158 实验1 实验误差与数据处理
【预习和实验要求】
本实验是“大学物理实验”中实验课重要的预备知识，也为进一步的学习和科研工作提供了基础工具。而误差与数据处理所涉及到的内容非常丰富，本实验在课堂只能由老师作基本的综合介绍。因此要求同学：
● 在课前必须认真阅读本实验教材，对误差与数据处理有所认识；
● 本实验属于课堂理论讲授，不动手作实验。同学必须带上讲义、记录用纸和笔，适当的作好课堂笔记；
● 课后认真复习教材，完成书面作业。
【实验原理】
一、 物理实验和测量误差
物理学是一门以实验为基础的科学。物理实验，除了观察之外，就是要对各种物理量进行测量。对一个物理量的测量，是用一个标准单位来与之作比较，得知其大小的。显然，测量值的大小同选用的单位有关，因此，表示物理量的测量值时，必须包括数值和单位。
测量分为两种：直接测量和间接测量：
● 直接测量：从仪器直接读出测量结果；
● 间接测量：从直接测量的结果，通过公式计算而得到需要的结果。 根据测量的条件，可以把测量分为等精度测量和不等精度测量：
等精度测量：保持测量条件不变（如，同一个人、用同一台仪器、相同的外部环境）而进行的重复性测量。此时无法判断某一次测量比另一次测量是否更准确，只能认为每次测量的精度是同等级别的；
不等精度测量：在测量中一个或几个条件发生了变化。又称为复现性测量。
置于一定实验条件下的物理量，在客观上总是有一个唯一确定的大小，称为该物理量的真值。但是，测量时由于种种原因，包括理论的近似性、仪器的分辨率和灵敏度的局限、环境条件的不稳定、操作者的差别……、等等，测量结果是不可能绝对准确的。此物理量的真值同测量值之间总是存在一定的差异，这种差异就称为测量误差：
测量误差=测量值—真值
测量误差反映了实验结果的准确程度，如何降低和控制误差是物理实验和测量的重要任务。随着科学和技术水平的不断提高，测量误差可以被控制得越来越小，但是永远存在于一切测量之中，不可能降低到零。换言之，物理量的真值是不可能通过测量得到的。
上述测量误差反映了测量值对于真值的偏差的大小和方向，它反映了某一次测量结果的优劣，称为绝对误差：
0i N N N ?=- （1-1）
式中0N 为真值，i N 为第i 次的测量值；
当需要比较多次测量结果的优劣程度时，则要用到相对误差：
100%N
E N ?=
? （1-2）
159
应该了解，由于测量得不到真值，所以由（1-1）、（1-2）所描述的误差也是不确定的。 二、 误差分类
误差按照其性质和产生的原因可以分为系统误差和随机误差。 1. 系统误差：
在相同的条件下，多次测量同一个物理量时，测量值对于真值的偏离（大小和方向）总是相同的，这类误差称为系统误差。系统误差的来源包括：
● 理论公式和测量方法的近似性（理论误差和方法误差），比如单摆测重力加速度时忽略了空气阻力，用伏安法测电阻时没有考虑电表的内阻；
● 仪器本身的缺陷（仪器误差），如温度计的刻度不准，电流表的零点不准，球面镜各处的曲率半径不一样；
● 测量环境和条件的变化，如在相对湿度50%条件下校准的仪器到90%的湿度下使用；
● 测量者个人习惯性误差（个人误差），如计时的时候某人总有滞后或超前的倾向等。
系统误差有时是定值，如游标卡尺的零点不准；有些是积累性的，如在较高的温度下用制的米尺的指标值小于真值，当用来作长度测量时，误差会随着待测长度成正比增加；还有些是周期性变化的，如分光计的中心转轴与刻度中心不重合而造成的偏心差，在不同的位置，有不同的数值，按转动周期有规律的变化，但在某一确定位置，误差又是定值。
系统误差的特点是恒定性。一方面它的出现是有规律的，全部结果要么都大于真值，要么都小于真值；另一方面，增加测量的次数并不能使它减小。
发现、减小和消除系统误差的方法涉及到对仪器进行校正、修正实验方法、在计算公式中引入修正项、等等。这是非常复杂的工作，要求丰富的实验经验。本课程只初步建立系统误差的概念，而假设测量系统误差已经排除。
2. 随机误差：
在相同的条件下，由于偶然的不确定因素，会造成每一次测量的无规律的涨落，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负，这类误差称为随机误差，也叫偶然误差。
形成随机误差的因素是多方面的，仪器性能和操作者感官分辨率的统计涨落、环境条件的微小波动、测量对象自身的不确定性、等等，都会带来测量结果的随机变化。
随机误差的特点是随机性。但它服从一定的统计分布规律。 三、 随机误差的处理方法
在相同条件下对某一物理量作多次测量，当测量次数足够多时，可以发现这些测量值呈现出一定的规律性。在常见的一般性测量中，基本上服从正态分布。正态分布曲线如图1所示，其中x 表示测量值的概率密度，概率密度函数()f x 为：
22
()21()2x f x e
μσπσ
--
= （3-1）
式中：
1lim
n
i
i x x
n
μ=→∞
=∑ （3-2）
2
1
()
lim
n
i
i x x n
μσ=→∞
-=∑ （3-3）
图3-1
160
分析图1所示的曲线，可以得知服从正态分布的随机误差的一些特征：测量值在
x μ=处的概率密度最大，
