xx 届高考数学调研考试试题
数学（理）试题
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 答题时间120分钟，满分150分.
第I 卷（选择题 共60分）
注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必用蓝、黑色墨水笔将姓名、考试证号填写在答题卡上，并用
2B 铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的考试证号和考试科目.
2．每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号. 如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案。答案写在试题卷上无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．若A 、B 、C 是三个集合，则“A ∩B =C ∩B ”是“A =C ”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 2．要得到函数3
2sin(π
-=x y ）的图象，可以将函数x y 2sin =的图象
（ ）
A ．向右平移
6π
个单位长度 B ．向左平移
6π
个单位长度
C ．向右平移3π
个单位长度
D ．向左平移3
π
个单位长度
3．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则公比的值是 （ ）
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
4．已知圆042:2
2
=+-+y x y x C ，则过原点且与C 相切的直线方程为 （ ）
A ．x y 2-=
B ．x y 2
1
-
= C ．x y 2
1=
D ．x y 2= 5．若x ，y 为非零实数，且x A ． y x 1 1> B ．y x xy 2 2 < C ． y x xy 2 211< D ． y x x y < 6．已知函数]4 ,3[)0(sin 2π πωω->=在x y 上单调递增，则ω的取值范围是 （ ） A ．（0，]2 3 B ．（0，2] C ．（0，1] D ．（0，]4 3 7．已知实数x ，y 满足42,0520402-+=?? ? ??≤--≥-+≥+-y x z y x y x y x 则的最大值为 （ ） A ．521 B ．21 C ．295 D ．29 8．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 （ ） A ．x y cos = B ．|1|--=x y C ．x x y +-=22ln D ．x x e e y -+= 9．已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 位于双曲线上，线段PF 1的中点 坐标为（0，2），则双曲线方程是 （ ） A ．1422 =-y x B ．14 2 2=-y x C ．13 22 2=-y x D ．12 32 2=-y x 10．已知)(x f 是定义在实数集R 上的函数，它的反函数为)(1 x f -，若)1(1 +=-x f y )1(+=x f y 与互为反函数，且1)1(=f ，则)2(f 的值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 11．若函数?? ?≥<+-=)1(log ),1(4)13()(x x x a x a x f a 对任意21x x ≠，都有1212) ()(x x x f x f --<0，则a 的取值范围是 （ ） A ．（0，1） B ．（0， 3 1 ） C ．（ ]1,7 1 D ．)3 1,71[ 12．已知z y x ,,均为正实数，且z y x xz yz z xy ++=+++则,02242 的最小值是（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．22 第II 卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题答中。 2．答卷前将密封线内项目填写清楚。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13．若直线016422)1(=++-=++y mx m y m x 与直线平行，则m 的值为 . 14．若=+∈=- ααπ απ αcos sin ),2 ,0(21)4tan(则且 . 15．抛物线x y 82 =的焦点为F ，若P 为抛物线上一点，M 的坐标为（4，2），则|MP |+|FP | 的最小值为 . 16．若点D 在△ABC 的边BC 上，μλμλ++==则,3的值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 设0≥a ，解关于x 的不等式 .01 >--a x ax 18．（本小题满分12分） 在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 向量 u =),3,(2 22ac c a b -- v =且),cos ,(sin B B u ⊥v . （I ）求角B ； （II ）求C A sin sin +的最大值. 19．（本小题满分12分） 某射手进行射击练习，每次射出一发子弹，每射5发为一组，一旦命中就停止，并 进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下组练习. 已知他每次射击命中的概 率为 2 1 ，且每次射击命中与否互不影响. （I ）设ξ为他在一组练习中所消耗的子弹数，求ξ的分布列及期望E ξ. （II ）求在连续完成两组练习后，恰好共消耗4发子弹的概率. 20．（本小题满分12分） 已知椭圆M 的两个焦点分别为F 1（－1，0），F 2（1，0），P 是椭圆上的一点，且 PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|=8. （I ）求椭圆M 的方程； （II ）点A 是椭圆M 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，点B 、C 是椭圆M 上不同于 点A 的两点，其中△ABC 的重心是椭圆M 的右焦点，求直线BC 的方程. 21．（本小题满分12分） 已知函数.ln )(x x x f =（I ）若01)(>-≥x ax x f 对任意恒成立，求实数a 的取值范围；（II ）若0,0>>b a ，证明：).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++ 22．（本小题满分12分） 已知数列),3,2,1(1 3),3,2,1(3 2}{1ΛΛ=+-==+ =+n a a b n a a a n n n n n n 满足 ).3,2,1(3Λ=-=n a c n n （I ）若a 1=2，证明}{n b 是等比数列； （II ）在（I ）的条件下，求}{n a 的通项公式； （III ）若)2 7,25(1∈a ，证明数列{|n c |}的前n 项和S n 满足S n <1. 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．B 10．C 11．D 12．D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．1 14． 5 10 2 15．6 16．0 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分） 解：①当0=a 时，不等式为01 >- x ，解集为（－∞，0） ；……………………2分 ②当a a a 1,10<<<时，解集为（－∞，－a ）),1 (+∞?a ；……………………5分 ③当a =1时，不等式为),1()1,(,011 +∞?