习题
1．
dx
dy
=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：
y
dy
=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e
2
x +e c =cex 2
另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2
x .
2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy
2y dy dy=-1
1+x dx
两边积分: -
y
1
=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c
另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
|
)1(|ln 1
+x c
3．dx dy =y
x xy y 321++
解：原方程为：dx
dy =y y 21+3
1
x x + y y 21+dy=3
1
x x +dx 两边积分：x(1+x 2
)(1+y 2
)=cx 2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：
y y -1dy=-x
x 1
+dx
两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为：
dx dy =-y
x y x +-
令
x
y
=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：
-1
12++u u du=x 1dx
ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x
y
. 6. x
dx
dy
-y+22y x -=0 解：原方程为：
dx dy =x y +x
x |
|-2)(1x y -
则令
x
y
=u dx dy =u+ x dx du
2
11u - du=sgnx
x
1
dx arcsin
x
y
=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
tgy dy =ctgx
dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=
x c cos 1=x
c
cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
所以原方程的通解为sinycosx=c.
8 dx dy +y
e x y 32
+=0 解：原方程为：
dx dy =y
e y 2
e x
3 2 e
x
3-3e
2
y -=c.
(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：
dx dy =x y ln x
y
令
x
y
=u ,则dx dy =u+ x dx du
u+ x
dx
du
=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx|
1+ln
x
y
=cy. 10. dx
dy =e y
x -
解：原方程为：dx
dy =e x e y
- e y =ce x 11
dx
dy =(x+y)2
解：令x+y=u,则
dx dy =dx
du -1 dx du -1=u 2
2
11
u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12.
dx dy =2)
(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx
du -1
dx du -1=21u
u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.
dx dy =1
212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2
-y)-dx 2
+x=c xy-y 2
+y-x 2-x=c 14:
dx dy =2
5--+-y x y x
解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(
21y 2+2y)-d(2
1
x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.
15: dx
dy
=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx dy
=（x+4y ）2+3
令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4
1
41dx du -41=u 2
+3 dx du =4 u 2
+13 u=2
3
tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=3
2
(x+4y+1).
16:证明方程
y x dx
dy
=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）
y(1+x 2
y 2
)dx=xdy
2）
y x dx dy =2
222x -2
y x 2y + 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dx
du 则dx dy =x 1dx du -2x u
，有：
u x dx
du
=f(u)+1
)1)((1+u f u du=x
1
dx
所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则
dx dy =x 1dx du -2x u
(1) 原方程可化为：dx dy =x
y [1+（xy ）2
] (2)
将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x
u (1+u 2
)
u=22+u +cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为： x= x 0 -
'
y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -
'
y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =
4
π 。 解：由题意得：y ’=
x
y
y 1dy=x 1 dx
ln|y|=ln|xc| y=cx. α =
4
π
则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx 则：y=kx 2 +c 即为所求。
习题
1.
xy dx
dy
2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得
。
故它的特解为代入得
把即两边同时积分得：e e x
x y c y x x c y c y xdx dy y
2
2
,11,0,ln ,21
2
=====+==
,0)1(.22
=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：
。
故特解是
时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x
y c y x y x c y c y x y dy dx x y
++=====++=+=+≠=+-
1ln 11
,11,001ln 1,11ln 0,1112
3 y
xy dx dy
x y 32
1++=
解：原式可化为：
x x y x
x y x y
x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2
2
2
2
2
2
2
2
322
32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2
1
1
1,0111=++
=++
≠++-=+
+=+≠+?+=+）
故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然
.0;0;ln ,ln ,ln ln 0
110000
)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y
dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0
ln 0
)ln (ln :931:8.
cos ln sin ln 0
7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1
sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2
11
11,11,,,0
)()(:5332
2
22
2
22
2
22
2
c dx dy dx dy x
y
cy u
d u
u dx x x y u dx x
y
dy x y ydx dy y x x c dy y
y y
y
dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c
x x x
y
c
x x u dx
x x du x
dx
du dx
du
x u dx dy ux y u x y y dx dy x
c x arctgu dx
x du u u u dx du x u dx
du x
u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e
e x y u
u x
y x u u x y
x
y
y x x
x
+===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++
=++-++=++===+-==-++-+--
两边积分解：变量分离：。
代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得
两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。
另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：
解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
c
x y x arctg c
x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx
dy c
dx dy dx
dy t
t y x e e e e e x y
x
y
y
x +=++==++=+==+=+===+-)(,1
11
1
1,.112
22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，
12．2)
(1y x dx dy += 解
c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1
11122
2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则
令
变量分离
，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y
X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'
22,31,313
1
,31;012,0121
212.
