几何画板在数学中的指导作用
The Guidance Function of the Geometer’s Sketchpad in Mathematics
姓名：熊玲玲
单位：青山湖区湖坊镇李巷小学
邮编： 330029
几何画板在数学中的指导作用
熊玲玲
【内容提要】相对于传统的数学教学，运用几何画板辅助教学，无论是教学模式或是教学效果，都具有很好的指导作用。本文通过对几何画板辅助教学优势的介绍，阐述几何画板在数学教学中的应用，同时也提出几何画板在数学教学中存在的问题及其解决方法，这样使得几何画板能够更好地发挥其指导作用。
【关键词】几何画板教学模式指导作用
the Guidance Function of
the Geometer’s Sketchpad in Mathematics
Xiong Lingling
【informative abstract synopsis】Compared with the traditional mathematics teaching, using the geometer's sketchpad auxiliary teaching，whether teaching mode or teaching effect, it has very good guidance function. In this paper，the author discusses the geometer's sketchpad auxiliary teaching advantages，and also introduces the geometer's sketchpad application of mathematics teaching. In this paper，the author suggests the problems of the geometer's sketchpad mathematics teaching and how to solved them. At last, the author hopes the geometer's sketchpad can exert its guiding function.
【Key words】the geometer's sketchpad teaching mode guidance function
目录
1 引言 (1)
2 几何画板的产生背景 (1)
3 几何画板教学与传统教学的区别 (2)
3.1 现代数学课堂教育的情况 (2)
3.2几何画板教学在数学课堂教学的情况 (3)
4 几何画板与现代数学课堂教学相结合 (4)
5 几何画板教学的优势 (5)
5.1几何画板方便灵活性 (5)
5.2 运用几何画板解决常见数学问题 (7)
6 几何画板教学在数学教学的问题及解决方法 (8)
7结束语 (10)
参考文献 (11)
1 引言
教育软件几何画板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作数学课件的主要创作平台之一。几何画板它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画和跟踪轨迹等方式，能显示或构造出较为复杂的图形。正是因为几何画板的这些特性，相对于其他的几何教学模式，几何画板充分发挥了将抽象的问题划具体的优势。
运用几何画板进行辅助教学，无论是对学生或者是教师，都产生了极大的影响。对学生而言，在传统的几何教学中，只凭教师口头的说教和黑板上呆板的板书是很难体现出情境创设中的悬疑和疑虑
效果，也就是说不可能产生强烈的轰动效果和视觉反差，不能给学生留下难忘印象而引起学生的注意 [1]。几何画板这个软件则正好给我们提供了这样的一个平台，它不仅可以准确地绘制出任意的几何图形，而且还可以根据数据的改变，让学生可以有一个动态的美的过程，这样的教学及其容易激发学生的求知欲望 [2]。对教师来说，借助几何画板进行教学，不仅仅可以提高教师教学效率，增加课堂教学容量，还可以促使教师以清楚简便的形式进行教学，大大提高课堂教学效果。
所以说使用几何画板进行数学教学，教师可以将抽象的问题具体化，以感性的信息呈现，使学生留下更为深刻的印象，这样既能激发学生的求知欲望又培养了学生的兴趣，大大的提高了课堂效率。
2几何画板的产生背景
随着现代科学技术的发展，计算机已进入我国的教育领域，并逐渐走进课堂 [3]。在此过程中教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动的方式都恰当而有用的使用信息技术，这样，不仅提高教育教学质量，提高课堂教学效果，提高学生学习兴趣和参与意识，还激发学生创新思维 [4]。
对于数学学科来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实; 但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用 [5]。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。所
以教师们选用了几何画板进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。
应用几何画板辅助教学，既可以感知知识的形成过程，又能激发学生的学习兴趣 [6]。当然，这要从学生的现实教学水平出发，使学生在直观与抽象的结合过程中，像数学家那样猜测和想象，然后借助教育技术的力量再进行检验和证实。这相对于传统的教具的应用，借助教育技术可以使整个教学“活”起来，可以更好的向学生提供直观、多彩、生动的形象，可以使学生多种感官同时受到刺激，激发学生学习的积极性。
3几何画板教学与传统教学的区别
3．1传统数学课堂教育的情况
在传统的数学课堂教育中，存在着这样一些情况:
（一）课堂是老师的，学生只是“听众”
在传统的数学教学课堂里教师的主角意识浓厚，表演欲望过于强烈。老师往往把教学过程看成是学生配合教师完成教案的过程，一定程度上忽视了学生作为学习主体的存在，忽视了学生是重要的课程资源，由于教师课前忽视了对学生情况的分析，所设定的教学起点，与实际的教学起点有时不相吻合。好多教师视教材为金科玉律，不敢越雷池一步，把毫无遗漏、毫不越位地传授教材内容视为课堂教学目的，使教材成为禁锢学生自由创造、大胆创新的枷锁 [7]。
（二）老师课堂教学模式固定，一切跟着教案走
