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高三物理复习第四章 曲线运动——万有引力定律人教实验版知识精讲.doc

高三物理复习第四章 曲线运动——万有引力定律人教实验版

【本讲教育信息】

一. 教学内容:

复习第四章 曲线运动——万有引力定律;人造地球卫星

二. 重点、难点解析: (一)开普勒三定律

所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点上;行星和太阳之间的连线,在相等的时间内扫过相同的面积;行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.

(二)万有引力定律

1. 内容:宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间引力的大小,跟它们的质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比.

2. 公式:122m m F G

r

=,G 为万有引力常量,G=6.67×1011- N·m 2/kg 2

3. 适用条件

公式适用于质点间万有引力大小的计算.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点.另外,公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算,只不过r 应是两球心间的距离.

4. 两个物体之间的引力是一对作用力和反作用力,总是大小相等、方向相反.

(三)应用万有引力定律分析天体的运动

1. 基本方法:把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力

提供.公式为r )f 2(m r )T 2(m r m r v m r

Mm G 22222?π=π

=ω== 解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。 2. 天体质量M ,密度ρ的估算

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径R 和周期T ,由

R T 4m R Mm G 222π=得232GT R 4M π= 30

23

30R GT R 3R 3

4M V M π=π==ρ,0R 为天体的半径。 当卫星沿天体表面绕天体运动时,0R R =,则

2

GT 3π=ρ。

3. 卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R 的关系

(1)由R v m R

Mm G 22=得R GM

v =,

所以R 越大,v 越小。

(2)由R m R mM G

2

2ω=,得3R

GM =ω, 所以R 越大,ω越小。

(3)由R T

4m R mM G 222π=,得GM R 4T 3

2π=,

所以R 越大,T 越大。 4. 宇宙速度

(1)第一宇宙速度:人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度,又称环绕速度.

R v m R

Mm G mg 2

2==

(R 为地球半径),所以

s /km 9.7gR R

GM v 1===。

(2)第二宇宙速度(脱离速度):2v =11.2km /s ,使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射

速度.

(3)第三宇宙速度(逃逸速度):3v =16.7 km /s ,使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.

5. 地球同步卫星

相对于地面静止的卫星,T=24 h ,同步卫星必位于赤道正上方且距地面的高度是一定的,轨道平面与赤道平面重合.由于同步卫星相对于地面静止,故其必须做匀速圆周运动,而做匀速圆周运动的物体的合外力必总是指向圆心,卫星受到的合外力就是地球对它的万有引力,故只有赤道上方才能满足这一条件,卫星才能稳定运行.由

32

2

2

GM r r m r GMm ω

=ω=

由于ω一定,故r 不变.而r=R+h ,h 为离地面的高度。 R r h -=为一定值,说明同步卫星离地面的高度是一定的。

【典型例题】

一、万有引力定律的应用

万有引力定律是自然界中的一条普遍规律.无论是宏观的庞大的天体,还是微观的原子、电子;无论是有生命的物体,还是无生命的物体;无论物体的运动状态、物理性质、化学成分存在多大的差别,万有引力定律都存在,且与物体间是否存在其他介质等无关。

应用万有引力定律公式时。对一些非均匀球体,可采取变通方式。万有引力定律的公式只适用于计算质点或均匀球体之间的相互吸引力,若均匀球体挖去一部分时,挖去球穴后的剩余部分已不是一个均匀球体,不能看作质点,所以在解题时应注意公式的适用条件。 应用万有引力定律解决天体运动时抓住两条线索,即万有引力是天体运动所需的向心力,行星体表面运行的卫星的向心力为其重力。

r T

4m r m r v m r Mm G 22222π=ω==,

r T

4m r m r v m mg 2

22

2r π=ω==,

式中r 是指物体到地心的距离,r g 是指物体所处位置的重力加速度。

【例l 】火星的质量约为地球质量的1/9,其距太阳的距离为地球的1.5倍,那么地球受到太阳的引力是火星受到太阳引力的 。

解析:太阳与行星之间的作用力是万有引力,依据万有引力定律,则有F=2

Mm

G

r ,设太阳的质量为M ,地球的质量为m ,地球与太阳的距离为r ,则火星的质量就为19

m ,火星与太阳之间的距离为1.5r ,将已知条件代入上面的公式得:

F 814)r 2

3(m

91M G

F ,r Mm

G F 22=?==火地, 所以地球受到太阳的引力是火星受到太阳引力的481

. 答案:F 81

4

【例2】如图所示,两球间的距离为r ,两球的质量分布均匀,大小分别为m 1、m 2,则两球的万有引力大小为( )

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A. 2

21r m m G B. 2

1

21r m m G

C. 2

2121)

r r (m m G

+

D. 2

2121)

r r r (m m G

++

解析:将两球等效为位于O 1、O 2处质量为 m l 、m 2的质点。 答案:D

二、卫星运行速度与发射速度的关系问题

1. 对于人造地球卫星,由r v m r

Mm G 22=得r GM

v =,该速度指的是人造地球卫星在轨

道上的运行速度,其大小随轨道半径的增大而减小.但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功,增大势能,且卫星在半径较大的轨道与在半径较小的轨道上正常运行时相比,增大的势能大于减小的动能,所以卫星在半径较大的轨道上运行时具有的机械能较大,所以

将卫星发射到离地球越远的轨道上,在地面所需要的发射速度越大。由R

GM

v =知,第一

宇宙速度是把卫星送出地球的最小发射速度,也是卫星环绕地球运行的最大线速度。

2. 由ma R v m R m R r

4m R GmM F 22

222==ω=π==

向可得:

(1)r v 与的关系:r GM v =,即r ,r

1

v ∝

越大,v 越小。 (2)r 与ω的关系:3r GM =

ω,即

r ,r 1

3∝ω越大,ω越小。 (3)r a 与的关系:2r

GM

a =

2r

1

a ∝,卫星绕轨道半径运转时的向心加速度与该处的重力加速度g 相等

2r

1

'g ,a 'g ∝=

r 越大,加速度越小. (4)T 与r 的关系:

GM

r 2T 3

π

= 即3r T ∝,r 越大,T 越大.

3. 若卫星的环绕速度大于7.9km /s 而小于11.2km /s ,卫星将沿椭圆轨道运动,地球在椭圆轨道的一个焦点上.环绕速度越接近11.2km /s ,椭圆轨道越扁平;环绕速度越接近7.9 km /s ,椭圆轨道越接近圆.

4. 通讯卫星与地球同步,周期T=24h ,在赤道面上空高度一定. 【例3】已知以下信息:

a. 本题中的已知量为:地球半径为R ,地球表面的重力加速度为g ;

b. 如果以无穷远处为零势能面,则距地心为r ,质量为m 的物体势能为Mm

E G

r

=- (其中M 为地球质量,G 为引力常量)利用上述信息解答以下问题:

(1)某卫星质量为m ,距地心距离为2R 绕地球做匀速圆周运动,求其速率v 0。

(2)在(1)中所述卫星向后弹出质量为m )347(-的物体后,围绕地球改做椭圆运动,已知弹射出的物体在原来轨道上做反方向的匀速圆周运动,求卫星弹射出物体后的瞬时速度1v 。

(3)若上述卫星在远地点距地心距离为4R 并且卫星沿椭圆轨道运动的机械能守恒,求卫星在远地点时的速度2v 。

解析:(1)对卫星,由牛顿第二定律及万有引力定律,

R 2v m )

R 2(Mm

G 2

02

= ①

对在地球表面的物体'm ,有

g 'm R

Mm

G 2= ② 由①②联立解得2

Rg

v 0= ③ (2)卫星弹射出物体后的质量

m )347(m m 1--=

④ 由动量守恒定律,得

)v (m )347(v m mv 0110--+=

⑤ 由③、④、⑤联立得3/Rg 2v 1=

(3)由近地点到远地点,由机械能守恒

R 4Mm G

v m 21R 2Mm G v m 2112

211211-=- ⑦ 联立②、⑥、⑦解出6/Rg v 2=。

答案:(1)

2

gR

(2)3/Rg 2

(3)6/Rg

【例4】一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星,其轨道半径r=3R(R 为地球半径),已知地球表面重力加速度为g ,则该卫星的运行周期是多大?若卫星的运动方向与地球自转方向相同,已知地球自转角速度为0ω,某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方,再经过多长时间它又一次出现在该建筑物正上方?

