第三部分 大环境系统模型——环境质量基本模型
计算题
1、河流中稳定排放污水，污水排放量)(q 为0.15m 3·s -1，污水中BOD 5=30mg·L -1，河流径流量)(Q 5.5 m 3·s -1，河水平均流速)(x u 为0.3 m 3·s -1，河水BOD 5的本底浓度为0.5 mg·L -1。已知，BOD 5的衰减速率常数12.0-=d k ，弥散系数
1210-?=s m D x 。试求排放点下游10km 处BOD 5的浓度。
解（1）求起始点的5BOD 初始浓度 根据一维稳态初始浓度式，有（P36）
12
,c q i o Q c c Q q
+=
+ q —污水流量
（2）求下游10km 处的5BOD 浓度
a.河流推流和弥散共同作用下的i c ,任一维稳态浓度分布公式，有：
,exp 12x i i o x u x
c c D ??
?=-?
? ???
?
?
（P36）
（3） b.忽略弥散作用，只考虑推流的i c
,exp i i o x kx c c u ??
=- ???
P36（4）
由题可见，在稳态条件下，考虑和忽略弥散，两者的计算结果几乎一致，说明存在对流作用时。纵向弥散对污染物的影响可忽略。
2、连续点源排放，源强为50g.s -1，河流水深m .h 51=，流速-130s .m .u x =，横向弥散系数-125s .m D y =，污染衰减速率常数0=k 。试求： ⑴在无边界的情况下，)102000()(m ,m y ,x =处污染物的浓度；
⑵在边界上排放，环境宽度无限大时，)102000()(m ,m y ,x =处的污染物浓度； ⑶在边界上排放，环境宽度m B 100=时，)102000()(m ,m y ,x =处的污染物浓度。 解（1）依无边界条件下二维的连续点源稳态排放公式
若忽略横向流速y u =0，且纵向扩散的影响远小于推（对）流的影响0x D =P38（4）无边界
则：20.310(2000,10)1452000i c ???=-???????
（2）边界排放，环境宽度无限大的i c 依公式（5） 即此种情况下i c 为（1）的2倍
故21(2000,10)2(2000,10)0.34()i i
c c mg L -==?（）（1）
（3）边界上排放，且B=100m 时的i c 公式（6） 则：
3、一维均匀稳态河流，初始断面的污染物浓度-150L .mg c o =，纵向弥散系数
-1252s .m .D x =，衰减系数-110d .k =，河流断面平均流速成为0.5m.s -1。试求在以
下几种情况下，下游500m 处的污染物浓度。
⑴一般解析解；⑵忽略弥散作用时的解；⑶忽略推流作用时的解；⑷忽略衰减作用时的解。
解（1）：一般解析解：
已知：1050c mg L -=? ，212.5x D m s -=? ，10.1k d -= ， 10.5x u m s -=? 由一维稳态解的表达式（3）有： （2）忽略弥散作用：此时x D =0 特征方程为2x k D λ=
则λ=
则方程的通解为12exp
c c c =+
初始条件0
00x c c x c ==??=∞=?
0x =时设：012c c c =+ 所以20c c =
x =∞时设：10c =
故0c c =
（3）故忽略推流作用 则220X d c k
dx D c -=
此时0x u =，由一位稳态方程可设： （4）忽略衰减作用：即k=0
4、河流宽50m ,平均深度2m ，平均流量25m 3.s -1，横向弥散系数-122s .m D y =，污染物在边界上排放，试计算： ⑴污染物到达彼岸所需距离； ⑵完成横向混合所需距离。 解（1）首先算断面的平均流速： 污染物到达对岸所需距离： （2）完成混合所需距离：
5、均匀稳态河流，岸边排放，河宽50m ，河床纵向坡度 S =0.0002，平均水深h=2m ，平均流速u x =0.8m.s -1，横向扩散系数D y =0.4hu*, u*是河流的剪切速度（ghs *u =，g 重力加速度，h 平均水深，Ｓ纵向河床坡度），计算： ⑴污染物扩散到对岸所需的纵向距离： ⑵污染物在横断面上达到均匀分布所需的距离 ⑶排放口下游1000m 处的扩散羽宽度。
解（1）扩散到对岸的纵向距离：12,0.0002,50,0.8x h m s B m u m s -====?Q
则10.0626()u m s *-===? 故210.40.420.06260.05()y D hu m s *-==??=?
因此，220.0550.0550.8502200()0.05x y u B x m D ??===
（2）达到均匀分布所需的纵向距离： （3）下游1000m 处扩散羽宽度 对岸边排放有：222.36()y b m σ==
6、均匀稳态河段的宽为500m ，平均水深3m ，平均流速1m.s -1，横向弥散系数1m 2.s -1，污染物中心排放的源强为1000kg.h -1。求排放点下游2km 处的：⑴污染
物扩散羽宽度；⑵最大污染物浓度。 解（1）求扩散羽宽度 故4253()y b m σ== P27（2）最大污染物浓度 ∵污染物为中心排放，
∴断面上污染物最大浓度发生在x 轴上，而y=0，故：
()max 2000,0c c = P39公式（7）
7、试比较各种状态下，污染物岸边排放和中心排放时污染物到达岸边所需的纵向距离。
(1)21212u u ,B B ==；⑵212121
u u ,B B ==；
公式计算的时候代错数了
解 设岸边排放到达彼岸所需距离为1L ，中心排放到达岸边的所需的距离为2L ，
则：
故，对（1）12122,B B u u ==，有：22
2222120.055(2)40.0137416y y u B u B L L D D ?==?=
即1216L L =
（2）12121,2
B B u u ==时，有：2
22121
40.01374y u B L L D ??=
= 即12L L =
P29（3）1212,2B B u u ==时，有：2
221240.013728y u B L L D ???==
即：128L L =
（4）12121,2
B B u u ==时，有：2
22121
40.013722y u B L L D ???=
= 即：122L L =
8、比较下述三种条件下，污染物的最大浓度和扩散羽的宽度。假定中心排放源强为1Q ，岸边排放源为2Q 。
（１）21Q Q =；（２）212Q Q =；（３）2121
Q Q =。
解 设中心排放最大污染物浓度为1c ，羽宽1b ，
岸边排放污染物最大浓度为，羽宽2b ，
则：（按边界宽度无限宽情况处理）无边界连续电源排放
21exp 4x y x u y kx c D x u ????=--?? ??????? P38 公式（4）
22exp 4x y x u y kx c D x u ????=--?? ??????
