向量概念加减法巩固练习
一、选择题 若a 是任一非零向量, b 是单位向量，下列各式①| >1 b 丨；② a // b ；
③丨a | >
A . 2. A . C. 3. A . 4. A .
5. A . 9. A .
0；④ I b | =± 1 ； ①④⑤ a
=b ，其中正确的有（
B .③ C.①②③⑤ D.②③⑤ 四边形ABCD 中，若向量 AB 与CD 是共线向量，则四边形
ABCD(
)
是平行四边形 B .是梯形
是平行四边形或梯形 D.不是平行四边形， 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是
（ 一条线段 B . —个圆面
C.圆上的一群弧立点
也不是梯形
D. —个圆
b 是两个不平行的非零向量，并且 a //
c , b // c ,则向量
C 等于（
B. a
C. b
D. C 不存在
BC
B
.
AB
C
.AC D . AM
—? a 、 b 为非零向
量,
且|
a +
b | =| a | + 1 b |则(
a //
b 且a 、b 方向相同
B.
—? —* a =b
―?
—*■
化简（
AB - CD ) + ( BE -DE ) 的结果是
（
: ) CA B . 0
C .
AC D. AE
在四边形ABCD 中, AC = AB + AD ，则（
)
向量（ A . )
6.
A . 7.
A . 8.
B . ABCD 是菱形
ABCD 是矩形
C. AB + MB ) + ( BO + BC ) +OM 化简后等于(
D.以上都不对
ABCD 是正方形D. ABCD 是平行四边形
已知正方形 ABCD 勺边长为1, AB = a , AC =c , BC =b ,则| a + b +c |为( B. 3
C
.
D. 2 2
10. F 列四式不能化简为 AD 的是（ A .(
AB +CD ) + BC
B . (AD + MB ) + ( B
C + CM ) C. MB + A
D - BM D .
OC - OA +CD
12. 如果两非零向量 a 、b 满足： 1 a | >
|
—F
A.| a + b | =
=| a 1 - | b |
C.| a -b | = =| b 1 - | a |
b | ,那么a 与b 反向，则（ ）
B .l a -b | = | a | - | b I D.| a +b | = | a | + | b |
）
1而方向为北偏东 30°的向量就不是单位向
（ ）
7.设O 是正三角形ABC 的中心，则向量 AB 的长度是OA 长度的,3倍.（ ）
9.在坐标平面上，以坐标原点
O 为起点的单位向量的终点 P 的轨迹是单位圆.（
）
10 .凡模相等且平行的两向量均相等. （
） 三、填空题
1
1.已知四边形 ABCD 中, AB=— DC ,且| AD | = | BC | ,则四边形ABCD 勺形状是
2
fa
-■
-W _* -■ LI.
2.已知 AB = a , BC = b , CD = c , DE =d , AE = e ,贝U a + b + c +d = _ .
3.已知向量a 、b 的模分别为3, 4,则| a - b |的取值范围为 ________________ 4 .已知 | OA | =4, | OB | =8, / AOB=60 ,则 | AB | = __________ . 5. a ="向东走 4km ” , b ="向南走 3km ” ,则 | a + b | = ________ .
6
向量 a,b 满足：|a|=2,|a+b|=3,|a — b|=3,贝U|b|= __ .
7 已知 OA = a , OB =b ,且 | a | = | b | =4, Z AOB=60
| a +b | = _______ ., | a -b | = _________ .
判断题
1 .向量AB 与BA 是两平行向量.（
）
2 .若a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a =b .（ 3. 长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为
量.（
）
4.
与任一向量都平行的
向量为
0向量.（ ）
5. 若AB =DC ,则A B 、C D 四点构成平行四边形.
四、解答题
1.已知△ ABC试用几何法作出向量: BA +
BC ,
CA +CB
2 :若G点是△ ABC的重心，求证:
■■■ +■ +：'
=0 反之也成立. （重要结
论）
3 如图.点M是厶ABC的重心，则MA+MB -MC为（）
D . 4：八
5如图ABCD 是一个梯形,AB // CD且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB的中点若
a ,"“,
试用a,b表示 "和
6如图在正六边形ABCDEF中，已知:
!' = a, I''' I = b,试用a、b 表示向量
数学《平面向量》复习卷 一、填空题 1、向量的两个要素是： 和 。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有 ； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于 。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是 形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是 。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为 。 二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B
2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C
O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa
向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】
（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.
