D -S 证据推理改进方法综述1
1．概述：
D-S 证据理论是首先由Dempster [1]提出，并由Shafer [2]进一步发展起来的一种不确定推理理论，已广泛用于信息融合和不确定推理等领域，具有坚实的数学基础，能在不需要先验概率的情况下，以简单的推理形式，得出较好的融合结果，为不确定信息的表达和合成提供了自然而强有力的方法。文献[9]中，介绍了D-S 证据理论的基本理论, 其中包括辨识框架（frame of discernment ）、焦元（focal elenment ）、基本概率分配函数BPA (basic probability assignment)、信任函数Bel (Belief function)、似然函数Pl (Plausibility function)，证据组合(evidence combination) 等概念，并且详细推导了多个证据组合概率分配函数，通过一个空中目标识别的例子清晰易懂的分析了将D-S 证据组合理论用于数据融合的思路和处理算法。任何融合算法都不具有绝对意义上的普遍性，只能在某些条件满足的情况下适用。D-S 证据理论存在的问题是，当处理冲突证据时，因组合规则中的归一化过程会出现违背常理的结论。下面例子说明了这一情况：
例1．识框架为},,{C B A =Θ，有两个证据的基本概率分配为：
99
.0)(,01.0)(,0)(:
0)(01.0)(,99.0)(:22221111======C m B m A m S C m B m A m S ，
组合证据 .9900.0,1)(,0)()(====k B m C m A m 虽然21m m ，对命题B 的支持程度都
很低，但融合结果仍然认为B 为真，这显然是有悖常理的。k 是衡量用于融合的各个证据
之间冲突程度的系数，当1→k ，即证据高度冲突时，归一化过程中，组合规则将矛盾信息完全忽略，在数学上引出不合常理问题。为解决此问题，人们提出了许多不同的改进方法，通过修改证据及改进组合规则，优化融合结果。
2．研究现状：
2．1 基于经典D-S 证据理论的改进方法总结分析：
Yager [4]提出改进方法，即不忽略冲突信息，而是将其重新分配，式为：
)
()()()
()(Φ+Θ=ΘΘ
??=???m m m A A m A m Y Y （1）
Θ为辨识框架，Φ为空集。把冲突认为成是对客观世界的无知部分，将冲突信息全部划分
给整个辨识框架, 即未知项，等待新的证据再做判断，符合认知逻辑。 以例1给定条件， 由Yager 公式组合可得：
.9999.0)(,0)(,0001.0)(,0)(,9999.0)(=Θ====Φ?Y Y Y Y m C m B m A m m
该融合结果避免了出现违反常理的判断，但当有多个新证据源加入时，比如证据源等同于
1S ，都相当支持A ，合成的结果表示为：1)(,0)(,0)()(→Θ→==Y Y Y Y m B m C m A m 。
由此，出现“一票否决”的现象，即便是绝大多数证据源支持A ，仅有一个证据源否定A, 则 1
自然科学基金项目(编号：60343002)
融合结果就否定A 。
针对此问题，文献[11]提出一种改进方法，认为冲突信息有一部分可以利用，而不是全部分配给未知项，可利用的成分取决于所定义的证据可信度函数。其中定义的k ~
反映了证据两两之间的冲突程度的平均程度，区别于D-S 理论中的k 反映证据总体上冲突程度，有时尽管证据在总体冲突较大，但k ~
并不大，因为此时除少数证据外，大部分证据之间的冲突并不是很大，这样结果较合理。引入证据可信度定义k
e
~
-=ε，证据对A 的平均支持度定义：
∑==n
i i A m n A q 1)(1)(，n 为证据源个数。新的组合规则为：
)1()()()()(1)
()
1()()()(0
)(εεεε-?+Θ??+Θ=Θ??+--=??+==Φ???k q k m m A q k k
A m k A q k A m A m m s s （2） )(A m s 第一项的
k
A m -?1)
(正是D-S 证据组合公式。因此上式实际上是一个加权和的形式，当k 较小时，即证据冲突较小，第一项起主要作用，合成结果近似于D-S 合成结果。当0=k ，等同。当1~
→k 时，即证据高度冲突时，合成结果主要由第二项)(A q ?ε决定，即由证据可信度及证据对A 的平均支持度决定。)(Θs m 中第三项表现了当冲突k 增大或证据可信度ε减小时，都会使未知程度增加。这些表达都是较合理的，但有个问题是k
e ~
-=ε的定义有一定
的主观因素。鉴于此，文献[12]提出一种更有效的组合规则，以
)
1()()()
()(εεε-?+Θ??=Θ??=k q k f A q k A f （3）