132
-+-=
=--=+=-==
-==+-=--+---=
.
7)5(721
772
17)7(,71,1,52
5,
14)5(22
c x y x c
x t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=
+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则
解：令
15．1
8)14()1(22+++++=xy y x dx dy
原方程的解。
，是
，两边积分得分离变量，
，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx
dy
+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38
3232(9
414
9
4141412
)14(1818161222222
16．2
252
622y x xy x y dx dy +-=
解：，则原方程化为，，令u y x
xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=3
2
322332322232]2)[(32(2)( 126326322
2
2
2+-=+-=x
u x u x
xu x u dx du ，这是齐次方程，令
c
x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d
z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735
372
233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则
17. y
y y x x
xy x dx dy -+++=3
232332 解：原方程化为1
231
32;;;;;)123()132(2
2
22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1
231
32;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则
方程组，，，）；令，的解为（111101230
132+=-=-??
?=-+=++u Y v Z u v u v
则有???
????
++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令
)2.( (232223322)
，，，，，所以，，则有t
t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当
是原方程的解
或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当
c x y x y dz z dt t
t t 522222
2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得 另外
c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或
，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得
，则原方程化为令解）（
并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程
c y x x y dx x du u
u u u x u u u u
x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx
dy
y x +==--=+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==
+=-+==+===
4ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.
x ,c 2
故原方程的解为原
也包含在此通解中。0y ,c 2
即,c 2两边同时积分得：dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。
故此方程为此方程为变u)(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du
y 1得：
y dx du dx dy x 所以,dx dy
dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).
2()1(.1)(18.222
22
2
2
2
2
2
2
22
2
4
22
3
3
22
2
22
222x y x y x y x y
x u u u
u y x
19. 已知f(x)?≠=x
x f x dt x f 0
)(,0,1)(的一般表达式试求函数.
解：设f(x)=y, 则原方程化为?=x
y
dt x f 0
1)( 两边求导得
'12
y y
y -
= c
x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==
-21
;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入
把c
x y +±
=21?
=
x
y
dt x f 0
1
)(
x
y c c x c c x c x dt c
t x
21,02)2(;;;;;;;;;;2210
±
==+±=-+±+±=+±?
所以得
20.求具有性质 x(t+s)=)
()(1)
()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存
在。
解：令t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(x x x -+=)
0()0(1)
0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1
矛盾。
所
以
x(0)=0.
x’(t)=)(1)(0(')
()(1[))
(1)((lim )()(lim
22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=?-?+?=?-?+) ))(1)(0(')
(2t x x dt
t dx +=
dt x t x t dx )0(')(1)(2=+ 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t]
习题
求下列方程的解
1．dx
dy =x y sin +
解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx
c dx +)
=e x [-
2
1e x
-(x x cos sin +)+c]
=c e x -2
1
(x x cos sin +)是原方程的解。 2．
dt
dx
+3x=e t 2 解：原方程可化为：dt
dx
=-3x+e t 2 所以：x=e ?
-dt
3 (?e t 2 e -?-dt
3c dt +)
=e t 3- (51
e t 5+c)
=c e t 3-+51
e t 2 是原方程的解。
3．dt
ds
=-s t cos +21t 2sin
解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 21
?e dt dt ?3c + )
=e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．
dx dy n x x e y n
x
=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x
+=
)(c dx e
x e e
y dx
x n
n
x
dx
x n
+??=?-
)(c e x x n += 是原方程的解.
5．
dx dy +1212--y x
x
=0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x
?
=-dx
x
x e
y 2
12(c dx e
dx
x x +?
-2
21)
)
2
1
(ln 2+=x e
)(1ln 2?+-
-c dx e
x
x
=)1(1
2
x
ce x + 是原方程的解.
6． dx dy 2
3
4xy
x x +=
解：dx dy 2
3
4xy
x x += =23y
x +x y
令
x
y
u = 则 ux y = dx dy =u dx du x +
因此：dx du x u +=2u x
21
u
dx du =
dx du u =2
c x u +=3
3
1 c x x u +=-33 （*） 将
x
y
u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
33
3
2
()2
1()2
27.(1)12(1)1
2
(),()(1)1(1)(())
1(1)dx
P x dx
x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++??
