2020—2021学年度上期高2018级半期考试
文科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分。在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．设全集R U =，已知集合{}(2)(1)0A x
x x =-+>∣，{}1,0,1,2,3B =-，则()U A B =（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1,0,1,2-
C ．{}0,1
D ．{}1,0-
2. 设复数z 满足 (52)z i i =+，则z 的虚部为（ ）
A ．2-
B ．2i -
C ．5
D ．5i
3．在矩形ABCD 中，33AB AD == ，则AC BD ?=（ ）
A ． 6-
B ． 6
C ． 8-
D ．8
4．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气质量合格，下面四种说法不．正确．．
的是（ ）
A ．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个
B ．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了
C ．8月是空气质量最好的一个月
D ．6月的空气质量最差
5．函数()2
1
()1ln 1
x x e f x x e -=-+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知(0,),απ∈且3cos28cos 5,αα-=则sin α=（ ）
A B ．
23 C ．13
D 7．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A ．(5,+)∞
B ．(2,+)∞
C ．[2,)+∞
D ．[5,)+∞
8．已知函数()2x
f x =，131(())4a f =，37
(log )2b f =，13
(log 5)c f =，则a b c 、、的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．c a b >> 9
．设函数()cos f x x x =，则下列结论错误的是（ ）
A ．()f x 的最小正周期为2π
B ．()y f x =的图像关于直线83
x π
=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=
D ．()f x 在(,)2
π
π单调递减 10．设x ，y 满足24
122x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
，则z x y =+的最小值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．7-
11．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A
B
． C
D ．1 12．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推. 在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想. 在1980年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（ ） A ．辛丑年
B ．庚子年
C ．己亥年
D ． 戊戌年
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝2”是“A ?B ”的_____________条件．
14．函数21
()ln 2f x x x ax =+-存在与直线30x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是_________．
15．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，左焦点(,0)F c -，右顶点(,0)A a ，上顶点(0,)B b ，满足0FB AB =，
则椭圆的离心率为____________. 16．体积为
43的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ,2PA =,2
ABC π
∠=,则球O 的表面积的最小值为 _________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
322,n n n n n n
S a n b a c b =-=+=，记． （1）证明：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（2）记n T 为{}n c 的前n 项和，n T m <恒成立，求实数m 的取值范围．
18．（本小题满分12分）某地区2013年至2019年的年用电量y (单位：万千瓦时)的统计数据如下表， （1）求y 关于t 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年的年用电量.
1
2
1
()()
,()n
i
i i n
i
i t
t y y b a
y bt t
t ∧
∧
∧
=
=--=
=--∑∑参考公式：
19．（本小题满分12分）如图甲,平面四边形ABCD 中,已知=45=90=105,=2,A C ADC AB BD ∠∠∠=，，现将四边形ABCD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点,E F 分别是棱,AC AD 的中点. （1）求证: DC ⊥平面ABC ; （2）求三棱锥A BEF -的体积.
图甲 图乙
D
D
20．（本小题满分12分）已知椭圆22
221(0)x y C a b a b +=>>：3，1(3,)2
M -是椭圆C 上的一点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A B 、，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐
标；若不是，请说明理由.
21. （本小题满分12分）已知函数()sin f x xlnx a x =-． （1）当0a =时，求函数1
()2y f x x
=+
-的极值； （2）若()f x 在1
[e ，)π有且只有一个零点，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选一题作答。如果多选，则按所做的第一题记分。 22.【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+??=-+?（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()24
π
ρθ-（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 切线，切点为A 、B ，求四边形AMBC 面积的最小值.
23．【选修4—5:不等式选讲】（本小题满分10分）
已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =++-+． （1）当1a =，2b =时，求不等式()5f x c >+的解集；
（2）当()f x 的最小值为6时，证明: 22222212a b a c b c c b a
+++++≥．