解析:卫星再一次出现在建筑物的正上方,卫星相对于该建筑物转过的角度为2π,求出卫星相对于地球的角速度,便可求出卫星再次出现在该建筑物正上方所经历的时间。

答案:由万有引力定律和牛顿定律可得

R 3T 4m )R 3(GMm 22

2π= ① mg R

GMm

2

= ②

联立①②两式,可得

g

R

36T π= 以地面为参考系,卫星再次出现在建筑物上方时转过的角度为π2,卫星相对地面的角速度为)(01ω-ω,则

0R

3g

312T

22t ω-π=

ω-π

π=

?。

三、重力加速度在天体运动中的应用问题

1. 地球表面上物体的重力加速度为0g ,在忽略地球的自转时,可以认为物体的重力等于物体的万有引力,即0mg F =引,则2

00r /GMm mg =,所以2

00r GM

g =

2. 其他天体表面的重力加速度为g ,天体半径为R ,由2R GMm mg =得2

R

GM

g =,由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为:

2

1

212

221M M R R g g ?

=。 3. 环绕地球运行的卫星所在处的重力加速度为h g ,由于地球对卫星的万有引力提供向心

力,所以20h )h r (Mm

G mg +=

可得:2

0h )

h r (GM

g += 在一些题中往往利用上述三种情况的替代关系来解决问题。

【例5】试通过计算说明:考虑地球自转时,赤道上重力加速度减少了多少?(R=6400km)

解析:不考虑地球自转的影响时,可以认为物体的重力等于引力,引力产生的加速度就是重力加速度;考虑地球的自转,重力应该等于引力减去物体随地球自转做匀速圆周运动所需要的向心力.因此,重力产生的重力加速度应等于引力加速度减去向心加速度。

答案:设不考虑地球自转时的重力加速度为g ,考虑地球自转时的重力加速度为'g ,则有

2

22

mR R

Mm

G 'mg R Mm G

mg ω-==

所以重力加速度的减少为

222522

22

222s /m 034.0s /m )246060(104.64T R 4R )

R R M

G (R M G 'g g g ≈????π=π=

ω=ω--=-=?

【例6】一卫星绕某行星做圆周运动,已知行星表面的重力加速度为行g ,行星的质量M 与卫星的质量m 之比M /m=81。行星的半径行R 与卫星的半径卫R 之比6.3R /R =卫行,行星与卫星之间的距离r 与行星的半径行R 之比r /行R =60,设卫星表面的重力加速度为

卫g ,则在卫星表面有:2Mm

G

mg r

=卫,经过计算得出:卫星表面的重力加速度为行星表面重力加速度的

1

3600

。上述结论是否正确?若正确,请列式证明;若错误,请求出正确结果。

解析:所得的结果是错误的,式中的卫g 并不是卫星表面的重力加速度,而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。

正确解法是:卫星表面卫卫

g 'm R '

mm G 2

= 行星表面行行

g 'm R 'Mm G 2

=

得行

行g g M m )R R (

2

=

, 故行卫g 16.0g =。 答案:不正确

行卫g 16.0g =

【例7】为了研究太阳演化进程,需知道目前太阳的质量M 。已知地球半径R=6.4×106

m ,地球质量m=6×10

24

kg ,日地中心的距离r=1.5×1011m ,地球表面处的重力加速度取g=10m

/s 2

,1年约为3.2×107

s ,试据此估算目前太阳的质量M 。(保留一位有效数字,引力常量未知)