==+?
?++??
P(x)dx
2
3
2
解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23
2
2
1
(1)()
2
11
,()(())
dy y x c dy y dx x y dx x y dy y y
Q y y y
e y
Q y dy c -+++==+=??==?
?+??2
243P(y)dy P(y)dy
P(y)dy
1)dx+c)
=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 23
3
1
*)
2
2
y dy c y
y cy
y ++? =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。
()()()19.
,1
),()(())
01a
dx P x dx a
x P x dx
P x dx
a a dy ay x a dx x x
a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==
??==?
?+==?为常数解：（方程的通解为： y=1x+1
=x (dx+c)
x x
当 时，方程的通解为
y=x+ln/x/+c 当 时，方程01a a a
≠a 的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 ，时，方程的通解为
x 1
y=cx +-
1-
33
3
1()()()310.1
1
(),()1
(())
(*)
dx P x dx x P x dx
P x dx dy
x
y x dx dy y x dx x
P x Q x x x e e x
e e Q x dx c x x dx c c
x
c
x
--+==-+=-=??==
?
?+++
+
??33解：方程的通解为： y=1
=x x =4x 方程的通解为： y=4
3
2221
2
11
1()()222ln 1
12.(ln 2)424
ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())
ln 1(())(P x dx
P x dx dx dx x
x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z dz x z dx x x
x P x Q x x x
z e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++
=-
=-=-==-==-
?
?=+??=-+=??解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())
ln 1424
ln 1
:()1,424
x dx c x x c x x c x y x -+=++++=?方程的通解为且y=0也是解。
13
222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y =--==-
这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以
1
y
， 212
dy y y dx x =- 令2y z =
2dz dy y dx dx
= 22211dz y z
dx x x
=-=- P(x)=
2
x
Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式
2
2
()dx dx x
x z e e dx c -??=-+?
=2x x c +
22y x x c =+
14 2
3y dy e x dx x += 两边同乘以y
e 22()3y y
y
dy e xe e dx x
+= 令y e z =
y
dz dy e dx dx
= 22
2233dz z xz z z dx x x x
+==+ 这是n=2时的伯努利方程。 两边同除以2z
22
131dz z dx xz x =+ 令1
T z
= 21dT dz dx z dx =- 231
dT T dx x x
-=+
P （x ）=3x - Q(x)=21
x
-
由一阶线性方程的求解公式
3321()dx dx x x T e e dx c x
--??=+?
=321
()2x x c --+
=131
2x cx ---+
131
()12z x cx ---+=
131
()12y e x cx ---+=
231
2y y x e ce x -+= 2
312y x x e c -+=
15
33
1dy dx xy x y =+
33dx
yx y x dy
=+ 这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以3x
33
21dx y
y x dy x
=+ 令2x z -=
32dz dx x dy dy
-=-
3222dz y
y dy x
=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy
ydy
z e y e dy c ---?
?=-+?
=2
2
3(2)y y e y e dy c --+? =2
2
1y y ce
--++
2
22(1)1y x y ce --++= 2
2
2
22(1)y y y x e y ce e --++= 2
2222(1)y e x x y cx -+=
16 y=x e +0()x
y t dt ?
()x dy
e y x dx =+ x dy
y e dx
=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式
11()dx dx
x y e e e dx c -??=+?
=()x x x e e e dx c -+? =()x e x c +
()()x
x
x
x e x c e e x c dx +=++?
c=1 y=()x e x c +
17 设函数?(t)于-∞ ?(t+s)=?(t)?(s) 试求此函数。 令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=2(0)? 故(0)0?=或 (0)1?= （1） 当(0)0?=时 ()(0)()(0)t t t ????=+= 即()0t ?= (t ?∈-∞,+∞) (2) 当 (0)1?=时 '0 ()() ()lim t t t t t t ????→+?-=?=0 ()()() lim t t t t t ????→?-? =0 ()(()1) lim t t t t ???→?-?=0 (0)(0) ()lim t t t t ????→?+-? ='(0)()t ?? 于是 '(0)()d t dt ? ??= 变量分离得'(0)d dt ???= 积分 '(0)t ce ??= 由于(0)1?=，即t=0时1?= 1=0ce ?c=1 故' (0)()t t e ??= 20.试证： （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（）之解； （2）若()y y x =是（）的非零解，而()y y x =是（）的解，则方程（）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数. （3）方程（）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（）的解.
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