上海高考数学试卷理科
解析
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2015年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩
U
Β=．
2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则
z= ．
3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c
1
﹣
c
2
= ．
4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则
a= ．
5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．
6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．
7．（4分）（2015?上海）方程log
2（9x﹣1﹣5）=log
2
（3x﹣1﹣2）+2的解
为．
8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．
9．（2015?上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P
和Q的轨迹分别为双曲线C
1和C
2
．若C
1
的渐近线方程为y=±x，则C
2
的渐近线方
程为．
10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．
11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为
（结果用数值表示）．
12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖
金（单位：元）．若随机变量ξ
1和ξ
2
分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则
Eξ
1﹣Eξ
2
= （元）．
13．（4分）（2015?上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1，x
2
，…，x
m
满足0≤x
1
＜x
2＜…＜x
m
≤6π，且|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m﹣1
）﹣f
（x
m
）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为．
14．（2015?上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）（2015?上海）设z
1，z
2
∈C，则“z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数”是“z
1
﹣z
2
是虚数”的（）
A ．充分非必要条
件
B
．
必要非充分条
件
C ．充要条件D
．
既非充分又非
必要条件
16．（5分）（2015?上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）
A ．B
．
C
．
D
．
17．（2015?上海）记方程①：x2+a
1x+1=0，方程②：x2+a
2
x+2=0，方程③：
x2+a
3x+4=0，其中a
1
，a
2
，a
3
是正实数．当a
1
，a
2
，a
3
成等比数列时，下列选项中，能
推出方程③无实根的是（）
A ．方程①有实
根，且②有实
根
B
．
方程①有实
根，且②无实
根
C ．方程①无实
根，且②有实
根
D
．
方程①无实
根，且②无实
根
18．（5分）（2015?上海）设 P
n （x
n
，y
n
）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2
在第一象限的交点，则极限=（）
A ．﹣1B
．
﹣C
．
1D
．
2
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）（2015?上海）如图，在长方体ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=1，AB=AD=2，
E、F分别是AB、BC的中点，证明A
1、C
1
、F、E四点共面，并求直线CD
1
与平面A
1
C
1
FE
所成的角的大小．
20．（14分）（2015?上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t
1
时乙到达C地．
（1）求t
1与f（t
1
）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t
1
≤t≤1时，求f（t）的表达
式，并判断f（t）在[t
1
，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）（2015?上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l
1和l