传统的课堂教学中教师的“教”是照本宣科，教师只把学生当作接受知识的容器，由于受教学活动计划性、预设性的影响，学生和教师的活动总是受教案的束缚，教师不敢越出“教案”半步。教师的教和学生的学在课堂上最理想的进程是完成教案。教师总是希望学生能够按照自己课前设计好的教学方案去展开教学活动，当学生的思路与教案不吻合时，教师往往会千方百计地把学生的思路“拉”回来。教师期望的是学生按教案设想作出回答，努力引导学生得出事前预定的答案。在整个教学过程中看不到教师的随机应变，看不到对学生思维出现阻碍时的点拨。整个教学关系就是：我讲，你听；我问，你答；我写，你抄；我给，你收。学生的学习始终处于被动应付状态。学生
缺少自主探索、合作交流、独立获取知识的机会，很少有机会表达自己的理解和意见，致使课堂气氛沉闷、封闭。
（三）注重结果，缺乏探究精神
传统的课堂教学是一种以知识为本位的教学，这种教学在强化知识的同时，为了完成认知目标，而抹杀学生的创造性，忽视学生的情感。“重结果轻过程”是当今课堂教学中一个十分突出的问题，也是一个十分明显的教学弊端。所谓重结果就是教师在教学中只重视知识的结论、教学的结果，忽略知识的来龙去脉，有意无意压缩了学生对新知识学习的思维过程。教师在预设教学过程时考虑最多的就是应该如何将知识讲清楚、讲明白、讲透彻。多少年来，课堂教学所追求的是循着课前精心设计的教学程序，采用一连串的追问，牵着学生亦步亦趋地接受一个又一个结论。在问题的设计上，往往过细、过窄、缺乏思考价值，当学生对问题的回答正是所期望得到的答案时，教师便会立即抓住，如获至宝地加以肯定或赞扬。于是，对某个问题的讨论也就此画上了句号。即便教师提出的问题具有一定的思维空间，但常常又不能给学生充足的思考时间，这无疑在客观上阻碍了学生思维独立性与创造性的培养与发展，致使学生在思考问题方面存在着比较严重的模仿性和依赖性。学生没有能够切身体会到学习知识的过程，没有从学习新的知识里得到乐趣。
3．2几何画板教学在数学课堂教学的情况
（一）有利于设置良好的教学情境
在教学中创设一个良好的教学情境是相当重要的，数学教学也是如此。运用几何画板进行教学，使学生由过去枯燥乏味的“听数学”转变为真正的“做数学”，从而实现由“要我学”到“我要学”的过渡。借助于几何画板，我们不但可以把很多数学概念的形成过程充分地“暴露”出来，随时看到各种情形下的数量关系的变化，而且还可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态的显现在屏幕上，甚至可以根据需要对这个过程进行控制，学生也通过观察的过程、制作的过程、比较的过程，产生他的经验体系，形成他的认知结构，从而更好地完成整个认知过程。
（二）有利于体现数形结合的思想
把数形结合的思想贯彻于数学学习过程的始终是学好数学的关键之一。几何画板能够简单快捷地画出各种几何图形，而且其中的测算功能迅速地测量出图形的长度、角度、面积等，并能进行各种复杂
的计算。利用图形的运动和显示出来的数据，则能充分有效地把图形与数值结合起来，体现了几何画板在数形结合上的优势，这是以往其它任何教学方式所无法达到的境地。
4几何画板教学与现代数学课堂教学相结合
（一）运用几何画板讲授抽象数学概念
针对现如今的生的实际学习情况，课本的有些概念对生来说，可能是还不理解的，尤其是些抽象的概念，比如说“轴对称”概念。可能传统的教学模式是教师在黑板上画出两个全等的图形，在这两个全等的图形的正中央画一条直线，再告诉学生们，这样的图形，我们叫做轴对称图形。这样的讲解方式，让学生们很不好接受，甚至可能会弄错。但利用几何画板进行教学，可能会让学生更好接受这个概念。我们可以先画好一条直线，在直线的一侧任意的画出一个图形，利用几何画板中的反射，就可以做出轴对称图形。甚至可以快速的改变形状，画出多个轴对称图形来（见图一）。这样的教学模式，学生们一点不觉得枯燥，他们在老师的指导和启发下，始终兴趣盎然地在认真观察、主动思考，并逐一找出了对称点与对称轴、对称线与对称轴之间的关系，并很自然地发现了轴对称的三个基础性质和理解了相应的定理[8]。
（图一）
（二）运用几何画板做“数学实验”
几何画板可以为做“数学实验”提供理想环境。用画板几分钟
就能实现动画效果，还能动态测量线段的长度和角的大小，通过拖动鼠标可轻而易举地改变图形的形状，因此完全可以利用画板让学生做“数学实验”。例如，为了让学生较深刻地理解两个直角三角形全等的条件，可以让学生利用几何画板做一次这样的数学实验：在该试验中，学生可通过任意改变线段的长短和通过鼠标拖动端点来观察两个三角形的形态变化，让学生可以直观而自然地概括出直角三角形全等的判定公理（见图二）[9]。这样学生对该定理的理解与掌握要比传统教学深刻的多。
(图二)
5 几何画板教学的优势
5．1几何画板的方便灵活性
（一）简便快捷的画出所需的标准图形
几何画板是以点、线、圆为基本元素，来构造图形，即提供了计算机上的尺规作图，因此能画任意一种几何图形，而且能够准确的表现几何对象。并且几何画板不仅仅是画出平面几何图形，空间立体几何也可以（见图三）。
（图三）
（二）图形变换功能
几何画板提供了平移、旋转、缩放、反射等图形变换功能，这些功能便于与我们学习一些抽象的概念及其有帮助，如轴对称的概
念，全等的概念以及相似的概念等（见图四）。 C'
B'
A'
B
C A
（图四）
（三）准确迅速的计算出长度、弧长、角度、面积等
几何画板有测量和计算功能，能够对所做出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等（见图五），还能够对测量的值进行计算，包括四则运算、函数运算，并把结构动态的显示在屏幕上。当用鼠标拖动任意一个对象使其变动时，显示出这些几何对象大小的量也随之改变。
S 面积 = 22.90 厘米2mAE = 4.08厘米
mCB = 6.94厘米mAD = 4.29厘米E B C A
D
（图五）
（四）跟踪图像的痕迹
我们可以运用动态控制含若干个参数的函数图像，随着参数值的变化，图像的形状也跟着变动，进而追踪图像上的一个点或者一条线画出相对应函数图像。并且，可以改变函数的表达式，得出一系列有关痕迹的问题（见图六）。 8
6
4
22
4
6
85510152025
f x () = sin x ()
（图六）
几何画板有强大的教学功能，能很好的和数学教学相结合。在利用几何画板探索数学奥秘的过程中，数形结合使人恍然大悟，发现规
律让人欣喜莫名，数理综合更叫人耳目一新，师生们从内心的创造和体验中领悟到数学的真谛。
5．2 运用几何画板解决常见数学问题
（一）画图类问题
如何在短时间内画出标准的图形，是几何教学的一个难点。以往，教师们通过粉笔和三角板来画相应的图形，为了画好图形，花费了不少课堂时间。但是运用几何画板就可以很好的解决这个问题。例如，画一个指数函数图像，我们只需要点点鼠标就可以了，并且通过拖动鼠标还可以改变其大小和位置关系（见图七）。 14
12
10
8
6
422
4
6
82015105510152025