即是说，相应横坐标μ为测量次数n →∞时的测量平均值。μ在概率中被称为数学期望，其物理意义即测量的真值。横坐标上任一点x 到μ值的距离x μ-，代表了与测量值相对应的随机误差分量；随机误差小的概率大、随机误差大的概率小。σ称为标准差，是表征测量值分散性的参数。图中阴影区域（,μσμσ-+）的面积就是随机误差在σ±范围内的概率即测量误差落在该区间内的概率；计算可知：68.3%P =、测量值落在（2,2μσμσ-+）区间内的概率为95.4%、落在（3,3μσμσ-+）区间的概率为99.7%。
从曲线还可以看到随机误差的一个重要特征：()f x 具有抵偿性（对称性）。即以μ为对称轴，x 值为N μ±的概率相等。这一特征说明，测量值的算术平均值是测量值的最佳近似值，当测量次数趋于无穷时，算术平均值就等于真值。
在实际测量中，测量次数总是有限的，可以得到以下重要而实用的近似关系： 公式1： x μ→ 算术平均值：
1
1n
i i x x n ==∑ （3-4）
公式2：
S σ→ 实验标准差：
2
1
()1
n
i
i x
x S n =-=
-∑ （3-5）
式中的i x x -，定义为残差（又称偏差）
公式3：由于算术平均值x 相对于单次测量值i x 的随机误差有一定抵消，更接近于真值，其误差的分散程度也小得多，因此在实验中用得更多的是平均值的实验标准
差()S x ：
2
1
()()
()(1)
n
i
i i x
x S x S x n n n
=-==-∑ （3-6）
四、 测量结果的不确定度
随着科技和生产的发展进步，对实验测量数据的准确性和可靠性要求越来越高。从上世纪七十年代开始，逐渐提出了不确定度的概念。1986年，国际标准化组织（ISO ）等7个国际组织共同组成了国际不确定度工作组，研究制定《测量不确定度表示指南》，到1993年，该指南由ISO 颁布实施；我国也制定了《测量不确定度评定与表示》的国家技术规范（JJF1059-1999），成为评定不确定度的理论依据和计算规范。
测量结果的正确表达
实验测量结果表达的准确表达形式应该为：
Y N N =±? （4-1）
式中，Y 为待测物理量；N 为该物理量的测量值，注意它既可以是单次的直接测量值，也可以是多次测量的算术平均值，还可以是从公式计算得到的间接测量值。下面我们对N ?作讨论。
161
● 不确定度的定义和特征
前已提到，实际测量的真值和误差都是不确定的，这就给我们对测量结果的评价造成了困难。而N ?的引入，则对测量结果作出了准确的描述。（4-1）式就表示了测量结果的范围：[],N N N N -?+?。
式中，N ?称为不确定度，它是一个恒正的量。代表了测量值N 不确定的程度，是对被测真值所处的量值范围的评定。不确定度愈小，表示测量结果与真值愈靠近，测量结果愈可信。范围[],N N N N -?+?称为置信区间，即是说被测真值有一定的概率落在此范围内，此概率称为置信概率。已经知道：当N σ?=时，置信概率为68.3%；3N σ?=时，置信概率接近100%。前者称为标准不确定度，后者称为极限不确定度。今后提到不确定度，凡未经说明，均为标准不确定度。
不确定度是在误差的理论基础上发展起来的。误差常用于定性描述理论和概念的场合，不确定度则在需要给出具体数值和进行定量运算分析的场合；不确定度可以通过计算或评定而得到，其值永远为正，而误差一般是无法计算的，可正可负。
不确定度从估计方法上可以分为两类：A 类不确定度和B 类不确定度。以下我们采用更为通用的记号来作说明：
● A u ：A 类不确定度。这是符合统计规律，利用统计方法计算出的分量：
1
()
()(1)
n
i
i A x x u S x n n =-==
-∑ （4-2）
● B u ：B 类不确定度。这是用统计方法之外的其他方法估计出的分量，这些分
量常与存在于测量的各个环节中的系统误差对应，是不确定度估计的难点。在本课程中，直接取B 类不确定度等于仪器误差。
表1列出了由厂家提供的一些常用实验仪器的仪器误差值（又称允差）。
表1
仪器名称 量程
最小分度值
允差
木尺（竹尺） 30-50、60-100cm 1mm ±1.0mm 、±1.5mm
钢板尺 150、500、1000mm 1mm
±0.10mm 、±0.15mm 、±0.20mm 钢卷尺 1m 、2m
1mm ±0.8mm 、±1.2mm 游标卡尺 125mm 0.02mm ±0.02mm 螺旋测微器
25mm 0.01mm ±0.004mm
物理天平（7级） 500g 0.05g 0.08g(满量程)、0.06g （1/2量程）、0.04g （1/3量程及以下） 分析天平（3级） 200g 0.1mg 1.3mg(满量程)、1.0mg （1/2量程）、0.7mg （1/3量程及以下）
普通温度计 0°C-100°C 1°C ±1°C 精密温度计 0°C-100°C 0.1°C ±0.2°
C 指针式电表 级别%?满量程
数字表 α%?读数nD + D 表示读数的最后一位，α、n 视表以及功能确定 电阻箱
级别%?读数
162 ●
c u （或简称u ）：合成不确定度：
22
A B u u u =
+ （4-3）
注意在此式中，若一个分量为另一个的3倍以上，则可以将小的一个分量忽略不
计。