? P38 公式（5）
而：124,2y y b b σσ==，故122b b = 因此，对（1）12Q Q =时，有：212C C = （2）122Q Q =时，有：21C C =
（3）121
2
Q Q =时，有：214C C =
9、在一维流动的渠道中，瞬时排放1000g 守恒示踪剂。已知，渠道平均流速
-11s .m u x =，纵向弥散系数-1251s .m .D x =，渠道宽20m ，水深2m 。计算示踪剂投
放点下游500m 处，min t 51=和min t 102=时示踪剂的浓度（一般解析解与忽略弥散作用的解）。 解 有题可知： （1） 一般解析解
A 1t =5min 时的示踪剂浓度
(
)21(5003001)500,3004 1.5300c c ??-?∴==-??????
P37公式
（9） P31
0x M M
c Q t Au t
=
=?? 在t ?时间内向河流投加M 量示踪剂
B 210min 600t s ==时的c
（2） 忽略弥散的解：此时，00x D k ==，
此时，示踪剂为-水固，只有距离的变化，而无衰减和弥散，且x x u t =，
所以有：
A 15min 300t s ==时，500x m =，11x u m s -=?则10c = 即：1t 时示踪剂出现在300m 处（1300x =?=300m ）
B 210min 600t s ==时，500x m =，11x u m s -=?则20c =
6001600x u t m =?=Q 处，即，2t 时示踪剂出现在600m 处。
第四部分 小环境系统模型——传递特性
1、10℃的水，以4m 3·h -1的流率流过宽1m ，高0.1m 的矩形水平管道。假设流体已充分发展，且流动为一维，试求截面上的速度分布及通过每米长管道的压力降(10℃时水的粘度为1.307mNs·m -2)
在解题前，先推导出在平板间稳态层流时运动方程的解。 （一）平板间稳态层流 如图，（课本51页）
仅考虑X 向的流动，则：u y =0,u z =0 ，则连续性方程可简化为：
0=??x
u x
（1） 稳态时，
0=??t
u x
，故： ①x 向的Navier-Stokes 方程可简化为：
??????+ ????+=??2222z u y
u X x P
x x μρ （2） 流道水平，则X=0，假定流道无限宽，则u x 可以认为不随宽度Z 变化，则：
02
2=??z
u x
，故式（2）变为： 22y
u x P
x ??=??μ （3）
②z 向的N-S 方程： ∵z 水平 ∴Z=0。稳态
0=??t
u Z
。又u z =0，含有u z 的各项均为0，故： 0=??z
P
（4） ③y 向的N-S 方程：
∵y 是垂直方向的，∴Y≠0，但若采用以动力压力表示N-S 方程，Y 可省去，
y
P Y s
??=
ρ1， 于是：
0=??y
P d
（5） 由式（4）、（5）可知，P 与z,y 无关，于是
x P
??可以写成导数0=dx
dP ，
同理在0=??x u x 时， 2
222dy u d y u x
x =
?? 故 2
2y
u dx dP
x ??=μ （6） ∵平板间的平行层流是无自由表面流动，则N-S 方程中的总丫可用移动压代替，故
dx dP dy
u d d
x μ12
2= （7） 一边为x 的函数，另一边为y 的函数，而x,y 是两个独立的变量，欲使上式成立，两侧同时等于一个常数才有可能，故：
K dy u d dx dP x
d -=2
21μ （8） 对式（7）还进行一次积分，得：
C y dx
dP dy du d
x +=μ1 （9） 在B.C ???
??
====0
,0,00u y y dy
du y 下积分：y=0 0=dy du x ,得C=0
在0,0==u y y 下，第二次积分得： )
(2
021y y dx
dp u x -=
μ （10）
故可知，平板间稳态平流层流时，不可压缩流体在远离流道进、出口的地方，速度分布成抛物线。 （2）u x ～u x,max
当y=0, u x =u x,max 即： 2
0max 21y dx
dP u μ-
= （11） 式（10）和（11）比较可得：
???????
?
???
?
??-=2
max 1y y
u u （12） （3）dx dp =？
令通过单位宽度的体积流率为q ，则：
?=y
udy q 0
2 （13）
将式（10）代入，并积分，得： 3
032y dx
dp q μ-= （14） 又由于02y u q b ?=，故： 2
031y dx
dp u b μ-
= （15） 式（15）为主体流速与x 向压力梯度间的关系，式（12）和（15）比较得：
max 32
u u b = （16）
式（15）可得x 向压力梯度表达式：
2、20℃的水以m 3·h -1的体积流率，流过内管径为100mm ，外管径为200mm 的水平套管环隙。求(1)截面上出现最大流速处的径向距离，(2)该处的流速
)10005.1(3202
s Pa O H ??=-℃μ。