f x () = 2x
（图七）
（二）函数类问题
对于整个，大部分的学生都会觉得函数是个难点。对于以往的数学课堂教学，很难将抽象的函数问题给具体化，使得整个课堂枯燥无味，难以将学生的积极性给调动起来。运用几何画板，可以用让学生自己动手，亲自来发现函数中相关概念以及性质。例如，里的二次函数中的问题，对于c bx ax y ++=2(其中a ≠0)，要掌握系数a ，b ，c 与二次函数的关系，应用几何画板，只需要将a ，b ，c 的系数进行更改，根据图像的变化，就可以总结出相应的规律（见图八）[9]。 22
20
18
16
14
12
10
8
6422
4
6
82520151055
1015202530f x () = a ?x 2 + b ?x + c
c = –4
b = 3a = 2
（图八）
（三）空间几何类问题
在空间几何问题中，常常需要我们求类似于异面直线平行或垂直、二面角等的问题，往往由于学生们无法想象，故而不好求解。借用几何画板就可以很好的将难于想象的二面角直接画出来。几何画板可以通过旋转图像，使得所需求的二面角简单明了（见图九求二面角C ’—EF —C ）。
F E B'B A A'C'C D D'F E
D'C'
C
D B'B A'
A
（图九）
6 几何画板在数学教学的问题及解决方法
通过几何画板辅助教学将计算机技术融合到数学教学中，成为教学的有机组成部分，这样要求教师不仅要熟练掌握技术手段，了解计算机进入数学教学的优势和局限性，更重要的是要深刻了解教育的本质，了解本学科教学的教学目的，了解教学中的重、难点所在，了解传统教学的优点和局限性，了解所授课班级的学生综合素质，结合技术所提供的能力选择最佳组合，更好地进行教学活动。 那么，在运用几何画板进行教学的时候，会存在怎样的问题呢[10]？
（一）过分花哨的动画分散了学生的注意力
在教学中，有的教师过多追求数学课件的趣味性、新颖性，而忽略了教学本身的功能[11]。几何画板固然有强大信息处理功能，但学生的接受能力是有限的，尤其是数学课，需要学生进行思维活动，若同时呈现信息过多，会分散学生的注意力。运用几何画板进行辅助教学，可能会使课件制作得太过华丽，令人眼花缭乱：时而制作一些动画，时而演示运动轨迹，使数学课成了图形功能展览，这样不仅不能增强教学效果，反而干扰了课堂教学。因此数学教学部应该过分追求画面的美观和所谓的技术含量，而忽略了教学质量的提高。
解决方法：教师在课堂上的主导地位仍是不可替代的。事实上，
由于运用几何画板，使得了传统教学中一些机械工作，如一些画图的步骤省略了，使教师有更充分的时间和精力去做别的工作，投入到引导学生的思维中去。在课件的创作中，教师要注意实用性与趣味性的结合，坚持教学效果优先的原则，重视教学质量的提高。
（二）过多的演示削弱了学生动手操作的能力，剥夺了学生抽象思维的过程
目前一些教师应用教育技术辅助教学就是在电脑前点点鼠标，甚至连板书也由电脑完全代替，这样脱离实际的教学是没有生命力的，还有些教师强调了教师传授为主导，片面追求课堂容量，仅仅利用了几何画板快速出题，快速解答，快速评价反馈的功能。更有甚者，教师替代学生解答，把本来应该学生自己亲自动手的练习内容，制成课件，用于演示播放。在提高效率的同时，减少了学生自主的活动，压抑了学生的解体灵感。
解决方法：教师必须充分考虑学生的需要和接受能力，作为教师，应该对课件的内容加以精选，在课件保持新颖性的同时有意加强学生抽象思维的训练。一般来说，教材中难以用言语表达的，学生缺少感性认识而难以领悟的，其他媒体无法呈现的，介入几何画板就能起到很好的作用。就高中数学教材来说，代数中的函数图像，三角函数，特别是正余弦函数的图像变换，复数运算的几何意义，立体几何问题，解析几何问题等等，这些内容都比较的抽象，对于生理解起来比方便，但运用几何画板就可以大大的解决这方面的问题，完全可以将这些抽象的知识具体化。
（三）对于容量较大的课时，学生短时间接受的效果明显，然而形成书面的知识太少，不利于复习和巩固。
这点在高阶段教学特别是在复习课中尤为明显，高阶段教学内容多，每节课的知识容量都很大，应用教育技术辅助教学效果在短时间内比较明显，学生接受情况良好，然而学生能形成的书面知识比较少，随着时间的流逝，很多原本掌握的知识也随之流失了。
解决方法：利用教育技术辅助教学应遵循因材施教的原则，该用则用。数学例题的讲解，教师不可能知道所有学生的想法和做法，单靠多媒体显然是远远不够的，因此有些必要的分析和归纳过程和运算推理过程还应通过板书充分地暴露给学生。使计算机在课堂教学中真正体现辅助的作用，以确保学生在形象思维与抽象思维，合理推理能力与逻辑推理能力的同步发展，使学生能够将知识的重点、难点可以
纪律下来，以便复习。
7结束语
综上所述，使用几何画板进行数学教学，教师通过具体的、感性的信息呈现，不仅能给学生留下更为深刻的印象，还会让学生改变对数学的学习态度.使学生知道数学不再是无聊枯燥的数字组合，而是可以运用在实际生活中来解释一些生活现象的科学知识。几何画板在数学课堂教学中的广泛应用和推广，不仅带来了教学内容、教学方法、教学模式的深刻变革，而且使学生接受知识的被动地位得以改变，真正实现课堂教学生的主体地位和教师的主导地位，对提高学生数学素质和教师的教学能力有着重要作用，同时也对我国的素质教育起着重要的推进作用，为国家建设培养大量高素质的综合型人才。
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《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨 作者：张彩霞 来源：《科技创新导报》2011年第12期 摘要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。 关键词:数学分析极限概念教学 中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02 《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。 在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。 1 正常极限概念 1.1 数列极限概念 数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。 首先观察数列:: 特征:当无限增大时,无限接近于 此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。 “无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。所以我们要定量地描述该数列的特征。