至此，前述测量结果的正确表达式（4-1）应为： Y N u =± （4-4） 前已提到，一个物理量测量值的表述应该包括数值和单位。我们将在后面讨论有效数字时，再对（4-4）式作出更为详尽的描述。
● 单次直接测量的不确定度估计
在实际测量中，常有只作单次测量的情形。注意此时的测量结果同样须要写为式（4-1）的形式：Y N N =±?。这里N ?一般用极限不确定度表示。具体的取值有多种方法：直接采用仪器出厂时的允差（表1）；未知允差时，可取为仪器可估读位的1/2-1/10；对于不可估读的仪器，可直接取最后一位；数字式仪表，则取为最低一位的值。
● 多次直接测量的不确定度计算 可用公式（4-2）、（4-3）来计算多次直接测量结果的不确定度。举例如下：
例4-1：用测微螺旋测量钢珠的直径，对钢球作五次测量，测得的数字为：
次数
1 2
3
4
5
D （mm ） 11.932
11.913
11.921
11.914
11.930
由式（3-4），直径D 的算术平均值为：
1(11.93211.91311.92111.91411.930)5
D =
++++
由式（4-2），A 类不确定度：
22222(11.93211.922)(11.91311.922)(11.92111.922)(11.91411.922)(11.93011.922)5(51)
A u -+-+-+-+-=
?- 0.004mm = B 类不确定度：B 类不确定度主要是仪器误差，从表1查得螺旋测微器的仪器误差（允差）为0.004mm
由式（4-3），合成不确定度：2
2
()0.0040.0040.006c u D mm =
+=
由式（4-4），测量结果：(11.9220.006)D mm =± （*）
● 间接测量的不确定度计算
现实生活中存在大量的间接测量，间接测量的结果由直接测量结果通过数学计算得到，当然也就存在不确定度。
设间接测量的数学表达式为
(,,,......)f x y z ?=
式中?为间接测量结果，,,,......x y z 为互相独立的直接测量结果。,,,......x y z 的不确定度（分别示为,,,......x y z u u u ）必然要影响到间接测量结果，而且各分量对?的不确定度的影响是不一致的。从数学上可以证明，这种影响可以表达为函数?对分量的偏微分。因此间接测量的不确定度计算公式与数学分析中的全微分公式基本相同，
163
不同之处是用不确定度,,,......x y z u u u 来替代了,,,......dx dy dz 。
根据“方和根”合成的统计性质，常用下列两式来计算间接测量的结果?的不确定度u ?：
222222
(
)()()......x y z f f f u u u u x y z
????=
+++??? （4-5） 222222
ln ln ln (
)()()......x y z u f f f E u u u x y z
?
?????=
=+++??? （4-6）
（4-6）式中，(,,,......)f x y z ?=，为间接测量的最佳值（算术平均值），由直接测量的最佳值代入函数关系得到；E ?称为间接测量的相对不确定度。
式（4-5）适用于?为和差形式的函数，式（4-6）适用于积商形式的函数，即先求出相对不确定度，以及间接测量的最佳值?，这样可在一定程度上简化运算。
表2为一些常用函数的不确定度表达式。 表2
函数表达式
标准不确定度表达式
W x y =± 2
2W x y u u u =+
W x y =? 或
x y
22
()()y W x u u u W x y
=+
k m
n
x y W z ?=
222222()()()y W x z u u u u k m n W x y z
=++
W kx = W x u ku =
k W x =
1W x
u u W k x =? sin W x =
cos W x u x u = ln W x =
x W u u x
=
说明：上表中部分函数的不确定度表达式是以相对不确定度的形式给出的，即表示对这些函数先求N E ，可以简化计算过程和最终表达式，（参见式（4-6））
例
4-2：测得金属管的内径1(2.8800.004)D cm =±，外径
2(3.600
0.004)D c m =±，高度(2.5750.004)h cm =±。求金属管的体积V
解：环的体积公式：2
221()4
V h D D π
=
-
体积的算术平均值：2233.1416
2.575(
3.600 2.880)9.4364
V cm =
??-= 我们用两种方法来求V 的不确定度。
由已知条件可知：120.004h D D u u u cm ===
164 ? 直接求不确定度V u ： 先求V 对各个分量的偏导数：
2221()4
V D D h π?=-?，
112V h D D π?=-?， 2
22V h D D π?=? 由式（4-5）：122
22221
1
21[
()][][
]4
2
2
V h D D hD hD u D D u u u π
ππ=-+-
+
代入各项数据：
222
2
0.0043.600
2.88022.5752.880
22.575
3.