2
分别于椭
圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x
1，y
1
），C（x
2
，y
2
），用A、C的坐标表示点C到直线l
1
的距离，并证
（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．
22．（16分）（2015?上海）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n∈N *． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a
≥a n （n∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是
最大项；
（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．
23．（18分）（2015?上海）对于定义域为R 的函数g （x ），若存在正常数T ，使得cosg （x ）是以T 为周期的函数，则称g （x ）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f （x ）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ．设f （x ）单调递增，f （0）=0，f （T ）=4π．
（1）验证g （x ）=x+sin 是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a ＜b ，证明对任意c∈[f（a ），f （b ）]，存在x 0∈[a，b]，使得f （x 0）=c ；
（3）证明：“u 0为方程cosf （x ）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u 0+T 为方程cosf （x ）=1在区间[T ，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f （x+T ）=f （x ）+f （T ）．
2015年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2015?上海）设全集U=R ．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩U Β= {1，4} ． 考点： 交、并、补集
的混合运算．
专题： 集合． 分析： 本题考查集合
的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．
解答： 解：∵全集
U=R ，集合Α={1，2，3，4}，
Β={x|2≤x≤3}， ∴（U B ）
={x|x ＞3或x
∴A∩（
B）
U
={1，4}，
故答案为：
{1，4}．
点评：本题考查集合
的交、并、补
的混合运算，
熟练掌握集合
的交并补的运
算规则是解本
题的关键．本
题考查了推理
判断的能力．
2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
考点：复数代数形式
的乘除运算．
专题：数系的扩充和
复数．
分析：设z=a+bi，
则=a﹣bi
（a，
b∈R），利用
复数的运算法
则、复数相等
即可得出．
解答：解：设
z=a+bi，则
=a﹣bi
（a，
b∈R），
又
3z+=1+i，
∴3（a+bi）+
（a﹣bi）
=1+i，
化为
4a+2bi=1+i，
∴4a=1，
2b=1，
解得a=，
b=．
故答案为：
．
点评：本题考查了复
数的运算法
则、复数相
等，属于基础
题．
3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c
1
﹣
c
2
= 16 ．
考点：二阶行列式与
逆矩阵．
专题：矩阵和变换．
分析：根据增广矩阵
的定义得到
，是方
程组
的
解，解方程组
即可．
解答：解：由题意知
，是方
程组
的
解，
即
，
则c
1﹣c
2
=21
﹣5=16，
故答案为：
16．
点评：本题主要考查
增广矩阵的求
解，根据条件
建立方程组关
系是解决本题
4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 ．
考点：棱锥的结构特
征．
专题：空间位置关系
与距离．
分析：由题意可得
（aasin60
°）
a=16，由
此求得a的
值．
解答：解：由题意可
得，正棱柱的
底面是变长等
于a的等边三
角形，面积为
aasin60°
，正棱柱的高
为a，
∴
（aasin60
°）
a=16，
∴a=4，
故答案为：
4．
点评：本题主要考查
正棱柱的定义
以及体积公
式，属于基础
题．
5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．
考点：抛物线的简单
性质．
专题：计算题；圆锥
曲线的定义、
性质与方程．
分析：利用抛物线的
顶点到焦点的
距离最小，即
可得出结论．
线y2=2px（p
＞0）上的动
点Q到焦点的
距离的最小值
为1，
所以=1，
所以p=2．
故答案为：
2．
点评：本题考查抛物
线的方程与性