高等代数习题集 苏州大学数学科学学院高等代数组收集 2003, 4,30 1.设X = ，求X。 2.设二次型f(x1, x2,... , x n)是不定的，证明：存在n维向量X0，使X0'AX0 = 0，其中A是该二次型的矩阵。 3.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。 a 证明：W是P[x]4的子空间。 b 求W的维数与一组基。 4.在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x -4x2, 3x3)。 1 1， 证明：A是Rr3上线性变换， 2， 求A在基xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 5.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变子 空间。证明：W也是A-1的不变子空间。
7.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。若任意,V，有 (A, A) = (,)。证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。 8.设X = ，求X。 9.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X0 0，使X0'AX0 > 0。 10.设A = ，W = {|R4, A = 0}。证明： 1.[1，]W是4的一个子空间。 2.[2，]求W的维数与一组基。 11.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A： 任意X R2 x 2, A(X) = BXC。 1， 证明：A是R2 x 2上线性变换。。 2， 求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。 12.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标 准形。 13.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)， 证明：V = AV.+A-1(0)。 14.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明： W也是A的不变子空间。 15.设X = ，求X。
反例在高等数学教学中的功能 发表时间：2014-08-22T11:01:32.153Z 来源：《素质教育》2014年6月总第154期供稿作者：韩召伟 [导读] 高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。 韩召伟陕西师范大学数学与信息科学学院710062 摘要：高等数学是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科。在高等数学教学中, 恰当地开发和有效地利用反例,能起到事半功倍的效果。本文具体以多元微分学中极限、可偏导和可微之间的关系为例,剖析了高等数学教学中反例的功能。 关键词：高等数学多元函数反例 一、引言 高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。因为缺乏反例的衬托,在学习过程中学生对数学概念内涵和外延理解上的偏差或对于命题的条件和结论认知的不充分,都将成为学生高等数学学习的屏障。构造适当的反例，一方面能帮助学生全面理解和正确掌握高等数学中的基本知识,激发学生的求知欲；另一方面对于提高学生的数学学习能力和数学思维能力将会起到十分重要的作用。因此,在高等数学教学中,充分发掘反例的教学功能,有效地构造和利用反例,教师应予以足够重视。 二、高等数学教学中反例的功能 1.反例是全面理解概念的基础。数学知识理论体系向来以思维严密和逻辑严谨而著称,教材主要由定义和定理等内容构成,比较注重学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题方面能力的培养,而这些能力的取得都以深刻理解概念和准确掌握概念为基础，因此,在教学中只要求学生死背概念是不行的,必须注重理解其实质。高等数学中具有若干新概念,而要很好地理解这些新概念,正面的例子可起到了解、熟悉新概念的作用,而反例则可加深对新概念的理解。在高等数学教学中,教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点,而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质,弥补正面教学的不足,从而加深学生对知识的理解。
高等代数习题 第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)
(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数 全体整数 全体有理数 b a b a+ → |) , ( 4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里 ， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; . 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２． 求3 x → 33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即 含数学分析和高等代数两门课 数 学 分 析（I ） （1）集合与函数 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似 无穷极数中的几个典型反例 一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例 （1） 比值差别法： 例1： 1(1)3 n n ∞=+- 级数1(1)3n n ∞=+-发散，但极限1lim n n n u u +→∞并不存在 因为级数13n ∞=发散而级数1(1)3n n ∞=-∑ 收敛。所以级数1 (1)3n n ∞=+-发散。 而11n n n u u ++= 是摆动数列，故11lim n n n n n u u ++→∞=并不存在。 