代替式(2)中各项，其中，)()(A q k A f ?=， 如此，证据冲突概率按各个命题的平均支持程度加权进行分配，具有明确合理的物理意义。
Jousselme [3]提出证据距离及两个证据源之间的相似度概念。其研究思想为：证据之间的距离在某种意义上反映证据的支持程度，两者的距离越小，说明它们判断越接近。而且，之间相似的证据越多，说明证据的判断越接近事物的本质，证据源的整体可信度越高。基于这种思想，文献[10]通过定义证据源的两个特征因素：群体可信度C 和单个证据源可信度i c ，对前面两种组合规则进行改进，为：
)
1()()()()
)(()()()(1
C m m m c A m C m A m A m n
i i i -?Φ+Θ=Θ???Φ+=?=?∑ （4）
其中是还加入了修改证据源思想的。借鉴Murphy [6]的证据加权方法，为证据赋予不同的可信度，然后进行融合，上式中的
∑=?n
i i
i
c A m 1
))((即修改后的证据源每个子集的概率分配函数。
此处思想借鉴Murphy ，但优于它，Murphy 是将各个证据源等同对待每个权重都一样，在实际系统中每个证据源的权重是不同的。
文献[13]如前述文献也是通过定义可信度概念来改进修正D-S 证据的融合算法，通过定义证据源距离的概念根据证据源的局部决策值建立证据之间的支持矩阵，保留各个证据源之间最原始的支持关系，得到整个系统的支持矩阵，然后求此支持矩阵的特征向量，作为单个证据源的可信度，新颖之处在于其是基于矩阵和向量的。
有些学者提出局部冲突在局部范围内解决[15]，其基本思想为：对识别框架
},,{C B A =Θ，若0)(,0)(21>>B m A m ，则在组合时的冲突)()(21B m A m 应该局部处理
分配给组合后的A 和B ，而不分配给其它焦元。又如0)(,0)(21>?>C B m A m ，则在组合时的冲突)()(21C B m A m ?分配给组合后的A 、B 、C 和C B ?，不分配给其它焦元。此局部冲突处理的组合规则，在无冲突信息情况下与经典Dempster 规则一致，当冲突分散时，结果更合理并且计算复杂性与经典规则同阶。
2．2 打破经典D-S 证据理论框架的改进方法：
以上总结分析的新方法都基于经典的D-S 证据理论框架，除此之外有些学者[16]认为尽管对D-S 证据组合理论修正的方法有很多，但这些方法或者无法根本解决不一致证据融合及按权重聚焦的问题，或者在解决的同时又带来新的问题，并且没有直观的组合结果。为此针对焦元爆炸、高度信息冲突时证据组合不合常理等问题，提出了一种与D-S 证据理论完全不同的新算法[14]，其中除了证据、焦元概念外，还提出了类似于基本概率分配的基元及相关度份额等概念。经大量实例数据分析证明，当高度信息冲突时，融合结果显然优于传统的D-S 证据理论。当证据相同或相近时，运用两种方法的结果基本一致。并且新算法对奇异值有很强的纠错功能，等得到符合实际的结果。但此算法作者没有给出理论上的严密推理，仅提出了运算方法与过程。
Dezert,Smarandache[8]在形式上打破了辨识框架中的基本元素是互斥的假设，D-S 理论中识别框架的任一子集是由焦元的并构成，而[8]理论中的子集还可以由焦元的交组成，认为焦元不是最基本的，是可以再细化的。实质是把冲突的各部分分别赋予了D-S 理论中认为是空集的集合上。带来的问题是更有可能引起“焦元爆炸”。
3．数值实例[10]：
例2．辨识框架},,{C B A =Θ，有四个证据源的基本概率分配为：
1
.0)(,0)(,9.0)(:
1.0)(0)(,9.0)(:99.0)(,01.0)(,0)(:01.0)(01.0)(,98.0)(:4444333322221111============C m B m A m S C m B m A m S C m B m A m S C m B m A m S ，，
此处列举根据文献[9][4][10][11][12]五种组合规则的证据组合结果。
组合规则 证据 )(Φm
)(A m
)(B m
)(C m
)(Θm
D-S 规则 S 1, S 2 0.99 0 0.01 0.99 0 S 1, S 2, S 3 0.99901 0 0 1 0
S 1, S 2, S 3, S 4 0.999901 0 0
1
0 Yager 规则 S 1, S 2 0.99 0 0．0001 0．0099 0．99 S 1, S 2, S 3 0.99901 0 0 0．00099 0．99901
S 1, S 2, S 3, S 4 0.999901 0 0
0．000099 0．999901 文献[11] S 1, S 2 0.99 0．18 0．004 0．194 0．622 S 1, S 2, S 3 0.99901 0．321 0．003 0．188 0．488