质，考查学生
的计算能力，
比较基础．
6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．
考点：旋转体（圆
柱、圆锥、圆
台）．
专题：空间位置关系
与距离．
分析：设圆锥的底面
半径为r，高
为h，母线长
为l，由已知
中圆锥的侧面
积与过轴的截
面面积之比为
2π，可得
l=2h，进而可
得其母线与轴
的夹角的余弦
值，进而得到
答案．
解答：解：设圆锥的
底面半径为
r，高为h，
母线长为l，
则圆锥的侧面
积为：πrl，
过轴的截面面
积为：rh，
∵圆锥的侧面
面面积之比为
2π，
∴l=2h，
设母线与轴的
夹角为θ，
则
cosθ==，
故θ=，
故答案为：
．
点评：本题考查的知
识点是旋转
体，其中根据
已知求出圆锥
的母线与轴的
夹角的余弦
值，是解答的
关键．
7．（4分）（2015?上海）方程log
2（9x﹣1﹣5）=log
2
（3x﹣1﹣2）+2的解为 2 ．
考点：对数的运算性
质．
专题：函数的性质及
应用．
分析：利用对数的运
算性质化为指
数类型方程，
解出并验证即
可．
解答：解：∵log
2
（9x﹣1﹣5）
=log
2
（3x﹣1﹣
2）+2，
∴log
2
（9x﹣1
﹣5）
=log
2
[4×（3x
﹣1﹣2）]，
∴9x﹣1﹣5=4
（3x﹣1﹣2），
化为（3x）2﹣
12?3x+27=0，
因式分解为：
（3x﹣3）（3x
﹣9）=0，
3x=9，
解得x=1或
2．
经过验证：
x=1不满足条
件，舍去．
∴x=2．
故答案为：
2．
点评：本题考查了对
数的运算性质
及指数运算性
质及其方程的
解法，考查了
计算能力，属
于基础题．
8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）．
考点：排列、组合的
实际应用．
专题：计算题；排列
组合．
分析：根据题意，运
用排除法分
析，先在9名
老师中选取5
人，参加义务
献血，由组合
数公式可得其
选法数目，再
排除其中只有
女教师的情
况；即可得答
案．
解答：解：根据题
意，报名的有
3名男老师和
6名女教师，
共9名老师，
在9名老师中
选取5人，参
加义务献血，
5=126
有C
9
种；
师的有C
6
5=6
种情况；
则男、女教师
都有的选取方
式的种数为
126﹣6=120
种；
故答案为：
120．
点评：本题考查排
列、组合的运
用，本题适宜
用排除法（间
接法），可以
避免分类讨
论，简化计
算．
9．（2015?上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P
和Q的轨迹分别为双曲线C
1和C
2
．若C
1
的渐近线方程为y=±x，则C
2
的渐近线方
程为．
考点：双曲线的简单
性质．
专题：计算题；圆锥
曲线的定义、
性质与方程．分析：设C
1
的方程
为y2﹣
3x2=λ，利用
坐标间的关
系，求出Q的
轨迹方程，即
可求出C
2
的
渐近线方程．
解答：解：设C
1
的
方程为y2﹣
3x2=λ，
设Q（x，
y），则P
（x，2y），
代入y2﹣
3x2=λ，可得
4y2﹣3x2=λ，
∴C
2
的渐近线
方程为4y2﹣
．
故答案为：
．
点评：本题考查双曲
线的方程与性
质，考查学生
的计算能力，
比较基础．
10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则
y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为 4 ．
考点：反函数．
专题：函数的性质及
应用．
分析：由f（x）=2x﹣
2+在
x∈[0，2]上
为增函数可得
其值域，得到
y=f﹣1（x）在
[]上为
增函数，由函
数的单调性求
得y=f（x）
+f﹣1（x）的
最大值．
解答：解：由f
（x）=2x﹣2+
在x∈[0，2]
上为增函数，
得其值域为
[]，
可得y=f﹣1
（x）在
[]上为
增函数，
因此y=f
（x）+f﹣1
（x）在
[]上为
增函数，
∴y=f（x）+f
﹣1（x）的最
大值为f
（2）+f﹣1
（2）
=1+1+2=4．
故答案为：
4．
点评：本题考查了互
为反函数的两
个函数图象间
的关系，考查
了函数的单调
性，属中档
题．
11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45 （结
果用数值表示）．
考点：二项式系数的
性质．
专题：二项式定理．
分析：先把原式前两
项结合展开，
分析可知仅有
展开后的第一
项含有x2
项，然后写出
第一项二项展
开式的通项，
由x的指数为
2求得r值，
则答案可求．
解答：解：∵
（1+x+
）10
=
，
∴仅在第一部
分中出现x2
再由
，令r=2，可
得，
x2项的系数为
．
故答案为：
45．
点评：本题考查了二
项式系数的性
质，关键是对
二项展开式通
项的记忆与运
用，是基础
题．
12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖
金（单位：元）．若随机变量ξ
1和ξ
2
分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则