4
V u π
=??-+??+??2
（
）（）（） 3
0.08cm =
? 先求相对不确定度N E ，再求不确定度V u ： 对V 求对数：2
221ln ln ln ln()4
V h D D π
=++-
求各个分量的偏导数：
l n 1
V h h
?=? ，
122121ln 2V D D D D ?-=?-， 122221ln 2V D D D D ?=?- 由式（4-6）：122221122222121
122()()()V h D D D D
u u u u h D D D D -=++--
代入各项数据：
2222222
12 2.8802 3.6000.004(
)()()2.575 3.600 2.880 3.600 2.880
V E -??=?++-- 0.81%=
可得：9.4360.0081V V u V E =?=?
3
0.08cm =
可见两种方法测得的体积V 的不确定度一致。
所以：V 3
(9.440.08)cm =± （*）
● 复现性测量的不确定度
在大学物理实验中的大多数测量，都属于上边讨论的等精度测量。而改变测量条件，如：用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数等等进行不等精度的复现性测量，一般是为了获得更加精确的测量结果、探索优化实验方法，多用在科研或高精度测量中。但在我们的课程中，有时也会用到复现性测量，特举例说明如下。
用伏安法测电阻R V I =。我们自然可以固定电压V 不变，用等精度的方法多次测量V 、I 的值， 分别算出电压、电流的平均值和不确定度，最后作间接测量确定电阻R 。但是在此种测量中，因为电压、电流的测值都不改变而只有随机波动，这样R 的测量值在该区段的误差的大小和方向都无法估计，也就无法修正，这就构成所谓未
165
定系统误差。上述不确定度的计算方法也不再适用。
改用复现性测量，就是主动改变电压V ，分别测得多组不同的V 、I 值，首先计算出对应的R 值；由于在实验过程中电阻R 是同一个不变的物理量，我们就可以由各
R 值，求得R 的平均值和A 类不确定度（这种情况不考虑B 类不确定度）
。
例4-3：用伏安法测电阻，得到以下4组数据。求测量结果R V I =：
次数
1 2 3 4 ()V V 1.50 2.00 2.50 3.00 ()I A
0.156
0.198
0.244
0.311
先计算每组测量值所对应的R ：
111 1.509.620.156V R I =
==Ω， 222 2.0010.100.198V R I ===Ω 333 2.5010.250.244V R I ===Ω， 444 3.00
9.650.311
V R I ===Ω
再求R 的算术平均值：1(9.6210.1010.259.65)9.914
R =
+++=Ω
A 类不确定度：()A u R = 2
2
2
2
(9.629.91)(10.109.91)(10.259.91)(9.659.91)
4(41)
-+-+-+-=
?-
0.2=Ω
测量结果：(9.90.2)R =±Ω
（*）
（*）注意，在结果中关于算术平均值、不确定度的数字位数以及彼此间的关系等处理规定，将在后续“数据处理”中讨论
五、 数据处理
常常容易认为，数据处理就是在做完实验以后算个数、作个图、计算一下误差。而实际上，实验的数据处理所涉及到更多的问题，贯穿在物理实验的全过程之中。
在开始实验之前，应该根据对实验结果的精度要求，选择实验方案和方法，考虑环境条件的要求、仪器精度的选用；进一步还应该分析每个因素，对实验结果可能造成的影响以及需要作出的修正；还须要调整各个测量量的误差分配以得到最佳的仪器搭配和测量方案。等等。实际上，这就是一次以设计值或者估计值进行的先期的数据计算和处理。
在实验进行当中，应该在仪器调节以及实验条件的保证方面作最佳选择，既不会太粗略而影响实验结果的精度，操作上又不作过分的苛求而降低效率。比如，测量单摆周期时，摆角应不大于多少？怎样选择电桥桥臂可以使电桥达到较高的灵敏度？另外，还须要随时分析和判断测得的数据是否合理？这些都涉及到数据的分析计算。
至于实验结束后，除了要对数据处理得出结果、给出误差范围；还应该从数据分析中去发现误差及其规律性，再反过来去调整实验的设计和安排。通过数据处理，还可以探索各物理量之间的关系，寻找反映这些关系规律的经验公式。
以上所述，虽然是一种严格的大规模的高精度的实验过程，在大学物理的基础实
166 验中涉及不多，但我们在任何一个实验过程中，都应该努力有意识地关注和思考这些方面的问题，通过对数据处理能力的训练，来提高自己实验的动手能力、处理和分析实验结果的能力，以及在实验中的观察、思考能力等等。
下面，介绍一些最基本的数据处理规则和方法。
● 有效数字：以下是有效数字及其运算的一些规定。 ? 0的处理：判定0在一个数字中是否为有效数字——从左往右看，以第一个非0数为准，其左边的0不是有效数字，其右边的0是有效数字。比如：0.0036为2位有效数字；0.03060为4位有效数字。
? 测量结果中有效数字的确定： 分为两种情况：
已知（或求得）不确定度，测量结果的有效数字由不确定度决定——结果的最末位必须与不确定度的位数对齐：比如测量（包括直接和间接测量）的近真值（算术平均值）为 1.3579，不确定度为±0.01。此结果表示测量值在百分位已经有了±0.01的误差，因此测量结果的正确表示应该为：1.36±0.01，因而有效数字为3位。从此意义上 ，可以说不确定度是对有效数字中最后一位数字的不确定程度的定量描述。