S 1, S 2, S 3, S 4 0.999901 0．42 0．003 0．181 0．396 文献[12] S 1, S 2 0.99 0．4851 0．01 0.5049 0 S 1, S 2, S 3 0.99901 0.626 0.0067 0.3673 0
S 1, S 2, S 3, S 4 0.999901 0.6949 0.005 0.3001 0
文献[10] S 1, S 2 0.99 0.0097 0.0003 0.0189 0.9711 S 1, S 2, S 3 0.99901 0.4863 0.0027 0.061 0.4679
S 1, S 2, S 3, S 4
0.999901
0.5967
0.0023
0.0713
0.3297
表1. 五种组合规则对冲突证据组合的结果比较
由所给基本概率分配知，证据源S 1, S 3, S 4在很大程度上支持A ，S 3支持C 。由以上五种组合规则对冲突证据组合的结果比较可见，当有两个以上证据源时，D-S 证据理论、Yager 公式的融合结果0)(=A m ，显然不合常理。当来了证据源S 3后，根据文献[11][12][10]的组合规则得到的)(A m 都增大，有了证据源S 4后，)(A m 更增大，结果优于经典的D-S 理论及Yager 公式。文献[11]相应的四个证据源的)(A m =0.42，即支持A 的仍小于50%。即在三个证据表明是A ，而一个否定A 情况下，仍不能作出有效决策。相对的文献[12][10]的结果更有效合理。
4．总结：
不确定信息的表示和若干个信息的综合是不确定性推理的主要问题，D-S 证据理论为不确定信息的表示提供了一个很好的框架，其组合规则在大多情形下是合理的。鉴于其在高度信息冲突时出现的问题，本文总结分析了相关国内外典型文献的改进思想，并进行系统条理的分析，为证据理论的发展和改进提供了有价值的参考，并为证据理论在不确定性推理方法中奠定了良好的基础。
参考文献:
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[6] Murphy C. Combining of belief functions when evidence conflichts. Decision Support Systems,2000,29:1-9.
[7] Smets P. The combination of evidence in the transferable belief mode. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1990,12(5): 447-458.
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[19] 向阳, 史习智. 证据理论合成规则的一点修正. 上海交通大学学报,1999,33(3):357-360.
哈尔滨工程大学本科毕业设计 答辩 毕设题目：基于证据理论的数据融合方法及 DSP实现 院(系所)：信息与通信工程学院 专业：通信工程 姓名：郭静 学号：2009021134 指导老师：叶方副教授 答辩日期：2013-06-22
利用多传感器进行数据融合的必要性
论文完成的主要内容基于kalman滤波单传感系统仿真基于D-S证据理论多传感系统仿真DSP硬件程序开发及结果分析 系统的GUI可视化界面设计 结论和展望
k k k k W ΓX F X +=+1k k k k k V X H Z +=X 是k 时刻系统的n 维状态向量，Z 是系统的m 维观测向量，W 是p 维系统过程的噪声序列，V 是m 维 观测噪声序列，F 是系统的状态转移矩阵，是过程 演化噪声矩阵，H 是观测矩阵。 W ~ N(0,Q ) V ~ N(0,R )Γ正态分布 方差为，还与初始状态相互独立的为，均值也服从初状态二者000P X X 基于kalman 滤波单传感系统仿真
kalman滤波算法：
1.状态转移方程和观测方程建立 四维跟踪模型单传感系统 1111110001000010001-----+????? ???????????????????=????????????=k k k k k k k k k k vy y vx x T T vy y vx x W X k k k k k k k k vy y vx x y x V Z +????? ?????????????=??????=010000012.状态初始化 R 、Q 、P 、X
