平行线与三角形内角和过程训练（综合）（二）
（人教版）
一、单选题(共7道，每道14分)
1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AC边上一点，BE与AD交于点F．
若∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，则∠BEC的度数为( )
解：如图，
∵AD⊥BC（已知）
∴∠FDB=90°（垂直的定义）
∵∠BFD=60°（已知）
∴∠1=90°-∠BFD
=90°-60°
=30°（____________________）
在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=75°
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC
=180°-45°-75°
=60°（____________________）
在△BEC中，∠1=30°，∠C=60°
∴∠BEC=180°-∠1-∠C
=180°-30°-60°
=90°（三角形的内角和等于180°）
①等式性质；②垂直的定义；③三角形的内角和等于180°；④直角三角形两锐角互余．以上空缺处依次所填正确的是( )
A.①③
B.②③
C.④②
D.④③
答案：D
解题思路：
要求∠BEC的度数，考虑放在△BCE中利用三角形的内角和等于180°来求解，只要求出三角形的另外两个角就可以了．
如图，在Rt△BFD中，∠BFD=60°，由直角三角形两锐角互余，可得∠1=30°（因此第一个空选④）．
在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=75°，由三角形的内角和等于180°，可得∠C=60°（因此第二个空选③）．
最后在△BCE中利用三角形的内角和等于180°，求出∠BEC=180°-∠1-∠C=90°．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和
2.如图，AB∥CD，∠BAE=40°，∠DCE=50°，求∠E的度数．
解：如图，
∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC+______=180°（_____________________）
即∠BAE+∠1+∠2+∠DCE=180°
∵∠BAE=40°，∠DCE=50°（已知）
∴∠1+∠2=180°-∠BAE-∠DCE
=180°-40°-50°
=90°（等式性质）
在△ACE中，________________
∴∠E=180°-（∠1+∠2）
=180°-90°
=90°（_____________________）
①∠C；②∠ACD；③两直线平行，同旁内角互补；④同旁内角互补，两直线平行；
⑤∠1+∠2=90°；⑥∠1=50°，∠2=40°；⑦平角的定义；⑧三角形的内角和等于180°．以上空缺处依次所填正确的是( )
A.②③⑤⑧
B.①③⑥⑧
C.①④⑤⑦
D.②③⑥⑧
答案：A
解题思路：
要求∠E的度数，考虑放在△ACE中利用三角形的内角和等于180°来求解，
只要求出∠1+∠2的度数即可．
由AB∥CD，利用两直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°（因此第一个空选②，第二个空选③）．
由∠BAE=40°，∠DCE=50°，利用等式性质，得∠1+∠2=90°．
在△ACE中，∠1+∠2=90°，利用三角形的内角和等于180°，得∠E=90°（因此第三个空选⑤，第四个空选⑧）．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理
3.已知：如图，BF∥DG，AD∥EF，∠ACF=70°，∠G=30°．
求∠EFG的度数．
证明：如图，
∵BF∥DG（已知）
∴∠ACF=______（两直线平行，同位角相等）
∵AD∥EF（已知）
∴∠D=______（两直线平行，同位角相等）
∴∠ACF=∠1（等量代换）
∵∠ACF=70°（已知）
∴∠1=70°（等量代换）
在△FEG中，∠1=70°，∠G=30°
∴∠EFG=180°-∠1-∠G
=180°-70°-30°
=80°（____________________）
①∠CFE；②∠D；③∠1；④∠ACF；⑤平角的定义；⑥三角形的内角和等于180°．
以上空缺处依次所填正确的是( )
A.①③⑤
B.①④⑥
C.②③⑥
D.②④⑤
答案：C
解题思路：
要求∠EFG的度数，考虑放在△EFG中利用三角形的内角和等于180°来求解，
已知∠G=30°，只要求出∠1的度数即可，
已知∠ACF=70°，因此利用平行线的性质转移角．
由BF∥DG，利用两直线平行，同位角相等，得∠ACF=∠D（因此第一个空选②）．
由AD∥EF，利用两直线平行，同位角相等，得∠D=∠1（因此第二个空选③）．
已知∠ACF=70°，利用等量代换，得∠1=70°，在△EFG中，∠1=70°，∠G=30°，利用三角形的内角和等于180°，得∠EFG=80°（因此第三个空选⑥）．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理
4.已知：如图，∠ABC=∠ADC，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠1=∠2．
求证：AD∥BC．
证明：如图，
∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠3=∠ABC（角平分线的定义）
∵DF平分∠ADC（已知）
∴∠1=∠ADC（_____________________）
∵∠ABC=∠ADC（已知）
∴_________（等式性质）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴AD∥BC（_____________________）
①已知；②角平分线的定义；③∠1=∠3；④∠2=∠3；
