高难度压轴填空题-数列
1. 等比数列{ a n}首项为正数，a k a k 2 a621024, a k 38 ，若对满足a t128 的任意
k t m 都成立，则实数m
的取值范围是____________ (, 8] t ，
t
k
解析： a k a
k 2a62k k 2 12k7 ，则 a k3a48, a625q2
a n 2 n 1， a t1282t127t8 ，k
t m m14
t
1 递增， t9，
14k t7
7t 2 ，718
7t
2.已知函数 f ( x) 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有 f (x2) 2 f ( x1)
f ( x) ，且 f (1)2, f (3) 6 ，则 f (2009)_______ 4018
解析：实际上是等差数列问题
3.S1
11
1
11
1
11
...1
11
2 ，则
2
2
2
2
222
4
2
2008
2
2009
133
不大于 S 的最大整数[ S]等于_______2008
解析：111n(n 1)1
1
11 n2( n 1) 2n( n 1)n n 1
S20081
1
[ S]2008 2009
4.已知数列a n满足 a1t, ， a n 1 a n20(t N* , n N* ) ，记数列a n的前 n 项
和的最大值为 f (t) ，则 f (t ).t 22t
(t为偶数 ) 4
(t1)2
(t为奇数 ) 4
解析：关键是 (t N* ,n N* )
5.对任意∈，函数 f ( x) 满足
f ( x1) f ( x)[ f ( x)]
2
1，设 a n[ f (n)] 2 f (n),
x R
2
31
, 则f (15)
=3
数列 { a n } 的前15项和为．
164
解析：关键之一：不要误入化简函数式的误区；
关键之二：能否看出 f (x)[
1
,1] ；（ f ( x1)1）
22
关键之三：a n f (n)[ f (n)1] (a n1
1
)(a n 1 1 )
22
1 3 3
1 / 7
高难度压轴填空题
-数列
6. 设 a 1, a 2 ,L , a 50 是从 -1 ， 0， 1 这三个整数中取值的数列，
若 a 1 a 2
L
a 50
9,且(a 1 1)2 ( a 2 1)2 L
( a 50 1)2
107 ，则 a 1,a 2 ,L , a 50 中
数字 0 的个数为
11
解析：由题意， a 1 , a 2 ,..., a 50 里有 9 个 1，其余不是 0，就是成对出现（ 1，-1），设有 n 个 0，
m 1 -1
），则 2m n
41
对（ ，
，再由
(a 1 1)2 ... (a 50 1) 2
107 4m n 107 36 71 ，解得 m
15, n 11
7. 已知数列 { a n } 的各项均为正整数，对于 n
1, 2, 3, ，有
3a n 5
a n 为奇数
*
a n
a n
，若存在 m
1
N ，当 n m 且 a n
2k
a n 为偶数 , k 是使 a n 1为奇数的正整数
为奇数时， a n 恒为常数 p ，则 p 的值为 ______ 1或 5
解析：当 a n 为奇数时， a n 1
3a n 5 为偶数， a n
2
3a n 5 为奇数，当 n m 且 a n 为
2 k
奇数时， a n 恒为常数 p ，故 p
3 p 5
2k
3 5 ， p
0 ，故 p
1或 5
2 k
p
8. 已知等差数列 { a n } 的公差 d 不为 0，等比数列 { b n } 的公比 q 是小于 1 的正有理数 .若 a 1=d ，
b 1=d 2，且
a 12
a 22 a 32 是正整数，则 q 等于 ________ 1
b 1 b 2 b 3
2
解析：（ 2007 全国联赛）因为 a 12
a 22 a 32 a 12 (a 1 d) 2 (a 1 2d )2 14
，故
b 1
b 2 b 3
b 1 b 1q b 1q 2
1 q q
2 由已知条件知道： 1+q+q 2
为
14
，其中 m 为正整数。令 1
q q 2 14 ，则
m
m
q
1
1 14 1
1
56 3m 。由于 q 是小于 1 的正有理数，所以 1 14 3 ，
2 4 m
2
4m
m
即 5≤m ≤13 且
56
3m
是某个有理数的平方，由此可知
q
1
4m
2
9. 已知等差数列 { a n } 和 { b n } 的前 n 项和分别为 S n ， T n ，且 S n ＝ n
对任意 n N * 恒成立，
n
a 10
19 则
b 5 的值为
17
S n
n
a n (2n 1) a n S 2 n 1 解 析 ： T n ＝ 2n － 1
b n
(2n 1)b n
T 2 n 1
2n 1
， 等 差 数 列 { a n } 和 { b n } ， 故 设
4n 3
a n
k(2n 1) ， b n k (4n 3) ，然后直接计算
10. 已知数列 { a n },{ b n } 满足 a 1 1,a 2 2,b 1 2, 且对任意的正整数 i , j , k,l , 当 i j
k l
高 度 填空
-数列
，都有 a i
b j
a k
b l ，
n
a i 2
b i
2
.