不确定度未知时，直接测量量的有效数字取决于量具的最小分度。比如：用最小分度为1mm 的米尺测量长度值记录为24.5mm ，共3位有效数字，其中24为准确数字，而5是在最小分度（mm ）位之后的估计值，属于可疑数字。即有效数字由准确数字加上1位可疑数字组成；准确数字的位数由量具的最小分度值确定。对于间接测量量，有效数字的位数由参与运算的各个直接测量量的有效数字以及运算方式确定：
加减运算：以各直接测量量位数最高者为准。比如：32.1+0.13+1=33 乘除运算：以各直接测量量位数最少者为准。比如：2 3.122 1.2?÷=5 乘方运算：以底数位数为准。
* 在运算中要注意区分参与运算的各量是物理量还是数学量？上述规定均针对物理量而言。如果是数学量如常数、无理数、公式的参数，视为有无穷多位有效数字，不影响最终结果的有效数字位数。
数据的单位换算不影响有效数字位数。特别要注意从较大的单位换算为小的单位时容易写错。比如：有2位有效数字的某结果 3.5m 换算为以mm 为单位时记成：
3.5350m mm =，是错误的；为此应采用科学记数法：23.5 3.510m mm =?
? 在按照有效数字的上述规定作处理时需要用到的数字修约原则：为简化运算，中间运算的有效数字可比结果多取1位；最终结果作修约时，用“4舍6入5保证最末位为偶”的原则处理。比如1.456、1.350两个结果，修约到2位有效数字时同为：1.4。十分位以后的取舍，前者因十分位是偶数而舍去；后者十分位为奇数，故百分位的5向前入1。
? 测量结果的正确表示： 前述（4-1）、（4-4）以及各（*）式都涉及到测量结果的表示方法，讨论了有效数字的各项规定后，现在可以把它们完整地归纳如下：
a. 式中近真值（算术平均值）、不确定度、物理量的单位三者缺一不可；
b. 式中的不确定度的位数，按我国国家技术规范，最多取2位有效数字，本
课程只取1位有效数字；
c. 式中近真值（算术平均值）的最低位必须与不确定度的最低位对齐。
167
例5-1：对某物体体积作测量，得体积V 的近真值为3
242.63cm ，不确定度()V u 为
30.42cm 。按照国家标准(10591999)JJF -正确地写出结果。应为：
3
(242.60.4)V cm =±
● 列表法
在记录和处理数据时，把数据列成表格，可以简单而清晰地表示出物理量之间的关系，便于随时检查结果和运算是否合理，提高效率、减少错误。
列表的主要要求包括：
a. 简单明了，能够反映出相关量的关系；
b. 表中所采用的符号所代表的物理量要明确，否则必须在标题栏中交代清楚；
c. 在标题栏中写明各物理量采用的单位；
d. 表中数据要能正确反映测量结果和仪器精度的有效数字，所列同类数据的有效数字应该统一；
e. 记录表格一般应该有序号；在表外还应该有表的标题和必要的说明。 ● 作图法
用作图法处理实验数据是常用的数据处理方法。通过它往往可以直观地研究相关物理量的关系，便于规律的发现；从图上可以由斜率、截距、用内插、叠加、相减、求极值、等方法来寻找或者求出某些物理量的数值；通过作图法，还可以发现误差，发现测量数据的错误，找到减小误差的方法等。
作图法的要求包括：
? 正规的图形必须采用坐标纸作图；
? 根据测量结果的有效数字的多少来确定图形和用纸的大小； ? 各坐标轴要明确地标明所代表的物理量，并注明采用的单位；
? 坐标原点可以不在图纸上，坐标轴的分度大小和起始值要根据数据和结果所需要的精度作合理选定，使画出的图形能够充分地反映物理量有较大变化的区段，还要注意图形不偏在图纸的一角；
? 各个数据点一般可用“+”标注，当有多组数据在同一图形存在时，必须用不同的符号区分；
? 由图上的各数据点作曲线时，要用直尺或者曲线尺连接。当需要连接为光滑曲线时，曲线一般并不通过所有的数据点，而应该是数据点在曲线两侧合理的分布。
直线是图形中最简单的曲线，用线性图形来反映物理量，变化规律最容易找寻和描述，因此在数据处理时常常希望把图形线性化。通过一些简单的数学变换和改变图形坐标轴所代表的物理量，经常可以达到目的。比如：
例5-2：在等温过程中气体压强与体积的关系：
P V C =，是一条双曲线。但改作P -1
V
图，就成为一条直线，可以很直观的反映出相互关系。
例5-3：研究弦线振动时，横波的波长λ和张力T ，有1T
λνμ
=
，取对数可得：
11
ln ln ln ln 22
T λμν=--。当频率ν、线密度μ不变时，则ln λ-ln T 之间为线
168 性关系，这时采用双对数坐标纸作图，就可以很方便地获得线性图。
例5-3：电流衰减曲线一般可表示为指数关系：0t
I I e β-=。通过取对数，可得：
0ln ln I I t β=-。再作ln I -t 则变成了一条直线。采用单对数坐标纸可以很方便地作图。
回归法
根据实验数据求得经验方程，表述物理量之间的规律，称为方程的回归。一元线性回归即最小二乘法是最简单的回归方法。考虑以下例子：
实验测得一个质点运动的速度和时间的一组数据： 12,,...k v y y y =
12,,...k t x x x =
从现象的观察和对数据的分析，该过程是一个匀变速运动。
用作图法参考测点画出一条直线，作直线的准则为：使测点11(,)x y 、
11(,)x y 、……均匀分布在直线两侧，如图5-1。这条t -v 直线可描述为：
按照最小二乘法，常用的准则为：使图中各测点沿垂直于x 轴的方向到该直线的距离的平方和最小。各测量点在图上到x 轴的垂直距离分别为：
110b x b +，120b x b +，……，10k b x b +，
所以各测点沿垂直于x 轴的方向到直线的距离的平方和为： 2101