当然，p-级数∑∞ =11n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n n u u +→∞=1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。 （2） 根值判别法： 例2： 1(1)3n n n ∞ =?-???∑ 级数1(1)3n n n ∞=?-???∑ 收敛，但(1)lim 3n n n →∞-=并不存在。 2(1)210 33n n n ????-≤≤ ??? ???? ? 而1 13n n ∞=?? ? ???∑收敛（公比小于1的等比级数）。 由比较判别法，1(1)3n n n ∞=?-??? ∑ (1)3n -=是摆动数列。 故(1)lim 3 n n n →∞-=不存在。 注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。 二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例 在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。 例3： n n ∞= n u =， 显而易见满足lim 0n n u →∞ =，而不满足。1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数 (1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ?--??===----- 由级数2(1)1n n ∞=--∑ 收敛，而级数211n n ∞=-∑ 发散知，级数n n ∞=发散。 例4： n n n n )1(1)1(2-+-∑∞ = n n n n )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞ =--221)1(n n n n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数 n n n n ) 1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。 注：例3与例4都是不满足n n u u <+1的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。 三、 幂级数中的反例 有些同学认为，如果幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R ≠0，那么一定有 n n n a a 1lim +∞→=L=1/R ，这是不对的，因为有可能n n n a a 1lim +∞→不存在。 例5： 求幂级数∑∞=-+1 2)1(2n n n n x 的收敛半径 数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则 求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。 关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中 值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件. 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。 1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则 有 lim n x y a →∞ = . 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{ } n y 和 { } n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例[1] 222111 ....... 1 2 n x n n n n = + ++++ 求n x 的极限 解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项 浙江师范大学硕士研究生入学考试初试科目 考试大纲 科目代码、名称: 904数学分析与高等代数 适用专业: 420104学科教学（数学） 一、考试形式与试卷结构 （一）试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸相应的位置上；答题纸一般由考点提供。 （三）试卷内容结构 各部分内容所占分值为： 数学分析约100分 高等代数约50分 （四）试卷题型结构 计算题：7大题，约100分。 分析论述题：3大题，约50分。 二、考查目标（复习要求） 全日制攻读教育硕士专业学位入学考试数学分析与高等代数考试内容包括数学分析、高等代数二门数学学科基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，理解数学分析和高等代数中反映出的数学思想与方法，并能运用相关理论和方法分析、解决具有一定实际背景的数学问题。 三、考查范围或考试内容概要 第一部分：数学分析 考查内容 1、数列极限 数列极限概念、收敛数列的定理、数列极限存在的条件 2、函数极限 函数极限概念、函数极限的定理、两个重要极限、无穷大量与无穷小量 3、函数的连续性 连续性概念、连续函数的性质 4、导数与微分 导数的概念、求导法则、微分、高阶导数与高阶微分 5、中值定理与导数应用 微分学基本定理、函数的单调性与极值 6、不定积分 不定积分概念与基本积分公式、换元法积分法与分部积分法 7、定积分 定积分概念、可积条件、定积分的性质、定积分的计算 8、定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的侧面积 9、级数 正项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数 10、多元函数微分学 偏导数与全微分、复合函数微分法、高阶偏导数与高阶全微分、泰勒公式与极值问题 第二部分：高等代数 考查内容 多项式、行列式、线性方向组、矩阵、线性空间、线性变换 参考教材或主要参考书： 华东师范大学编：《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2001年，第三版。 北京大学编：《高等代数》，高等教育出版社，2003年，第三版。 四、样卷 见往年试卷。 高等代数在数学分析解题中的某些应用分析 摘要：作为高等教育的基础性课程，高等代数的内容会伴随整个大学时代的数学学习，但是由于它的内容比较抽象，因此它也是比较难的一门学科。