平面向量的加减法练习题 一、选择题 1、下列说法正确的有( )个. ①零向量是没有方向的向量,①零向量的方向是任意的,①零向量与任一向量共线,①零向量只能与零向量 共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量①速度①位移①力①加速度①路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是 （）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、①ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B．C．D． 6、如图.点M是①ABC的重心,则MA+MB－MC为（） A．0 B．4 C．4 D．4
7、在正六边形ABCDEF 中,不与向量相等的是 （ ） A ． + B ．－ C ． + D ．+ 8、a =－b 是|a | = |b |的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 二、填空题： 9、化简： + + + + = ______. 10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是①ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且= 31 , =31 , = 31 ,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知： = a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， .
7.1.2 平面向量的加法 教学目标 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，培养数形结合解决问题的能力； 3、将向量运算与数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结合律。 教学重点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 教学难点 理解向量加法的定义. 教学方法和思路 采用问题引领和探究式教学方法。通过实例抽象出向量加法的定义，学生分析探究加法的定义，分情况探究三角形法则的几种情况，进一步分析公式特点。在例题中得出向量加法的平行四边形法则，通过质量检测使学生熟练运用三角形法则和平行四边形法则求和向量，并运用定义和运算法则进行向量的加法运算。 教学过程 复习提问: 1、什么叫向量？叫向量。 2、长度（模）为零的向量叫做。零向量的方向具有性。 3、长度（模）等于一个单位的向量叫做。 4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。 5、长度相等且方向相同的向量叫做，长度相等且方向相反的向量互为。 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 情景设置 王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m到达学校（C处）（如图）．你能用向量表示王涛同学这两次位移的总效果吗？
学习新课 1. 向量加法的定义（三角形法则） 问题：向量的加法运算是如何定义的？ 位移AC u u u r 叫做位移AB u u u r 与位移BC u u u r 的和，记作AC u u u r =AB u u u r +BC u u u r ． 一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A ，依次作AB u u u r =a , BC u u u r =b ，则向量AC u u u r 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋ b =AB u u u r ＋BC u u u r =AC u u u r 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量a 与向量b 的加法运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的和向量．其和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点． 探究：三角形法则的几种情况： 情形1： 首尾相连，求两向量和. a a 情形2：两向量分离 ，求两向量和. a a 情形3：起点相连或终点相连，求两向量和. A B C 500m 200m A C B a b a +b a b
向量概念加减法·基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 ，其中正确的有（） 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥, b∥，则向量等于（） A．B．C．D．不存在 5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（） A． B． C． D．AM 6．、为非零向量，且｜+｜=｜｜+｜｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对 7．化简（-）+（-）的结果是（） A．CA B．0 C．AC D．AE 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形 9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（） A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为的是（） A．（+）+ B．（+）+（+CM） C．MB+AD-BM D．OC-OA+CD 11．设是的相反向量，则下列说法错误的是（）
a b A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜-｜=｜｜-｜｜ D ．｜+｜=｜｜+｜｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，=2 1,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 4．已知｜｜=4,｜｜=8,∠AOB=60°,则｜｜= ． 5． a =“向东走4km ”,b =“向南走3km ”,则｜a +b ｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法则和 四边形法则） （2）b a
《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》 年级：高一 撰写教师：徐艳 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第 1 课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用. （2）教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情. 教学目标： （1）知识目标 ① 理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量； ② 掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