[()]k
i
i i y
b x b ε==
-+∑
根据统计理论，当1b 、0b 满足：
122
()xy x y
b x x -?=
-
01b y b x =-
时，ε最小。
这样，我们就求得了描述质点运动的直线方程式（5-1），也就是反映t -v 之间规律的经验方程。
图5-1
10y b x b =+ (5-1) 其斜率1b 就是待测的加速度，截距
0b 是待测的初速度。
现在的问题是，怎样对直线给出确
切的解析方程和一个判断准则？ 式中：11k
i
i x x
n ==
∑，1
1k
i
i y y
n
==
∑，
1
1
k
i
i
i xy x y n ==∑，1
2
2
1
k
i i x n
x ==∑ （5-2）
169
至于用线性方程来描述t 、v （即,)x y 的关系是否合适？可以由相关系数r 来衡量。它是用来描述变量,x y 线性关系的密切程度的：
r =
12
2
2
2
22
1
1
()()
[()][()]
()()k
i
i i k k
i i
i i x
x y y xy x y x x y y x x y y ===---?=
----∑∑∑ （5-3）
11r -≤≤,r 的数值越大，,x y 线性关系越密切；0r =，,x y 完全不相干；
1r =，则全部测点（,i i x y ）（1
2,...i k =）都在同一条直线上。
【小结】
数据处理是实验的重要内容和步骤，狭义的数据处理包括对直接测量数据根据物
理和数学的相关规定进行运算、整理，以及对结果的评价、表达；不确定度是根据统计规律对测量结果的误差作出的定量评价。数据处理还应该包括对所研究的各物理量间的关系作探索，并且尽可能用数学解析式的形式总结为经验公式。作图法和最小二乘法都是拟合经验公式的有效方法。这是基础物理实验所包括的内容。
在更高级别的实验中，更为广义的数据处理除了完成上述工作，还应用在实验的前、中、后期，它还承担着对实验目标、方案、方法、周期乃至经费等项目的验证、评估和优化的任务。
可以看出，实验的数据处理具有重要而广泛的意义。我们一方面要熟练掌握数据处理的基本操作方法；同时在实验中注意它的各种影响，为后续的高级别实验打好基础。
1905年3月，爱因斯坦将自己认为正确无误的论文送给了德国《物理年报》编辑部。他腼腆的对编辑说：“如果您能在你们的年报中找到篇幅为我刊出这篇论文，我将感到很愉快。”这篇“被不好意思”送出的论文名叫《关于光的产生和转化的一个推测性观点》。
这篇论文把普朗克1900年提出的量子概念推广到光在空间中的传播情况，提出光量子假说。认为：对于时间平均值，光表现为波动；而对于瞬时值，光则表现为粒子性。这是历史上第一次揭示了微观客体的波动性和粒子性的统一，即波粒二象性。
1905年6月，爱因斯坦完成了开创物理学新纪元的长论文《论运体的电动力学》，完整的提出了狭义相对论。这是爱因斯坦10年酝酿和探索的结果，它在很大程度上解决了19世纪末出现的古典物理学的危机，改变了牛顿力学的时空观念，揭露了物质和能量的相当性，创立了一个全新的物理学世界，是近代物理学领域最伟大的革命。
狭义相对论不但可以解释经典物理学所能解释的全部现象，还可以解释一些经典物理学所不能解释的物理现象，并且预言了不少新的效应。狭义相对论最重要的结论是质量守恒原理失去了独立性，他和能量守恒定律融合在一起，质量和能量是可以相互转化的。其他还有比较常讲到的钟慢尺缩、光速不变、光子的静止质量是零等等。而古典力学就成为了相对论力学在低速运动时的一种极限情况。这样，力学和电磁学也就在运动学的基础上统一起来。
1905年9月，爱因斯坦写了一篇短文《物体的惯性同它所含的能量有关吗？》，作为相对论的一个推论。质能相当性是原子核物理学和粒子物理学的理论基础，也为20世纪40年代实现的核能的释放和利用开辟了道路。
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《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月
实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);
p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1 误差理论与数据处理 学号: ____________ 姓名: __________ 专业: _____________ 评分: _______ 上课时间: 第____周星期____上午[ ]下午[ ]晚上[ ] 请将1-24小题的答案对应地填在下表中 一、单选题（每小题3分，共36分）。 1.采用“四舍六入五单双”法，将下列各数据取为2位有效数字（修约间隔为0.1），其 结果正确的是： A. 2.750→2.7 B. 2.650→2.6 C. 2.65001→2.6 D. 2.6499→2.7 2.自然数6的有效数字位数为： A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 无穷位 3.L=0.1010m的有效数字位数为： A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4.V=2.90×103m/s的有效数字位数为： A. 3位 B. 5位 C. 6位 D. 7位 5.下列单位换算正确的是： A. 0.06m=60mm B. 1.38m=1380mm C. 4cm=40mm D. 5.0mm=0.50cm 6.