2018新课标II 理
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1＋2i 1－2i
＝( ) A ．－45－35i B ．－45＋35i C ．－35－45i D ．－35＋45i
【解析】1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）
＝－35＋45i ，选D ．
2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为 A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 4
【解析】法一 由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤3．又x ∈Z ，
y ∈Z ，故x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，故A 中元素的个数为C 13C 1
3＝
9，故选A ．
法二 根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A ． 3．函数f (x )＝e x －e －
x x 2
的图像大致为
A ． A
B ． B
C ． C
D ． D
【解析】f (x )＝e x －e －
x x 2
为奇函数，排除A ；当x ＞0时，f (1)＝e －1
e ＞2，排除C ，D ，只有B 项满足． 4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝ A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 0
【解析】a ·
(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B ． 5．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±2
2
x
D ．y ＝±3
2
x
【解析】法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b
a ＝2，所以
该双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±2x ，故选A ．
法二：由e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±2x ，故
选A ．
6．在△ABC 中，cos C 2＝5
5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2
B ．30
C ．29
D ．2 5
【解析】因cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－3
5，故由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C
＝25＋1－2×5×1×(－3
5
)＝32，故AB ＝42，故选A ．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．
7．为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1
100
，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入
A ．i ＝i ＋1
B ．i ＝i ＋2
C ．i ＝i ＋3
D ．i ＝i ＋4
【解析】由S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1
100得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因
此在空白框中应填入i ＝i ＋2，选B ．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．1
12
B ．114
C ．115
D ．118
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，其中两素数相加等于30的有7和23，11和19，13和17，共有3种情况，故所求概率P ＝3C 210＝1
15
，故选C ．
9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )
A ．15
B ．
56
C ．
55
D ．
22
【解析】法一 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ．易知O 为BD 1的中点，故AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝
AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋
????12AB 2
＝52
，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 2
1＝5．故OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝5
2，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝
12＋
????522－????522
2×1×
5
2
＝
55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55
． 法二 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0，0，0)，A (1，0，0)，D 1(0，0，3)，B 1(1，1，3)，故AD 1→＝(－1，0，3)，DB 1→
＝(1，1，3)．则cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→
|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余
弦值为
5
5
． 10．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是________． A ． π4 B ． π2 C ． 3π
4
D ．π
【解析】f (x )＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋
π4≤π，得－π4≤x ≤3π4．因f (x )在[－a ，a ]上是减函数，故－a ≥－π4，且a ≤3π4，解得a ≤π4，故0＜a ≤π
4，
故a 的最大值是π
4
．
11．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
【解析】法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，故f (4＋x )＝f (x )，故f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C ．
法二 由题意可设f (x )＝2sin(π
2x )，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，
f (x )的一个周期为4，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2．
12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A
且斜率为
3
6
的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A ．23 B ．12 C ．13 D ．14
【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|OF 2|＝c ，所以点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3c 2c ＋a ＝36
，解得c a ＝14，所以e ＝1
4
，故选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线y ＝2ln(x ＋1)在点O (0，0)处的切线方程为__________．
【解析】由题意得y ′＝2
x ＋1．在点O 处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2．故曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的
切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x ．
14．若x ，y 满足约束条件????
?x ＋2y －5≥0x －2y ＋3≥0x －5≤0
，则z ＝x ＋y 的最大值为__________．
【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线x ＋y ＝0，平移该
直线，当直线过点B (5，4)时，z 取得最大值，z max ＝5＋4＝9．
15．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝__________．
【解析】因sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，故sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1①，cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0②，①＋②得，sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，故sin(α＋β)＝－12
． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°．若
△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
【解析】如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′．△SAB 的面积为1
2·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝
12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝45．因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×2
2
＝210．所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12
×45×410π＝402π．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．
17．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15． (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．
【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d ＝－15．由a 1＝－7得d ＝2．故{a n }的通项公式为a n ＝2n －9．
(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．故当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16． 18．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y ^
＝－30．4＋13．5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17．5t ． ⑴．分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； ⑵．你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^
＝－30．4＋13．5×19＝226．1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^
＝99＋17．5×9
＝256．5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30．4＋13．5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^
＝99＋17．5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．
(1)求l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【解析】(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由?
????y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2．所以|AB |＝|AF |
＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2．由题设知4k 2＋4
k
2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1．因此l 的方程为
y ＝x －1．
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x
＋5．设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则?????y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝
（y 0－x 0＋1）22＋16，解得????
?x 0＝3，y 0＝2或?????x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144．
20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点． (1)证明：PO ⊥平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －P A －C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值．
【解析】(1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，故OP ⊥AC ，且OP ＝23．连接OB ，因为AB ＝BC ＝
22AC ，故△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝1
2
AC ＝2．由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC ． (2)解 如图，以O 为坐标原点，OB →
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ．由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23)．取平面P AC 的一个法向量OB →
＝