《正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式》教案
河南省南阳市一中 贾海山
一、 教学目标：
1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念
2、 会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式
3、 通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学
的重要思想方法之一
二、 教学重、难点
1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；
2、 了解周期性及一般函数周期性的定义，会求简单函数的周期性；
3、 掌握诱导公式，包括推导、记忆、应用（求值、化简等）；
4、 利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法 三、情感态度与价值观
1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；
2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。 四、教学过程
§4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 §4.2 单位圆与周期性 （1课时）
尝试回忆
1、1弧度的角；
2、角度制与弧度制的互化；
3、弧长公式及扇形面积公式；
4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合。
2、特别注意：角度与弧度不要混用。如0
90,k k Z π+∈，应写成0
18090,k k Z ?+∈或
,2
k k Z π
π+
∈
3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？
由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义。
探究新知 1、单位圆
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。
单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函数定义
在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作v=sin α; 点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos α.
通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y
定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值域为补充：人教版定义（P16练习2就类似人教版定义）
设点P （a,b ）是角α终边上除原点之外的任意一点，记r =
则定义sin ,cos .b a
r r
αα=
=更具有一般性。 3、三角函数值的符号
根据定义，三角函数值的符号仅与点P 的纵、横坐标的符号有关。sin α在一、二象限为正，三、四象限为负；cos α在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。
例1功能：会求任意角的三角函数值。其步骤（1）画角；（2）求交点坐标。可联立方
程221,.
x y y x ?+=?=-?解得；（3）求值。 动手实践给我们另一种方法：利用对称性可求交点坐标，从而解其它超过锐角的特殊角的三角函数值。
表1-5中的数据变化特点：说对称性可以，说周期性可以，说正余弦函数图像关系可以。 4、单位圆与周期性
在单位圆中找到角
,2,46
6
6
α
α
α
ππ+
+
等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；（2）
交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。即
sin(4)sin(2)sin ,cos(4)cos(2)cos .666666
αααααα
ππππ+=+=+=+=
从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等。即
sin(2)sin ,.cos(2)cos ,.k x x k Z k x x k Z ππ+=∈+=∈
说明：对于任意一个角x ，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。所
以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这种随自变量的变化函数值呈周期性变化的函数叫做周期函数。特别指出，周期性不是三角函数特有的，一般函数也有周期性。周期函数的自变量不一定是角。2π是sin ,y x x R =∈的周期，则2,,0k k Z k π∈≠都是它的周期，并且它的所有周期中有一个最小的正数2π，称2π为它的最小正周期。同理2π也是cos ,y x x R =∈的最小正周期。
有的周期函数没有最小正周期，如()2,.f x x R =∈任意一个正数都是它的周期，但没有一个最小的正数。
周期函数的严格定义：一般地，对于函数()f x ，如果存在非零常数T ,对定义域内的任意一个x 值，都有()()f x T f x +=，则称()f x 为周期函数，T 为它的一个周期。
周期函数的常见变化求法有2种：（1）(2)()f x f x +=-，看似不周期函数，但变形后是！((2)2)(2)(())()f x f x f x f x ++=-+=--=即(4)()f x f x +=.（2）(2)(2)f x f x +=--变形为(2)(2) ()()(22)(4)(4)()(8)()f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+∴=-++=+∴+=-∴+=找 ！ 。 作业 P20 习题1.4 1、2、3、4、5
4.3单位圆与诱导公式 （1课时）
P’(
性，探寻角α与2
π
ααππαα-±-+
，，，等正、余弦函数关系，得到诱导公式。便于推导，
也方便记忆。把用对称找点的坐标作为重点。
1、角α与α-的正、余弦函数关系
sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=
2、角α与απ±的正、余弦函数关系
sin()sin ,cos()cos .
sin()sin ,cos()cos .
απααπααπααπα+=-+=--=--=-
3、角α与πα-的正、余弦函数关系
sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=-
也可以由1、2两组公式推出
sin()sin()(sin )sin ,
cos()cos()cos .
πααπααπααπα-=--=--=-=-=-
4、角α与
2
πα+的正、余弦函数关系
sin()cos ,cos()sin .22
ππ
αααα+=+=-
5、角α与
2
πα-的正、余弦函数关系
sin()cos ,cos()sin .22
ππ
αααα-=-= 6、任意角α的正、余弦函数的诱导公式 （1）2k πα+
sin(2)sin ,cos(2)cos .()k k k Z πααπαα+=+=∈
（2）α-
sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=
（3）2πα-
sin(2)sin ,cos(2)cos πααπαα-=--=
（4）πα±
sin()sin ,cos()cos .πααπαα+=-+=-sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=-
（5）
2
πα±
sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=- sin()cos ,cos()sin .22ππ
αααα-=-=
补：32
πα±
)
P 1
P 1 (-y ,
33sin(
)cos ,cos()sin .22ππαααα+=-+= 33sin()cos ,cos()sin .22
ππ
αααα-=--=- 2k πα+、2πα-、α-、πα± 记忆规律：“函数名不变，符号看象限”。即它们的正、余弦函数值等于α的同名三角函数值，加上把α看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。如把α看成锐角时，2πα-终边在第四象限，其余弦值为正，函数名称不变，所以
cos(2)cos παα-=
2π
α±，
32
π
α± 记忆规律：“函数名改变，符号看象限”。即它们的正、余弦函数值等
于α的“余”名三角函数值，加上把α看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。“余”名：
“正则余，余则正”。如把α看成锐角时，2
πα+终边在第二象限，其余弦值为负，函数名称
改变，所以cos(
)sin 2
π
αα+=-。
7、诱导公式的作用
（1）可把任意角的三角函数值转化为0~
2
π的三角函数值求出。一般地：负角化正角（α-），再化成为0~2π（2k πα+），再化成为0~2
π求出。第二象限用πα-，第三象限用πα+，
第四象限用2.πα- （2）化简 （3）求值 例1． 求下列函数值
（1） sin(－
47π) （2）sin(316
π
-)； （3）sin(－1650?)； 解： (1) sin(－
47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4
π＝22
（2）313177cos()cos cos(4)cos cos()cos 6666662
ππππππππ-
==+==+=-=- （3）sin(－1650?)＝－sin1650?＝－sin(4×360?＋210?)＝－sin210? ＝－sin(180?＋30?)＝sin 30?＝
2
1
例2．化简：
()()()()()
πααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin 解：原式=1 五、小结
1、对学生的活动做出评价；
2、利用单位圆研究正、余弦函数的定义、周期性、诱导公式；
3、会用诱导公式求值、化简等。
作业 P 20 A 组 7、8 B 组 1、2、3