③ 掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算. （2）能力目标 ① 经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程； ② 通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力. (3) 情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行” 的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. (2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流. 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法﹑启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作﹑自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源 1 名称：两岸直航视频 媒体格式：avr 媒体资源 2 名称：《爱的直航》 媒体格式：MP3
B B 平面向量的加减法复习教案 执教:毛移民 教学目标 1.掌握向量加法的三角形法则、向量加法的多边形法则、向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法则； 2.掌握向量的加法满足交换律与结合律； 3.灵活运用向量加减法法则和运算律进行向量的运算. 教学重难点 灵活运用向量加减法法则和运算律进行向量的运算. 教学过程 一、知识点复习 1. 向量加法的三角形法则与多边形法则的两个要点: (1) ; (2) . 提示: 当与是两个平行向量时，方法同上. 符号语言：如图，(1)AB BC +=_____________；（2）++_____________. 练习： （1）思考：已知向量,,,，能直接写出+++的和向量吗？ （2）填空：=+BC AB ；=+BA CB ；=+ED OE ； =++ ；=++++EF DE CD BC AB . 2. 向量减法的三角形法则的两个要点: (1) ; (2) . 提示: 当与是两个平行向量时，方法同上. 符号语言：如图，=-________． B A
A 练习： (1)如图，试用,,表示向量,. = ；= . (2) 填空：=- ；=+- ； =-- . 3. 向量加法的平行四边形法则的两个要点: (1) ; (2) . 符号语言：如图，=+________；=-________． 练习： (1)如图，已知平行四边形ABCD ，设b AB a AD ==,，试用向量b a ,表示向量BD CA ,. =_________________；=_________________. （2）如图，梯形ABCD 中，AB //DC ，点E 在AB 上，CE //AD . AE EC CD BE ++＋＝__________________； AB BC CE AD ++＋＝__________________. 4．零向量： 叫做零向量. 记作 . 练习： （1）零向量既没有大小，又没有方向，这句话对吗？. （2）填空：a +（-a ）= ； a + =a （3）填空：=+ ；=++ ； =+-BC AC AB ；=-+OC AC OA . C C E D C B A
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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向量概念加减法2基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥； b，其中正确的有（） ③｜a｜＞0；④｜b｜=±1 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（）A．B．C．D．不存在 5．向量（+）+（+）+化简后等于（） A． B． C． D． 6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（-）+（-）的结果是（） A．B． C．D． 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（） A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM） C．+-D．-+
a 11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不 是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，= 21,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法 则和 四边形法则）
一、选择题 1、下列说法正确的有 ( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线,④零向量只能与零 向量共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量①速度①位移①力①加速度①路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是 （）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、①ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B．C．D． 6、如图.点M是①ABC的重心,则MA+MB－MC为（） C．4 D．4 7、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是（）
A ． + B ．－ C ． + D ．+ 8、a =－b 是|a | = |b |的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 二、填空题： 9、化简： + + + + = ______. 10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是①ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且= 31 , =31 , = 3 1,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知： = a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， . 14、如图：若G 点是①ABC 的重心，求证： + + = 0 .
平面向量的加法 一、教学内容解析 向量一方面类似于“数”，它可以进行运算，并且满足某些运算律，具有“代数”的特征；另一方面又看到向量有“形”，它可以用有向线段表示，向量的运算可以采用画图的方法，具有“几何”的形态。因此，通过向量把代数与几何有机的联系起来。本节课类比实数加法的研究框架,将探索的过程分为三部分: 引入定义、归纳法则和验证运算律。 二、教学目标设置 教学目标： 1．经历引进向量加法的过程，初步掌握向量加法的三角形法则，会用作图的方法求两个向量的和向量，知道零向量的意义以及零向量的特征。 2．通过作图归纳出向量的加法的交换律和结合律，会利用它们进行向量运算。 3．通过向量加法与实数加法的类比，发展数学观念，领会类比，化归的数学思想方法及数形结合思想及从一般到特殊的思维策略。 教学重点：掌握向量加法的三角形法则，会用作图的方法求两个向量的和向量。 教学难点：理解向量加法的三角形法则及其几何意义． 三、学情分析 学生虽然掌握了实数的加减运算，但是类比向量的加法运算实质还是有不同的，必然会对原有知识的认知产生很大的冲突，使学生在理解掌握上产生困惑。但是在学习本节课之前，学生已经学习了向量的有关概念，知道向量是有大小和方向的，并对相同向量和相反向量有一定的认识。 四、教学过程： 教学环节教师活动学生活动设计意图 一、 复习旧知引入课题问题: 1、向量的定义 2、我们知道长度、面积、体积等一些数量， 同一类量都可以进行加减运算，那向量不仅有 大小，还有方向，两个向量可以相加吗？ 回答问题并在 老师引导下说出自 己的认识。 复习向 量的相关概 念，提出疑问 引发类比探 究.