通过对高等代数在数学分析题中的某些应用分析，进一步探讨高等代数不同的解题方法和思维方式，以期能够为提高学生解题能力提供建设性的意见与建议。 关键词：高等代数；数学分析；多项式 高等代数涉及多项式代数、矩阵代数、线性空间等方面，采用的是逻辑严谨的数学公理化方法，结构严密的程序化方法，很好地与古希腊教学思想结合在一起。但是，它也是学生的学习难点，也是教师较难教授的一门学科。虽然大学生较高中生而言活跃了许多，但是由于高等教育的自由度较大，老师学生几乎没有什么约束力，所以学生的听讲课率并不高，那么教学模式也仅仅局限于“教师提问，学生回答”这种言语交流活动中。当然很难锻炼学生的解题能力，也不利于学生今后的发展。 一、加强高等代数在数学分析题中应用的必要性 不同的数学解题方法会启发学生不同的思维能力会产 生不一样的教学效果。对于各种各样复杂的数学题，提倡不 同的解题方法是很有必要的。如果能够加强高等数学在数学解题分析中的应用，至少会产生以下两大好的效果。 1.有利于增强学生的主体地位 从小学以来，学生一直都是为了考试、升学而学习，变成了应试教育的工具。但是高等教育会给学生更多的自由空间，让学生有更多的权利来支配自己的时间与精力。在高等代数教学中培养学生的解题能力，在学生自主地学习、探讨过程中就能够充分展现他们的主体地位，而不再是被动地接受知识了。 2.有利于激发学生的创新思维 探索是创新的基础，只有带着问题去思考、去探索，才会有新的发现，否则便是无谓的思索。对于高等代数那种集数理性与逻辑性于一体的学科而言，教师简单地把概念性的东西传授给学生是不可以的，那样会使学生显得很被动，难以构建新的认知结构。长期以来，在应试教育的大背景下，数学教学中一直过分强调数学知识的系统性、严谨性和对学生的解题训练，却忽视了引导学生去学习了解数学思想和方法发生、发展的过程，数学课堂上缺少在现实情境中发现问题和解决问题的能力培养。这样的教学方式虽然培养了大批解题速度快、擅于解高难度题的学生，但是他们的实践能力和创新意识却不够。接受高等教育的学生即将面向社会，教学应该更加注重学生的主体意识以及所教知识的实践性。高 数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-? 因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1， 高等代数与数学分析的学习体会 摘要：作为数学系的学生，高等代数和数学分析，是我们一进大学就开始学习的两门最重要的课程。同时它们也是数学中最基础的两门课程，几乎所有的后学课程都要用到它们。在本文中，我就自己对这两门课程的基本内容，学习体会，以及这两门课程与后学课程的联系三个方面谈了一些自己的看法。 高等代数部分 基本内容： 在谈自己对高等代数的学习体会之前，我想先回顾一下高等代数的基本内容。我们大一所学习的高等代数，主要包括两部分：多项式代数和线性代数。 其中线性代数部分又可以分成：行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换， —矩阵，欧几里得空间，双线性函数与辛空间等一些章节。而在这些章节中，又是以向量理论，线性方程理论和线性变换的相关理论为核心的。 如果和以前学过的初等代数相比，我觉得，高等代数在初等代数的基础上把研究对象作了进一步的扩充。它引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 简单体会： 记得大一刚学习高等代数的时候，那时感觉自己真的学得云里雾里，因为那时感觉它实在是太抽象了而无法理解。但是通过不断地对它的学习，慢慢地开始有好转，开始感觉它不再那么陌生，并对它有了初步的认识。而当我学完抽象代数之后，我发现自己对高等代数的有了更好的理解。其实高等代数中的每个不同的章节，都是由一个集合再加上一套运算规则，进而构成的一个代数结构。 例如，第一章多项式，我们所有的讨论都是在某个数域P上的一元多项式环中进行。其中的某个数域P中的一元多项式全体，就相当于某个集合，在这个集合的基础上再加上关于多项式的运算规则，就构成了一个代数结构。 因为高等代数具有这种结构，所以在学习每种代数结构时，我们总会先学这个代数结构是建立在那个集合上以及它的运算规则是怎样定义的。因此，在高等代数学习中对每种代数 无穷极数中的几个典型反例 一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例 （1） 比值差别法： 例1： 1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 级数1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 发散，但极限1lim n n n u u +→∞ 并不存在 因为级数1 3 n ∞ =∑ 发散而级数1 (1)3 n n ∞ =-∑ 收敛。所以级数1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 发散。 而 11(1) n n n u u +++-= 11(1) lim lim n n n n n u u ++→∞ →∞ +-=并不存在。 当然，p-级数 ∑ ∞ =1 1n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n n u u +→∞ =1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。 （2） 根值判别法： 例2： 1 (1)3n n n ∞ =? -??? ∑ 级数1 3n n ∞ =?? ∑ 收敛，但lim lim 3 n n →∞→∞ =并不存在。 (1)21 033n n n ? ???+-≤≤ ?? ? ???? ? 而113n n ∞ =?? ? ?? ? ∑收敛（公比小于1的等比级数）。 由比较判别法，1 (1)3n n n ∞ =?+-??? ∑ (1)3 n -= 是摆动数列。 故(1)lim lim 3 n n n →∞ →∞ -=不存在。 注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。 二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例 在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。 例3： 2 (1) n n ∞ =-∑ 1n u = 显而易见满足lim 0n n u →∞ =，而不满足。