cos4 cos2 2 sin 2 2 2 cos2 2 1 1 2 sin 2 2 tan( ) 2tan 2 等等tan 2 1 2 升次公式： sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 ； 2 2 见到平方就降次，降次角加倍 降次公式： 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 sin 2 2 见到 1 cos 、 1 cos 就升次，升次角减半并项公式 : 1 sin 2 = (sin cos ) 2 半角公式： sin =±1 cos , 2 2 cos =±1 cos , 2 2 1
tg =± 1 cos = sin = 1 cos . 2 1 cos 1 cos sin 半角公式中的正负号如何选取？依照左边的函数值而定。 2 如果给你象限角，如I ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你区间角，如 3 ,4 ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你三角比值，如sin cos 0 的终边在第几象限？公式前的号如何选取？tan cos ， 0 2 半角的正切公式中的后两个tg = sin =1 cos 前面没有正负号， 2 1 cos sin 万能公式：（并非万能，仅是用tan 可将 sin 、 cos 、 tan 都表示出来的含义） 2 sin α = 2 tan 2 ， 1 tan2 2 1 tan 2 cos α = 2 , 1 tan2 2 2 tan tan α = 2 1 tan2 2 题型一、求值问题 补充问题 已知 cos( ) 1 ， sin( ) 2 ，且 4 2 ， 4 2 9 2 3 4 求 cos( ) 的值 解：考虑目标角和已知角的关系：（）—（）= 22 2 再运用两倍角公式求值 题型二、化简问题 2
《§3二倍角的三角函数》教学设计 教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。 【知识与能力目标】 1、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 【过程与方法目标】 通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。 【情感态度价值观目标】 通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。 【教学重点】 二倍角公式的推导。 【教学难点】 能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入。 回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -
二、探究新知。 将上述公式里的β换成α，结果是什么？ 二倍角公式： 对于 2C α 能否有其它表示形式？ 公式中的角是否为任意角？ 注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。 三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1 ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -
这篇文章小编给大家分享三角函数倍角公式和半角公式以及倍角公式和半角公式的推导过程，一起看看具体内容。 三角函数半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 三角函数倍角公式 Sin2A=2SinA·CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=2tanA/1-tanA^2 二倍角公式推导过程 sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1 =1-2(sinA)^2 tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-(tanA)^2] 半角公式推导过程 已知公式 sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α① 半角正弦公式
由等式①，整理得：sin2α=1-cosα/2 将α/2带入α，整理得：sin2α/2=1-cosα/2 开方，得sinα/2=±√((1-cosα)/2) 半角余弦公式 由等式①，整理得：cos2α+1=2cos2α 将α/2带入，整理得：cos2α/2=cosα+1/2 开方，得cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) 半角正切公式 tan(α/2)=[sin(α/2)]/[cos(α/2)]=±√((1-cosα)/((1+cosα))
第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，//
(2) 2cos 2 n n 1 二 cos — 8 4 2 7T (3) sin cos 8 2 二 二 cos — 8 4 2_ —) H Jl 8sin cos cos — 48 48 24 2 .例题分析： JT JI 1 cos 茜 4sin 24 cos 24 cos ^=2sin ^cos ^ =sin 6 = 2 例1 :已知sin 〉二一, 13 5 _ 解：??? sin ，忙 二 H 、 :（，二），求 sin2： , cos2 , tan2：的值。 2 （—，「：）, 2 12 ??? sin 2： = 2sin ： cos ： 120 169 13 2 119 120 ；cos2： =1-2sin 2 ； tan2： 169 119 第三章 第二节二倍角的正弦、余弦、正切（1） 一、 课题：二倍角的正弦、余弦、正切（ 1） 二、 教学目标：1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系； 2. 会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力； 3. 领会从一般化归为特殊的数学思想， 体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴 趣。 三、 教学重、难点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。 四、 教学过程： （一）复习： 1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2?提出问题：若 ，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （二）新课讲解： 1.二倍角公式的推导： sin2： - 2sin : cos ： cos2匚-cos 2 ： -sin 2:■ 丄 小 2 tan a tan 2 2- 1 -tan a 1 【练习 1 】求值：(1) sin22；30 cos22；30:=丄sin4^ =— 2 4 说明：（1） “倍角”的意义是相对的，如： 上是二的二倍角； 4 8 “倍角”与“二次”的关系； ?2 丄 2 / sin ： cos 1, 2 2 cos2： = 2cos 二 T = 1 -2sin :, 2 2 ,cos2： = 2cos -1 , cos2： ==1-2sin : （降幕公式）： （2） 观察公式特征： （3） 利用三角函数关系式 可将余弦的倍角公式变形为: cos2: 2 . 2 =cos -sin : 类似地也有公式 1 cos 2： 统称为升 sin □= ---------------- 这两个形式今后常用； 2 2 （4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件： k 二 k ； （k Z ）. 2 4 2