用有效数字运算法则计算123.98－40.456+ 7.8，其结果正确的是： A. 91.324 B. 91.3 C. 91.32 D. 91 7.用有效数字运算法则计算271.3÷0.1和3.6×4.1，其结果正确的是： A. 3×103和14.8 B. 3×103和15 C. 2712和14.76 D. 2712和15 8.用有效数字运算法则计算 4.0345 +38.1 9.0121-9.011 ，其结果正确的是： A. 3705.827 B. 370.8273 C. 3705.8 D. 4×103 目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25) 实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 1.1 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测 量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 1.2 误差及误差的表现形式 1．误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 第四章误差与实验数据的处理练习题参考答案 1. 下列各项定义中不正确的是( D) （A）绝对误差是测定值和真值之差 （B）相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率 （C）偏差是指测定值与平均值之差 （D）总体平均值就是真值 2. 准确度是（分析结果）与（真值）的相符程度。准确度通常用（误差）来表示，（误差）越小，表明分析结果的准确度越高。精密度表示数次测定值（相互接近）的程度。精密度常用（偏差）来表示。（偏差）越小，说明分析结果的精密度越高。 3. 误差根据其产生的原因及其性质分为系统误差和（随机误差）两类。系统误差具有（重复性）、（单向性）和（可测性）等特点。 4. 对照试验用于检验和消除（方法）误差。如果经对照试验表明有系统误差存在，则应设法找出其产生的原因并加以消除，通常采用以下方法：（空白试验），（校准仪器和量器），( 校正方法)。 5. 对一个w(Cr)=%的标样，测定结果为%，%，%。则测定结果的绝对误差为（－%），相对 误差为（－%）。 6. 标准偏差可以使大偏差能更显著地反映出来。（√） 7. 比较两组测定结果的精密度（B） 甲组：％，％，％，％，％ 乙组：％，％，％，％，％ （A）甲、乙两组相同（B）甲组比乙组高（C）乙组比甲组高（D）无法判别 8. 对于高含量组分（>10%）的测定结果应保留（四）位有效数字；对于中含量组分（1%～10%） 的测定结果应保留（三）位有效数字；对于微量组分（<1%）的测定结果应保留（两）位有效数字。 9. 测定的精密度好，但准确度不一定好，消除了系统误差后，精密度好的，结果准确度就好。（√） 10. 定量分析中，精密度与准确度之间的关系是( C) （A）精密度高，准确度必然高（B）准确度高，精密度也就高 （C）精密度是保证准确度的前提（D）准确度是保证精密度的前提 11. 误差按性质可分为（系统）误差和（随机）误差。 12. 下列叙述中错误的是( C) 误差理论与数据处理 实验报告 姓名：黄大洲 学号：3111002350 班级：11级计测1班 指导老师：陈益民 实验一 误差的基本性质与处理 一、实验目的 了解误差的基本性质以及处理方法 二、实验原理 （1）算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。 设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...n i n i l l l l x n n =++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。 i v = i l -x i l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差） 2、算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。 残余误差代数和为： 1 1 n n i i i i v l nx ===-∑∑ 当x 为未经凑整的准确数时，则有：1 n i i v ==∑0 1）残余误差代数和应符合： 当 1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1 n i i v =∑为零； 当 1n i i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1 n i i v =∑为正；其大小为求x 时 的余数。 当 1n i i l =∑ 第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差 物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25) 实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实 验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。 