a i
b i
i 1
解析：令 i 1, j n, k 2,l
n
1， a 1 b n
a 2
b n 1
b
n
n
1
再令 i
n, j 1, k n 1, l 2 ， a n
n
a k 2
b k 2 k 2 (k 1) 2
2k 2 2k 1
2
1 1
a k
b k
k(k 1)
k (k 1)
k
k
1
11. 在平面直角坐 系中， 定
x n 1 y n x n
点 P n (x n , y n ) 到点 P n 1 ( x n 1 , y n 1 ) 的一个
y n 1 y n
x n
" " ，已知 P 1 (0,1) ， P 2 (x 2 , y 2 ) ，?， P n (x n , y n ) ， P n
1
( x
n
1 , y n 1 ) 是 " "
得 到 的 一 列 点 ， a n
P n P n 1 ， 数 列 { a n } 的 前 n 和 S n ， 那 么 S 10
__________ 31 31 2
解析： P n 1 ( y n
x n , y n
x n ), P n (x n , y n ) ，
x n 2
y
n 1
x n
1
( y n x n ) ( y n x n ) 2x n ，隔 成等比数列
从前几 找 律：
P 1 (0,1), P 2 (1,1), P 3 (0,2), P 4 (2,2), P 5 (0,4), P 6 (4,4), P 7 (0,8),....
a 1 1, a 2 2, a 3 2,a 4 2 2, a 5 4, a 6 4 2 ，成等比数列
12. 数列 { a n } 的前 n 和 S n ，令 T n
S 1 S 2
n
S n
，称 T n 数列 a 1, a 2 , , a n 的
“理想数”，已知数列 a 1, a 2 , , a 400 的“理想数” 2005 ， 11, a 1 ,a 2 , , a 400 的“理想数”
_________ 2011 解析：
2005
S 1
... S
400
, T
401
11 (11 S 1 ) ... (11 S 400 )
11 401 2005 400 2011
400
401 401
13. 已知函数 f x
sin x
tan x . 数 27 的等差数列
a n 足 a n
,，且公差
2 2
d 0 ，若 f a 1
f a 2
f a 27 0 ，当 f a k 0 ， k 的 _________14
解析：注意到
f ( x) 奇函数且在 a n
, 上 增，若 f a k 0 ， a k
0 ，
2 2
a k 1
a
k 1
0f (a k 1 ) f (a k 1 ) 0,........ ，若 k
14 ， 必然在其左或右多出几 ，
函数值的和不为
0，而其余和为 0，不合题意
1
1
n
t
14. 数列 a n 满足： a 1
1, 4
，记 S n
a i 2 ，若 S 2n 1
S n
对任意的
a n 2
a
n 1
i 1
30
n n N 恒成立，则正整数 t 的最小值为
10
解析：易得： a n 2
1 ，令 g (n) S 2n 1 S n ，而 g(n) g (n 1)
4n 3 1 1 1
a n 2
1
a 22n
2
a 22n 3 1 5 9 0 ，为减数列，
4n 8n 8n
所以： S 2 n 1
S n
g(1) 14 t ，而 t 为正整数，所以 t
min
10
45 30
f x
a x 5
x 6
15. 已知函数
(4
a 4 x 6
,
数列 a n 满足 a n
f n n
N ，且数列
) x
2
a n 是单调递增数列，则实数
a 的取值范围是
4,8
16.
已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 (a 2 1)3 2010( a 2
1) 1 ，
( a
2009
1)3
2010(a 2009 1) 1 ，则下列四个命题中真命题的序号为
．
②③
①
S
2009
2009 ； ②
S
2010
2010 ； ③ a 2009
a 2 ；
④
S
2009
S 2
解析：构造函数 f ( x)
x 3 2010 x 奇函数且单调增，则
f (a 2
1) 1, f (a 2009 1)
1
则
a 2
a 2009 2 ， S 2010
2010(a 2
a 2009 )
2009(a 1
a 2009 )
2
2010, ②正确； S 2009
2
因为公差 d
0 ，故 a 2 a 1 ，①错误； f (a 2 1)
1, f ( a 2009
1)
1 ，知 a
2 1 ，
a
2009
1 ，③正确；
a 2
1 ， a
2009
1
d 0 ，
S
2009
S
2010
a
2010
2010 (2 a 1 ) 2008 a 1 ， S 2
a 1
a
2 ， 若
S 2009 S 2 得
a 2
2008 ，而此时 (a 2 1)3 2010(a 2 1) 1不成立
17.