第三章 第六节 倍角公式和半角公式 一、选择题 1．定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sin π6cos π6 ＝ ( ) A ．－12＋34 B ．－12－34 C ．1＋34 D ．1－34 2．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值是 ( ) A ．－145 B ．－75 C ．－2 D.45 3．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2 )等于 ( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25 4.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α) 等于 ( ) A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α D ．cos α 5．当0 高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 两角和与差的余弦公式 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。 二、学情分析： 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 三、教学目标： 1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。 2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 四、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。 五、教学工具：多媒体 六、教学方法：讲授法，探究法 七、教学过程： cos(12060)-? cos120? cos60? sin120? sin 60? 12 12- 12 32 32 猜想：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=?+?？ 公式推导 通过探究我们猜想得出cos()αβ-的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。 提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究βα-的三角比呢？ 设α、β是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图1，它们的终边OA 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。 图1 Q1：你能用α、β的三角比表示A 、B 两点坐标吗？ Q2：AOB ∠角度能用α、β表示吗？ Q3：我们要研究AOB ∠的三角比，必须要把AOB ∠位置放在什么地方？怎样达到目的？ 答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。通过旋转达到目的。 Q4：将终边OA 、OB 绕O 旋转β-，转到A O '和B O '的位置，则A '，B '的坐标是什么？ 通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式 O y A )sin ,(cos αα) sin ,(cos ββB x β α 新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?< 倍角公式和半角公式一目标认知：Ej 学习目标：in 1.能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2.能运用倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式); 3.体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用. 学习重点：Q 倍角公式及其变形. 学习难点：s 倍半角公式变形及应用. 内容解析：Ei 1 .倍角公式口 在和角公式中令凸=Q，即得二倍角公式: sm3Q；= ^EincK 匚os a ； F r *"■a cos2□:= CCS a- sin a = 2cos G-1 = 1-2sin a ； 亠r 2 tan ft tan 2Q:=--- 2—— 1 - tan a 注意： (1)二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题. a 0；+ P e + Q (2) “倍角”的意义是相对的，不局限于2◎与^的形式.例如□■与3,2 与4 等，也为 引出半角作准备. 二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式. 二倍角的正切公式成立的条件: U丰此兀+ 理— + —,归E Z 2 2 A 熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次) (6) 3 COE or = 公式的逆用及变形： 1 +cos 2a . 1 1 - c 2.半角公式E1 由倍角公式变形得到: 曲吧=上更竺 2 l-HCOSd ：； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式: a 其中正负号由2的象限确定. 不必考虑正负. 3.积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） S3 （1）积化和差： sin 戸=—凶n （臂+ Q ） +徂口（说一用］. COE sin 戸二一Win （臂十 戸）- COE cos 戸=—+ 戸）+UQ 占（◎一 戸打. sin iXsin # = — — + Q-cos （门;一0）］. 2 （2）和差化积: .C r .时 0 口一 0 sm ci' + sin p=2ELn ----- c os ----- . 2 2 .c r 6r+0 . a sin sin Q = ￡ COE ------- s in ----- . 2 2 . 0^+ 8 a- 6 COE O^ + COE Q = 2 COS --- cos ---- . L 2 2 - r . a+声.a-fi COE ①一匚OK 0 = —2 fin Ein ---- L 2 2 本周典型例题：闺 沁■X = 2.otE 〔卫加 1 .已知 口 2 ，求 sin2a , cos2a , tan2a 的值.庄3 飢￡ ”中図鼻，盟￡ = ±旗心厘 2^2； 2 2 y 1+ COSO ：； 借助倍角公式还可得到另一个半角公式: tan — 1 1 + CCS sin a _ 1- cosct 左口 H ，好处在于可以 教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对 知识的迁移能力。 【知识与能力目标】 1 、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 【过程与方法目标】 通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。 【情感态度价值观目标】 通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。 【教学重点】 二倍角公式的推导。 【教学难点】 能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入。 回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ - 二、探究新知。 将上述公式里的β换成α，结果是什么？ 二倍角公式： 对于 2C α 能否有其它表示形式？ 公式中的角是否为任意角？ 注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。 三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1 例题2求下列各式的值： ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -人教版高中数学必修4知识点总结归纳
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倍角公式和半角公式一
《二倍角的三角函数》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】 (2)
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