1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数 (1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ?---??= ==----- 由级数2 1 n n ∞ =-∑ 收敛，而级数2 11 n n ∞ =-∑ 发散知，级数2 n n ∞ =∑ 发散。 例4： n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑∞ = n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑∞ == 1 11 )1(1 ) )1(()1(2 2 2 -- --= ----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑ ∞ =--2 2 1 )1(n n n n 收敛，而∑ ∞ =-2 2 1 1n n 收敛，所以原级数 n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑ ∞ =是收敛的。 注：例3与例4都是不满足n n u u <+1的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。 三、 幂级数中的反例 有些同学认为，如果幂级数∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径R ≠0，那么一定有 n n n a a 1lim +∞ →=L=1/R ，这是不对的，因为有可能n n n a a 1lim +∞ →不存在。 例5： 求幂级数∑ ∞ =-+1 2 ) 1(2n n n n x 的收敛半径 第三章函数极限(下载后可解决看不到公式的问题) 4 两个重要的极限 一、证明：=1. 证：∵sinx ∴=e. 注：e的另一种形式：=e. 证：令a=，则当a→0时，→∞，∴==e. 例3：求. 解：==e2. 例4：求. 解：==. 例5：求. 解：<→e(n→∞)，又当n>1时有 =≥→e(n→∞，即→0). 由迫敛性定理得：=e. 习题 1、求下列极限： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10). 解：(1)==2； (2)==··=0； (3)== -1； (4)=·=1； (5)=== ====； (6)令arctan x=y，则x=tany，且x→0时，y→0， ∴===1； (7)==1； (8)==·2sin a =··2sin a= sin2a； (9)==8=8； (10)=== 2、求下列极限： 含数学分析和高等代数两门课 数 学 分 析（I ） （1）集合与函数 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似 计算中的应用。高阶导数与高阶微分。由参量方程所表示的曲线的斜率。 （7）中值定理与导数的应用 费马(Fermat)定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。柯西中 值定理。泰勒（Taylor）定理（Taylor公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺余项）、泰勒公式 的某些应用。 函数的单调性的判别法。极值。最大值与最小值。函数的凸性。拐点。渐近点。函数 图象的讨论。 数学分析（II） （8）不定积分 原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则。换元积分法。分部积分法。有理 函数的积分。三角函数有理式的积分。若干初等可积函数。 （9）定积分 引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义。可积的必要 条件。上下和及其性质。可积主要条件。几乎处处连续函数。可积函数类：在闭区间上连续 函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数。 定积分性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理、第二积分中值定理。微积分基本定理。牛顿—莱布尼兹公式。换元积分法。分部积分法。近 似求积。用活动上限定积分定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质。 （10）定积分的应用 简单平面图形面积。曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面面积函数的立体体积。旋转体体积 数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．． 精心整理 数学分析中求极限的方法总结 1利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1 （1 （2 （3 （4（5 例1.例2.例3.已知()11 1 1223 1n x n n = +++ ??-?解：观察 11=1122-?1 1=232-?因此得到()11 11223 1n x n n = +++ ??-? 所以1lim lim 11 n n n x n →∞→∞?? =-= ??? 2利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 存在， 即 的导数。 例 3（2 例5：x x x x 10 ) 1() 21( lim +-→ 解：为了利用极限e x x x =+→10 )1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外 的指数互为倒数进行配平。 x x x x 1 0) 1() 21(lim +-→=x x x x 1 0131(lim +-+→ =313 310]131[(lim -+--+→=+-+ e x x x x x x 例6：20cos 1lim x x x -→ 解：将分母变形后再化成“0/0”型所以 例7:求 4例8：x 解:因为复合函数arcsin 是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此 例8：求x x sin ln lim 2 π → 解：复合函数x sin ln 在2 π = x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值 即有2sin ln sin ln lim 2 π π =→ x x =1 ln 2 sin lim =π =0 5利用两个准则求极限。 （1）函数极限的迫敛性：若一正整数N,当n>N 时，有n n n x y z ≤≤且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有lim n x y a →∞=。 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和{}n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例9（2）例12)2,n 。试证数列解:由1x 即数列{令A x n n =∞ →lim 对n n x x +=+61两边取极限， 有A 2 60A -A -=解得A=3,或2A =-。 因为...)2,1(0 =>n x n ，所以0A ≥，舍去2A =-,故lim 3n n x →∞ = 6利用洛必达法则求未定式的极限 定义6.1：若当x a →（或x →∞）时，函数()f x 和()F x 都趋于零(或无穷大)，则极限 教材部分习题解答 高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.1 1．证明两个数域之交是一个数域。 证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ?∈I 。 又 ,,,,u v A B u v A u v B ?∈?∈∈I 且,u v A u v B ?±∈±∈且 所以，u v A B ±∈I ，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠I I 。 从而证得A B I 是数域。 2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。 证明：000,110, 0,1i i A =+=+∈ ,,,u v A u a bi v c di ?∈?=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈ ()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈ 设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以 2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b ++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。 习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----???????????→???????????? …100010001?? ??→?? ???? ()21231 34142(1) 3(1)5(1)12 3 2123212 3 2214103230323231210775077550 62010912010 912r r r r r r r r r ------?????? ??????---? ???? ????→???→?? ???? ----? ?????----?????? 12 32 32422321032123 212 3 21 34032301310131013103230076010 912010912002122r r r r r r r r r r -----?????? ??????--? ?? ?? ????→????→???? ?? --? ????? -?????? u u u u u u u r 第二节 二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2 x 2+y 2 ； （3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1 ； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1 x 4+y 4 ； （5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0) lim x y (x+y)sin 1 x 2+y 2 ； （7）(,)(0,0) lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2 . 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1 y ； （3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3 x 2+y ； （5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2 x 3+y 3 ； （7）f(x,y)=e x -e y sinxy . 3、证明：若1 。 (a,b) lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。 y 在b 的某邻域内，有lim x a f(x,y)= (y) 则 y b lim a lim x f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 (x,y)(0,0)lim x 2y x 2+y 2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） (x,y) ( ,) lim f(x,y)=A ； （2） (x,y) (0, ) lim f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1）(x,y)(,)lim x 2+y 2 x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,) lim (x 2+y 2)e -(x+y)； （3） (x,y) ( ,) lim (1+1 xy )xsiny ； （4） (x,y) ( ,0) lim 211+ x x y x . 8、试作一函数f(x,y)使当x + ,y + 时， （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.数学分析中求极限的方法总结
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