在等差数列 { a n } 中，若任意两个不等的正整数
k, p ，都有 a k 2 p 1， a p 2k 1 ，
设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 k p
m ，则 S m
（结果用 m 表示） m 2
解： a k
a p (k p) d 2( p k) (k p)d d
2
m( a a
m ) m(a k 1 a p )m(a k a p d )m(2 p 1 2k 1 2)m 2m
1
S m
2222 2
m 2
18.已知ABC 的三边长a, b, c成等差数列，且a2b2c284, 则实数ｂ的取值范围是(2 6,2 7]
解法一：设 a b c ，且 a b d ，c b d, d0
a 2b2c2(
b d) 2 b 2(b d) 23b22d 2843b 284 b 2 7
又 a b c ，故
b d b b d b 2d d b84 3b22d 27 b2 b 2 6
22
解法二：基本不等式2b a c ，a2 b 2c2(a c) 22ac b 25b22ac84
而 22
ac ac b 28452232
b
228
b
27
b a
c b ac b
又 a b c, 不妨设a b c ，
（同一题）已知ABC 的三边长a,b, c成等差数列，且a2b2c284, 则实数ｂ的取值
范围是(26, 27]
解析：不妨设 a b c ，且 a b d ,c b d, d 0，代入等式得(b d )2b2(b d ) 2843b22d 284 ，故 3b 284 b 2 7 ，又三边不等
关系知， a b c b d b b d b2d d b
，故2b 2 2 (
b
) 284 22
b26
19. 已知数列{ a n}、{ b n}都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1b1 5 ，
a1 ,b1N *．设 c n a
b n（n N *），则数列 {
c n } 的前10项和等于85
解析：即求 a b1a b2 ...a
b10，由于两数列都是公差为1，故此数列也是等差数列，由求
和公式知：S
1010a b10911045，而a b1a(b1)1514 2a b11
11
20. 数列{ a n}的前n项和是S n，若数列{ a n}的各项按如下规则排列：
1 1
, 2 1 2 3 1 2 3
4 , 1
,
3 , , , , , , , 5
, L ，
2
3 4 4 4 5 5 5
6
5
若存在整数 k ，使 S k
10 ， S k 1 10 ，则 a k
___ 7
n(n 1)
1 2
n 1 n 1
解析：由于
... 2 ，故
n n n
n 2
S
1 1 2
1 2
...n 1 1
(1 2 ... n 1 n(n 1) n( n 1)
2
(
) ...
(
n )
2 1) 2
4
3 3
n
n 2
当 n
6时， S
15 10 ，当 n
7 时， S
21 10 ，
2
2
故
1
...
6
21
10 ， 1 (5)
21 6 10 ，所以 a k 5
2
7 2
2
7 2 7
7
21. 等差数列
a n
的公差为 d ，关于 x 的不等式 d
x 2 ＋ a 1 d x ＋ c ≥ 0 的解集为 [0 ，22] ，
2
2
则使数列
a n 的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是
． 11
解析：由解集可得
a 1
21
d ， a n
d (
23
n)
0 (d
0)
2
2
22. 若数列 { a n } 是等差数列，首项 a 1
0, a
2003
a
2004
0, a 2003
.a
2004
0 ，则使前 n 项和
S n 0 成立的最大自然数 n 是 ________4006
解析： a 2003
0, a 2004 0, S 4006
4006(a 1
a
4006 )
4006(a 2003 a 2004 )
2
2
而 S 4007 0
23. 设正项数列 { a n } 的前项和是 S n ，若 { a n } 和 {
S n } 都是等差数列，且公差相等，则
a
1
＝
1
4
解析： {
a 1 d
2a 1 d d 2
2 a 1 d a 1 d
S n } 是等差数列，则
平方得
4d 2
a 1 2d
3a 1 3d
4 a 1 d 2a 1 3d (2)
(1) 2 得 2d 2
d ，而数列各项为正，则
a 1 0, d 0 ，解得 d
1
1 2
代入（ 1）得 a 1
4
24. 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 1 ， 0 q
1
，且对任意正整数 k ， a k
(a k 1 a k 2 ) 仍是该数
2
列中的某一项，则公比
q 的取值集合为
2 1
解析： a n
q n
1
，则对任意正整数 k ，总存在 n N *
，使得 q
k 1
( q k q k
1 )
q n 成立
两 边 同 除 以
q k 1
， 得 1 ( q q 2 )
q n k
， 而
0 q
1 ， 则
2
q
2
q 1
(q 1 )2 5 ( 1
,1) ，即 1 q n k 1，所以
( 1 ) 2
1 2 4 4 4
q 2
q n k
q 0 1 ，故 0 n k 2, n k 1 ，代入 1 (q q 2 ) q n k 得
2
4
q 2 1