一.D-S证据理论引入 诞生 D-S证据理论的诞生：起源于20世纪60年代的哈佛大学数学家A.P. Dempster利用上、下限概率解决多值映射问题，1967年起连续发表一系列论文，标志着证据理论的正式诞生。 形成 dempster的学生G.shafer对证据理论做了进一步发展，引入信任函数概念，形成了一套“证据”和“组合”来处理不确定性推理的数学方法 D-S理论是对贝叶斯推理方法推广，主要是利用概率论中贝叶斯条件概率来进行的，需要知道先验概率。而D-S证据理论不需要知道先验概率，能够很好地表示“不确定”，被广泛用来处理不确定数据。 适用于：信息融合、专家系统、情报分析、法律案件分析、多属性决策分析
二.D-S证据理论的基本概念 定义1 基本概率分配（BPA） 设U为以识别框架，则函数m:2u→[0,1]满足下列条件： (1)m(?)=0 (2)∑A?U m(A)=1时 称m(A)=0为A的基本赋值，m(A)=0表示对A的信任程度 也称为mass函数。 定义2 信任函数（Belief Function） Bel:2u→[0,1] Bel(A)=∑B?A m(B)=1(?A?U) 表示A的全部子集的基本概率分配函数之和 精品文库 2
定义3 似然函数（plausibility Function） 似然函数表示不否认A的信任度，是所有与A相交的子集的基本概率分配之和。 定义4 信任区间 [Bel(A)，pl(A)]表示命题A的信任区间，Bel(A)表示信任函数为下限，pl(A)表示似真函数为上限 举例：如(0.25,0.85),表示A为真有0.25的信任度，A为假有0.15的信任度，A不确定度为0.6 三.D-S证据理论的组合规则 精品文库 3
D -S 证据推理改进方法综述1 1．概述： D-S 证据理论是首先由Dempster [1]提出，并由Shafer [2]进一步发展起来的一种不确定推理理论，已广泛用于信息融合和不确定推理等领域，具有坚实的数学基础，能在不需要先验概率的情况下，以简单的推理形式，得出较好的融合结果，为不确定信息的表达和合成提供了自然而强有力的方法。文献[9]中，介绍了D-S 证据理论的基本理论, 其中包括辨识框架（frame of discernment ）、焦元（focal elenment ）、基本概率分配函数BPA (basic probability assignment)、信任函数Bel (Belief function)、似然函数Pl (Plausibility function)，证据组合(evidence combination) 等概念，并且详细推导了多个证据组合概率分配函数，通过一个空中目标识别的例子清晰易懂的分析了将D-S 证据组合理论用于数据融合的思路和处理算法。任何融合算法都不具有绝对意义上的普遍性，只能在某些条件满足的情况下适用。D-S 证据理论存在的问题是，当处理冲突证据时，因组合规则中的归一化过程会出现违背常理的结论。下面例子说明了这一情况： 例1．识框架为},,{C B A =Θ，有两个证据的基本概率分配为： 99 .0)(,01.0)(,0)(: 0)(01.0)(,99.0)(:22221111======C m B m A m S C m B m A m S ， 组合证据 .9900.0,1)(,0)()(====k B m C m A m 虽然21m m ，对命题B 的支持程度都 很低，但融合结果仍然认为B 为真，这显然是有悖常理的。k 是衡量用于融合的各个证据 之间冲突程度的系数，当1→k ，即证据高度冲突时，归一化过程中，组合规则将矛盾信息完全忽略，在数学上引出不合常理问题。为解决此问题，人们提出了许多不同的改进方法，通过修改证据及改进组合规则，优化融合结果。 2．研究现状： 2．1 基于经典D-S 证据理论的改进方法总结分析： Yager [4]提出改进方法，即不忽略冲突信息，而是将其重新分配，式为： ) ()()() ()(Φ+Θ=ΘΘ ??=???m m m A A m A m Y Y （1） Θ为辨识框架，Φ为空集。把冲突认为成是对客观世界的无知部分，将冲突信息全部划分 给整个辨识框架, 即未知项，等待新的证据再做判断，符合认知逻辑。 以例1给定条件， 由Yager 公式组合可得： .9999.0)(,0)(,0001.0)(,0)(,9999.0)(=Θ====Φ?Y Y Y Y m C m B m A m m 该融合结果避免了出现违反常理的判断，但当有多个新证据源加入时，比如证据源等同于 1S ，都相当支持A ，合成的结果表示为：1)(,0)(,0)()(→Θ→==Y Y Y Y m B m C m A m 。 由此，出现“一票否决”的现象，即便是绝大多数证据源支持A ，仅有一个证据源否定A, 则 1 自然科学基金项目(编号：60343002)