平面向量的加法教学设计 伍海青 （一）知识目标 1、向量加法的意义. 2、三角形法则和平行四边形法则. 3、向量加法的交换律和结合律. （二）能力目标 1、能用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量. 2、能运用向量加法的运算律进行向量计算. 3、培养学生数形结合的思想和抽象与概括、分析与综合的思维方法. （三）德育目标 1、根据向量加法法则的引入过程，使学生认识到不同学科之间存在一定的联系. 2、通过对本节课的学习，使同学们认识到掌握知识的规律：从“观察与实验”到“分析与综合”，再到“抽象与概括”. 教学重点 1、对向量加法意义的理解. 2、三角形法则和平行四边形法则的原理. 3、向量加法的交换律和结合律. 教学难点 1、两种法则的具体运用. 2、灵活运用向量加法的运算律. 教学方法 多媒体辅助，启发式、交互式教学. 教学过程 新课引入 复习：向量是既有大小，又有方向的量. 平移前后的两个向量相等. 引入：同学们都知道，实数是有大小的量，可以进行四则运算.而向量是既有大小又有方向的量，它是否也可以进行运算呢（电脑演示“两岸直航”示例） 首先我们来看物理中的“位移”和“力”是怎样求和的：
1. 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ 2. 某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ 3. 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ 4. 若有两个力Ｆ1，Ｆ2同时作用于同一物体， 则此物体所受合力为：Ｆ1 + Ｆ2 = F 教师提出课题：平面向量的加法（板书） 二、新课探究 定义： 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法. 注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 三角形法则： 注意： （1）在该法则中：“向量平移”要使前一个向量的终点为后一个向量的起点； 和向量的方向是由前一个向量的起点指向后一个向量的终点. （2）=+=+ 明确了+的方向后，我们来探讨a b a b +r r r r 、 与之间的关系. F 2 F Ｆ1 A B C C A B A B C A B C a +b a b a +b A B C a b b a A B C a + b a b A B C a + b a b a +b a b a +b a b
练习内容：22.7平面向量 22.8平面向量的加法 22.9平面向量的减法 姓名 学号 成绩 一、选择题 (每小题3分，共18分) 1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC =，那么四边形ABCD 为 ( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、长方形 D 、正方形 2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A 、是平行四边形 B 、是梯形 C 、是平行四边形或梯形 D 、不是平行四边形，也不是梯形 3．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( ) A 、a 与b 的长度必相等 B 、a ∥b C 、a 与b 一定不相等 D 、a 是b 的相反向量 4．下列说法中不正确的是 ( ) A 、零向量是没有方向的向量 B 、零向量的方向是任意的 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量只能与零向量相等 5．下列四式不能化简为AD 的是 ( ) A 、()A B CD B C ++ B 、()()A D MB BC CM +++ C 、A D AD BM +- D 、OC AO CD ++ 6．下列说法中，正确的有 ( ) ① 若a b =±，则a ∥b ② 若a ∥b ，则a b =± ③ 若a b =±，则||||a b = ④ 若||||a b =，则a b =± A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
二、填空题 (每小题4分，共40分) 7．规定了方向的线段叫做 8．向量是既有大小、又有 的量，可以用 线段表示 9．AB BA + = ；a a - = 第10题到15题的图 10．平行四边形ABCD 中，与AB 相等的向量有 11．平行四边形ABCD 中，与AB 相反的向量有 12．平行四边形ABCD 中，与AB 平行的向量有 13．平行四边形ABCD 中，与AO 相等的向量有 14．平行四边形ABCD 中，与AO 相反的向量有 15．平行四边形ABCD 中，与AO 平行的向量有 16．设a 表示“向东走1km ”，b ”，则a b +表示 三、简答题 (每小题6分，共24分) 17．判断下列命题是否为真命题 (1)★ AB BC DC AD +-= ( ) (2)★ 向量b 的长度记作||b ( ) (3)★ 用两个字母表示有向线段，起点字母与终点字母随便哪个写在前面无所谓 ( ) 18．判断命题“若a b =，则a 与b 是平行向量”是否是真命题。若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例；并写出此命题的逆命题 D
教 案 首 页 教学对象 2015秋材料班 授课日期 2016.5.19 教学内容 2.2 平面向量的减法 计划学时 2 教学目的 知识 技能 态度 向量的加减运算原理 正确掌握向量的加法运算与减法运算，掌握作图方法 认真态度，严谨 教学重点 与难点 1.理解向量减法的作图过程和方法 教学资源 教学活动流程 教学步骤与内容 教学目标 教学方法及教具 时间 一、复习导入新课 复习平面向量的加法运算 二、平面向量的减法原理 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 三、推理减法运算 与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即 a ? b = a ＋(?b )． 设a = OA ，b = OB ，则 ()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+= 巩固记忆 理解减法意义 提问 认真讲解 10分钟