-∞>--解集为x x ；……………………7分 ④当a >1时，).,()1 ,(,1+∞?-∞>a a a a 解集为…………………………………10分 18．（本小题满分12分） 解：（I ）∵u ⊥v ，∴u ·v =0，即.0cos 3sin )(2 22=+--B ac B c a b ……3分 又),2 ,0(,23sin ,2cos 222π ∈=∴-+= B B ac b c a B .3 π = ∴B ……………………………………………………………………6分 …………4分 （II ）由（I ）知,3 2,32A c C A -=∴= +ππ A A A A A A A C A cos 2 3 sin 23sin 21cos 23sin )32sin( sin sin sin +=++=-+=+∴π ).3cos(3π -=A ………………………………………………………………9分 又,333,320π πππ<-<-∴< ∴当A －3π=0，即A = 3 π 时，C A sin sin +的最大值为.3……………………12分 19．（本小题满分12分） 解（I ）,2 1 )1(= =ξP 41 21)211()2(=?-==ξP ， 81 21)211()3(2=?-==ξP ， 161 21)211()4(3=?-==ξP ， .16 1 )211()5(4=-==ξ P ……………………………………………………3分 .16 16==∴ξE ……………………………………6分 （II ）两组共消耗4发子弹可能是： 第一组消耗1发，第二组消耗3发； 第一组消耗2发，第二组消耗2分； 第一组消耗3发，第二组消耗1发. ∴所求概率为 2 1 21)211(21)211(21)211(21)211(2122??-+?-??-+?-?…………10分 .16 3161161161=++=…………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（I ）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由已知得mn =8， 由PF 1⊥PF 2，得42 2 =+n m ，……………………………………………………2分 22222,20)2(,202)(a a mn n m n m 得即==++=+∴=5，……………………4分 .4222=-=∴c a b …………………………………………………………………5分 故椭圆M 的方程为.14 52 2=+y x ……………………………………………………6分 （II ）设2211,(),,(y x C y x B ），直线BC 的斜率为k ，BC 中点为（00,y x ），A （0，2）. 虽然BC 不会与x 轴垂直，故21x x ≠， 则,14 52 121=+y x ① ,14 522 22=+y x ② ①－②得 .54)(5) (40 021212121y x y y x x x x y y -=++-=-- ③………………………………8分 由于F 2（1，0）是△ABC 的重心，所以 2 3 2,13021021=+==++x x x x x 得， ,12,0322 1021-=+==++y y y y y 得代入③得 ,5 6 2121=--= x x y y k …………………………………………………………11分 ∴直线BC 的方程为.01456=--y x ………………………………12分 21．（本小题满分12分） （I ）解法一： 由,1ln ,1ln ,1)(+≤-≥-≥x x ax ax x x ax x f 即得 01 ln ,0>+≤∴>x x x a x 在Θ上恒成立.………………………………2分 令.1,01 11)(,1ln )(22==-=-='+=x x x x x x g x x x g 得由 ,0)(,10,0)(,1<'<<>'>∴x g x x g x 时时 )(x g ∴在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，……………………4分 .1. 1)1()(min ≤∴==∴a g x g …………………………………………………6分 解法二： 令,1ln )(,1ln )(a x x g ax x x x g -+='+-=则 由,,0)(1 -=='a e x x g 得…………………………………………………………2分 当,0)(,),(,0)(,),0(11 >'+∞∈<'∈--x g e x x g e x a a 时时 ),()(1+∞∴-a e x g 在上为增函数，在（0，1-a e ）上为减函数，………………4分 . 11)1(1ln )()(1 1 1 1111min +-=+--=+-==∴-------a a a a a a a e ae e a ae e e e g x g 要使1)(-≥ax x f 在0>x 上恒成立， 即使0)(,00)(min ≥>≥x g x x g 也即上恒成立在恒成立， 由.1,1,0111 ≤≤≥+---a e e a a 即得…………………………………………6分 （II ）令),()(2ln )()()(b f b a f b a a f a h ++-++= b b b a b a b a a a ln )ln()(2ln )(ln +++-++= b a a b a a a h +=+--++='2ln )ln(12ln 1ln )(Θ，……………………8分 当0>>b a 时，,0)(,0,0)(<'<<>'a h b a a h 时当 ) ()2(22)()()(.),(,),0()(min b f b f bn b f b h a h b b a h +-+==∴+∞∴上为增函数在上为减函数在 )2(2ln 2)(2b f b b f -+=……………………………………10分 .022ln 22ln 22ln 2ln 2==-+=b b b b b b b b ).()(2ln )()(,0)(b f b a f b a a f a h -+≥++≥∴即……………………12分 22．（本小题满分12分） 解（I ）3 1 13,21111-=+-= ∴=a a b a Θ， 由已知n n n n n n n n b a a a a a a b 3113311 323 3 213111 -=+-?-=++-+ =+-=+++， }{n b ∴是首项为31-，公比为3 1 -的等比数列.…………………………3分 （II ）由（I ）知n n n n n n a a b )3 1 (13,)31() 3 1)(31(1 -=+--=--=-即， .)3 1(1)31 (3n n n a ---+= ∴……………………………………………………6分 （III ）首先证明.2>n a ①当n =1时，2),2 7,25(11>∴∈a a Θ；………………………………7分 ②假设;2,>=k a k n 时…………………………………………………8分 当.2 1|1| ,2232,11<∴>∴>+ =+=+n n k k a a a a k n 时 ||2 1 |3|21|3| |332||3|||11111-----<-<-=-+ =-=∴n n n n n n n c a a a a a c ， ||)2 1 (||21||111c c c n n n --<<< ∴Λ， 2 11)21(1||])2 1()21(1[||||)21 (||21||||||||111111121--? =+++?=?+++ <+++=∴--n n n n n c c c c c c c c S ΛΛΛ =||])2 1(1[21c n -，…………………………………………………………10分 21321,272511<-<-∴< ， 即2 1||,212111<<<-c c 即， .1)2 1 (1||])21(1[21<-<-<∴n n n c S …………………………………………12分
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