专业资料 《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月 实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为： ',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为： ',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]); p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 第四章误差与实验数据的处理练习题 1. 下列各项定义中不正确的是( ) (A )绝对误差是测定值和真值之差 (B)相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率 (C)偏差是指测定值与平均值之差 (D)总体平均值就是真值 2. 准确度是( )与( )的相符程度。准确度通常用 ( ) 来表示，( )越小，表明分析结果的准确度越高。精密度表示数次测定 值( )的程度。精密度常用( )来表示。( )越小，说明分析结果的精密度越高。 3. 误差根据其产生的原因及其性质分为系统误差和( )两类。系统误 差具有( )、( )和( )等特点。 4. 对照试验用于检验和消除( )误差。如果经对照试验表明有系统误差 存在，则应设法找出其产生的原因并加以消除，通常采用以下方法：( )，( )，( )。 5. 对一个w(Cr)=1.30%的标样，测定结果为1.26%, 1.30%, 1.28%。贝U 测定结果的绝对误差为( )，相对误差为( )。 6. 标准偏差可以使大偏差能更显著地反映出来。( ) 7. 比较两组测定结果的精密度( ) 甲组：0.19％， 0.19％ 0.20％，0.21％，0.21％ 乙组：0.18％， 0.20％ 0.20％，0.21％，0.22％ ( A ) 甲、乙两组相同(B)甲组比乙组高(C)乙组比甲组高(D)无法判别 8. 对于高含量组分( >10%)的测定结果应保留( )位有效数字；对于中 含量组分(1%^ 10%)的测定结果应保留( )位有效数字；对于微量组分( <1%)的测定结果应保留( )位有效数字。 9. 测定的精密度好，但准确度不一定好，消除了系统误差后，精密度好的，结 果准确度就好。( ) 10. 定量分析中，精密度与准确度之间的关系是( 《误差理论与数据处理》实验报告 实验名称：MATLAB 软件基础 班级：学号： 姓名： 实验时间： 成绩： 一、 实验目的 熟悉MATLAB 软件的用户环境；了解MATLAB 软件的一般目的命 令；掌握MATLAB 数组操作与运算函数；掌握MATLAB 软件的基 本绘图命令；掌握MATLAB 语言的几种循环、条件和开关选择 结构。 通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB 软件解决一些 简单问题，能借助MATLAB 软件进行曲线或图形的绘制。 二、 实验原理 三、 实验内容和结果 1. 程序及流程 1. MATLAB 软件的数组操作及运算练习 设有分块矩阵A=[E R O S ],其中E,R,O,S 分别为单位矩阵，随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证A 2=[E R +RS O S 2 ] 程序： >> E=eye(3); >> R=rand(3,2); >> O=zeros(2,3); >> S=diag([1 2]) >> A=[E R O S] >> a=[E,R+R*S O,S^2] >> A^2-a 2.直接使用MATLAB软件进行作图练习 1.在同一个坐标下作出sin(2π*1*t)和cos(2π*10*t)2条曲 线的图形，并要求在图上加粗相应标注 程序：>> x=0:0.001:1; >> plot(x,sin(2*pi*x),x,cos(2*pi*10*x)) 2.用subplot分别在不同的坐标系下作出下列两条曲线，为每 幅图形加上标题。 1.正态分布N(0,1)的概率密度函数曲线； 2.反正弦分布的概率密度函数曲线，取a=1。 程序：x=-5:0.01:5; r = randn(1,1); y1=normpdf(x,0,1); y2=1/(pi*sqrt(1-(r ^2))); subplot(2,1,1) plot(x,y1) subplot(2,1,2) plot(x,y2) 3画出下列曲面的3维图形：z=sin（π√x2+y2）。 程序：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi); z=sin(pi*sqrt(x^2+y^2)); mesh(x,y,z); axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]); 3.用MATLAB语言编写命令M-文件和函数M-文件 编写函数M-文件sq.m：用迭代法求x=√a的值。求平方根的迭 代公式为x n+1=1 2（x n+a x n ）迭代的终止条件为前后两次求出 的x的差的绝对值小于10?5。实验误差及数据处理习题
物理实验-误差分析与数据处理
实验数据误差分析和数据处理
第四章误差与实验数据的处理-答案
误差理论与数据处理实验报告要点
实验数据误差分析与数据处理
物理实验误差分析与数据处理
实验数据误差分析和数据处理
误差理论与数据处理实验报告
(完整版)第四章误差与实验数据的处理
误差理论与大数据处理实验报告材料
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