⑤内错角相等，两直线平行；⑥两直线平行，内错角相等．
以上空缺处依次所填正确的是( )
A.①③⑥
B.②③⑤
C.①④⑤
D.②③⑥
答案：B
解题思路：
要证AD∥BC，考虑同位角，内错角，同旁内角，观察题目中的已知条件，本题利用内错角相等，两直线平行．
由角平分线的定义，得，（因此第一个空选②）．
又因为∠ABC=∠ADC，利用等式性质，即∠1=∠3（因此第二个空选③）．
已知∠1=∠2，利用等量代换，得∠2=∠3，利用内错角相等，两直线平行，得AD∥BC（因此第三个空选⑤）．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：角平分线
5.已知：如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DF⊥AB，垂足为F，DE∥AC，∠A=∠B．
求证：∠1=∠2．
证明：如图，
∵DE∥AC（已知）
∴∠A＝______（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠B（已知）
∴∠B=∠3（等量代换）
∵DF⊥AB（已知）
∴∠DFE=∠DFB=90°（垂直的定义）
∴∠3+∠1=90°，∠B+∠2=90°（____________________）
∴∠1=∠2（____________________）
①∠1；②∠3；③垂直的性质；④直角三角形两锐角互余；
⑤等角的补角相等；⑥等角的余角相等．
以上空缺处依次所填正确的是( )
A.①③⑥
B.②④⑥
C.①③⑤
D.②④⑤
答案：B
解题思路：
要证∠1=∠2，题目中有平行，考虑利用平行线的性质转移角．
由DE∥AC，利用两直线平行，同位角相等，得∠A=∠3（因此第一个空选②）．
结合已知条件∠A=∠B，利用等量代换，得∠B=∠3，
由DF⊥AB，利用垂直的定义，得∠DFE=∠DFB=90°，
利用直角三角形两锐角互余，得∠3+∠1=90°，∠B+∠2=90°（因此第二个空选④）．进而利用等角的余角相等，得∠1=∠2（因此第三个空选⑥）．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：余角定理
6.已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠1=∠2．
求证：AB∥DG．
证明：如图，
∵EF⊥BC（已知）
∴∠EFB=90°（垂直的定义）
∴∠B+∠1=90°（____________________）
∵AD⊥BC（已知）
∴∠2+∠3=90°（垂直的定义）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠B=∠3（____________________）
∴____________（同位角相等，两直线平行）
①直角三角形两锐角互余；②垂直的定义；③等角的余角相等；④等角的补角相等；
⑤等量代换；⑥EF∥AD；⑦AB∥DG．
以上空缺处依次所填正确的是( )
A.②④⑦
B.②③⑥
C.⑤③⑦
D.①③⑦
答案：D
解题思路：
要证AB∥DG，考虑同位角，内错角，同旁内角，结合已知条件本题利用同位角相等，两直线平行．
由已知EF⊥BC，AD⊥BC，利用垂直的定义，∠EFB=90°，∠2+∠3=90°，利用直角三角形两锐角互余，得∠B+∠1=90°（因此第一个空选①）．
结合已知∠l=∠2，利用等角的余角相等，得∠B=∠3（因此第二个空选③）．
再利用同位角相等，两直线平行，得AB∥DG（因此第三个空选⑦）．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：余角定理
7.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．E是CA延长线上一点，EG⊥BC，垂足为G，∠E=∠1．
求证：AD平分∠BAC．
证明：如图，
∵AD⊥BC（已知）
∴∠ADC=90°（垂直的定义）
∵EG⊥BC（已知）
∴∠EGC=90°（垂直的定义）
∴∠ADC=∠EGC（等量代换）
∴EG∥AD（____________________）
∴∠E＝______（两直线平行，同位角相等）
∠1＝______（两直线平行，内错角相等）
∵∠E=∠1（已知）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）
①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③∠2；④∠3．
以上空缺处依次所填正确的是( )
A.②④③
B.②③④
C.①④③
D.①③④
答案：A
解题思路：
如图，要证AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，只需证明∠2=∠3即可．
由已知AD⊥BC，EG⊥BC，利用垂直的定义，∠ADC=90°，∠EGC=90°，利用等量代换，得∠ADC=∠EGC，利用同位角相等，两直线平行，得EG∥AD（因此第一个空选②）．
进而利用两直线平行，同位角相等，得∠E=∠3（因此第二个空选④）；利用两直线平行，内错角相等，得∠1=∠2（因此第三个空选③）．
又因为∠E=∠1，利用等量代换，得∠2=∠3，由角平分线的定义，得AD平分∠BAC．
故选A．
想一想：
1．由平行可以想什么？
2．要证平行，怎么想？
3．要求一个角的度数，我们可以怎么考虑？
参考答案：
1．由平行可以想同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
2．要证平行，找同位角、内错角、同旁内角，因为同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
3、首先观察图形，结合已知条件，看它可以看成什么角，然后设计方案求解．如果看成三角形的内角，可以考虑通过三角形的内角和等于180°求解；如果有平行，可以考虑通过平行转移角，等等．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质、判定