． 即 OA OB - =BA 观察下图可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点． 四、引入例子 例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ． 解 如图7－14（2）所示，以平面上任 一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即 BA = a －b ． 五、运用知识 强化练习 1.填空：（1）AB AD - =_______________， （2）BC BA - =______________， （3）OD OA - =______________． 讲解并要求学生会做向量减法图 20分钟 5分钟 a A a -b B b O B b O a A b a （（
平面向量及其加减运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB”符号标记为AB，且AB表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: a b c等. ①小写英文字母表示法: 如,,, AB CD等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如, （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
向量加法运算及其几何意义 【教学目标】 1、知识与技能 （1）了解向量的概念，掌握向量加法的定义及其几何意义； （2）熟练掌握加法的“三角形法则”和“平行四边形法则”； （3）掌握向量加法的交换律和结合律，并用它进行向量计算； 2、过程与方法 通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些量，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，平面向量的有关概念，向量间的关系。 3、情感态度与价值观 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 【教学重点】向量加法的定义，向量的加法及其运算法则； 【教学方法】启发式 【教学类型】概念课 【教学用具】尺规 【教学过程】 一、提出课题 我们都知道，数能够进行四则运算，正因为有了这些运算，使数变得如此强大，生活中也离不开这些计算。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？下面我们大家一起来学习向量的线性运算。 1、定义 我们把求两个向量a、b的和的运算叫做向量的加法，a+b叫做向量a和b的和向量。记为a+b。 2、运算法则 （1）如图1.已知非零向量a、b，在平面内任取一点A,
作 a AB =, b BC =，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即 AC BC AB b a =+=+,我们把这种求向量和的方法叫做向量加法的三角 形法则，以一个向量的终点作为一个向量的起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点和向量叫做合向量。尾首相连，首尾连。 （2）如图2.在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个向量a 、 b 为邻边 作平行四边形OACB ,则以O 为起点的对角线OC 就是 a 、 b 的和，我们把 这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 特别地，对于零向量与任一向量a ，我们规定： a a =+0， 二、强化新知 例1，如图3，已知向量 a 和 b ，求作向量 b a +。 作法1：在平面内任取一点O （图4），作a OA =， b AB =， 则向量b a OB += 作法2：在平面内任取一点O （图5），以O 为起点，以 a 、 b 为邻边作平行四边行 OACB ,连接OC ,则 b a OB OA OC +=+= b a a b A B C 图1 图2
平面向量及其加减运算 教案 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB ”符号标记为AB u u u r ，且AB u u u r 表示点B 相对于点A 的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a ）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量 就是相等的向量； （b ）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如,,,a b c r r r L 等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如,AB CD u u u r u u u r 等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.
平面向量的坐标运算教案(总 3页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
“平面向量的坐标运算”教学方案 教学目标： 1.知识与技能： 理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。 2.过程与方法： 在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。 3.情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。 教学重点： 平面向量的坐标表示及坐标运算。 教学难点： 平面向量坐标表示的意义。 教学方法： 结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。 教学手段： 投影仪、多媒体软件 教学过程 1.情境创设 教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？ 学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解 设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做好铺垫。 2.展开探究 问题一：平面向量的基本定理内容是什么？ 教师请一学生回答，同时投影出示其内容。 问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加 合理呢？ 组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。 投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题 问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？