Eξ
1﹣Eξ
2
= （元）．
考点：离散型随机变
量的期望与方
差．
专题：概率与统计．分析：分别求出赌金
的分布列和奖
金的分布列，
计算出对应的
均值，即可得
到结论．
解答：解：赌金的分
布列为
P
所以Eξ
1
=
（1+2+3+4+5
）=3，
奖金的分布列
为
P
所以Eξ
2
=×
（×1+×
2+×3+×
4）=，
则Eξ
1
﹣
Eξ
2
=3﹣=
元．
故答案为：点评：本题主要考查
离散型随机变
量的分布列和
期望的计算，
根据概率的公
式分别进行计
算是解决本题
的关键．
13．（4分）（2015?上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1，x
2
，…，x
m
满足0≤x
1
＜x
2＜…＜x
m
≤6π，且|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m﹣1
）﹣f
（x
m
）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为8 ．
考点：正弦函数的图
象．
14．（2015?上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则= ﹣．
考点：平面向量数量
积的运算．
专题：平面向量及应
用．
分析：由题意画出图
形，结合面积
求出
cosA=，
，然后代入数
量积公式得答
案．
解答：解：如图，
∵△ABD与
△ACD的面积
分别为2和
∴
，
，
可得
，
，
∴
．
又tanA=，∴，
联立
sin2A+cos2A=1，得
，cosA=．由
，得
．
则
．
∴=
=
．
故答案为：
．
向量的数量积
运算，考查了
数形结合的解
题思想方法，
考查了三角函
数的化简与求
值，是中档
题．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）（2015?上海）设z
1，z
2
∈C，则“z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数”是“z
1
﹣z
2
是虚数”的（）
A ．充分非必要条
件
B
．
必要非充分条
件
C ．充要条件D
．
既非充分又非
必要条件
考点：必要条件、充
分条件与充要
条件的判断．专题：简易逻辑；数
系的扩充和复
数．
分析：根据充分条件
和必要条件的
定义结合复数
的有关概念进
行判断即可．解答：解：设
z
1
=1+i，
z
2
=i，满足
z 1、z
2
中至少
有一个数是虚
数，则z
1
﹣
z
2
=1是实数，
则z
1﹣z
2
是虚
数不成立，
若z
1、z
2
都是
实数，则z
1
﹣
z
2
一定不是虚
数，因此当z
1﹣z
2
是虚数时，
则z
1、z
2
中至
少有一个数是虚数，即必要
故“z
1、z
2
中
至少有一个数是虚数”是
“z
1﹣z
2
是虚
数”的必要不
充分条件，
故选：B．
点评：本题主要考查
充分条件和必
要条件的判
断，根据复数
的有关概念进
行判断是解决
本题的关键．
16．（5分）（2015?上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）
A ．B
．
C
．
D
．
考点：任意角的三角
函数的定义．专题：三角函数的求
值．
分析：根据三角函数
的定义，求出
∠xOA的三角
函数值，利用
两角和差的正
弦公式进行求
解即可．
解答：解：∵点 A
的坐标为
（4，
1），
∴设
∠xOA=θ，则
sinθ=
=，
cosθ=
=，
将OA绕坐标原点O逆时针旋转至
OB，
则OB的倾斜
角为θ+，
则
|OB|=|OA|=
，
则点B 的纵坐
标为
y=|OP|sin
（θ+）=7
（sinθcos
+cosθsin
）=7
（×+
）
=+6=，
故选：D．
点评：本题主要考查
三角函数值的
计算，根据三
角函数的定义
以及两角和差
的正弦公式是
解决本题的关
键．
17．（2015?上海）记方程①：x2+a
1
x+1=0，方程②：x2+a
2
x+2=0，方程③：
x2+a
3
x+4=0，其中a
1
，a
2
，a
3
是正实数．当a
1
，a
2
，a
3
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）
A
．
方程①有实
根，且②有实
根
B
．
方程①有实
根，且②无实
根
C
．
方程①无实
根，且②有实
根
D
．
方程①无实
根，且②无实
根
考点：根的存在性及
断．
专题：函数的性质及
应用．
分析：根据方程根与
判别式△之间
的关系求出
a 12≥4，a
2
2＜
8，结合a
1
，
a 2，a
3
成等比
数列求出方程
③的判别式△
的取值即可得
到结论．
解答：解：当方程①
有实根，且②
无实根时，
△
1=a
1
2﹣
4≥0，△
2=a
2
2
﹣8＜0，
即a
12≥4，a
2
2
＜8，
∵a
1，a
2
，a
3
成等比数列，
∴a
22=a
1
a
3
，
即a
3
=，
则a
3
2=
（）
2=
，即方程③的判
别式△
3=a
3
2﹣
16＜0，此时
方程③无实
根，
故选：B
点评：本题主要考查
方程根存在性
与判别式△之
间的关系，结