解析:根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动(近似处理)的向心力列出相

关方程,再据地球表面物体重力等于引力列出2R

m

G g =,联立求解。

答案:设T 为地球绕太阳运动的周期,则由万有引力定律和动力学知识得 r )T 2(m r Mm G 22π

= ①

对地球表面的物体'm ,有 2R

'

mm G g 'm =

①②两式联立,得

2

23

2T

gR mr 4M π= 代入已知数据得

kg 102M 30?=。

【模拟试题】

1. 已知万有引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T .仅利用这三个数据,可以估算出的物理量有( )

A. 月球的质量

B. 地球的质量

C. 地球的半径

D. 月球绕地球运行速度的大小

2. 发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道I ,然后经点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点,轨道2、3相切于P 点,如图所示.当卫星分别在1、2、3转轨上正常运行时,以下说法正确的是( )

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A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道l 上的角速度

C. 卫星在轨道l 上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2 上经过Q 点时的加速度

D. 卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3 上经过P 点时的加速度 3. 若人造卫星绕地球做匀速圆周运动,则下列说法正确的是( ) A. 卫星的轨道半径越大,它的运行速度越大 B. 卫星的轨道半径越大,它的运行速度越小

C. 卫星的质量一定时,轨道半径越大,它需要的向心力越大

D. 卫星的质量一定时,轨道半径越大,它需要的向心力越小

4. 火星有两颗卫星,分别是火卫一和火卫二,它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为7小时39分,火卫二的周期为30小时l8分,则两颗卫星相比( )

A. 火卫一距火星表面较近

B. 火卫二的角速度较大

C. 火卫一的运动速度较大

D. 火卫二的向心加速度较大

5. 已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、

月球自转的影响,由以上数据可推算出( )

A. 地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9:8

B. 地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9:4

C. 靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8:9

D. 靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81:4

6. 地球和月球的质量之比为81:1,半径之比为4:1,求在地球上和月球上发射卫星所需最小速度之比.

7. 中子星是恒星演化过程中的一种可能结果,它的密度很大,现有一中子星,观测到它的自转周期T=

1

30

s .该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定,不致因自转而瓦解?[计算时星体可视为均匀球体,万有引力常量G=6.67×1011

-m 3

/(kg·S 2)]

8. 如图所示,A 、B 、C 是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星,下列说法正确的是( )

A. B 、C 的线速度相等且大于A 的线速度

B. B 、C 的周期相等,且大于A 的周期

C. B 、C 的向心加速度相等,且大于A 的向心加速度

D. 若C 的速率增大可追上同一轨道上的

B

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9. 如图所示,有A 、B 两个行星绕同一恒星O 做圆周运动,运转方向相同,A 行星的周期为T 1、B 行星的周期为T 2,在某一时刻两行星第一次相遇(即两行星相距最近),则( )

A. 经过时间12t T T =+,两行星将第二次相遇

B. 经过时间12

12TT t T T =

+,两行星将第二次相遇

C. 经过时间12

2T T t +=,两行星第一次相距最远

D. 经过时间12

122()

TT t T T =+,两行星第一次相距最远

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10. 在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段,着陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时高度为h ,速度方向是水平的,速度大小为0v ,求它第二次落到火星表面时速度的大小,计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r ,周期为T ,火星可视为半径为r 0的均匀球体。

试题答案

1. BD

2. BD

3. BD

4. AC

5. C

6. 本题要求发射卫星的最小速度,其实就是求第一宇宙速度,即该卫星做近地运动,故有

R

v m

R m M G

2

2

地地= ①

r

v m

r m M G

2

2

月月=

由①②式得

月月

地月

地R R M M v v ?

=

代入数据,有

2

941181v v =?=

地 故最小发射速度之比为9:2。

7. 设中子星的密度为ρ,质量为M ,半径为R ,自转角速度为ω,位于赤道处的小物块质量为m ,则有

22mR R

mM

G ω= 又知T

2π=

ω 中子星质量ρπ=

3R 3

4

M 由以上各式得密度2

GT 3π

=ρ 代入数据解得314m /kg 1027.1?=ρ

8. B

9. BD

10. 2

02

232v r T hr 8v +π=