函数解题思路方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判
断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x
轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次
函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或
其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线3
2+
y（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－
ax
=bx
+
3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法
07 08 09
两个一个两个
动点个
数
共同点：
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是
(40)A -，，(20)B -，，
(08)E ，．
（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；
（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴
分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明
问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上移动 抛物线中特殊直角梯形底边上移动 考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形 考 点
①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式
①求直线解析式
②四边形面积的表示
③动三角形面积函数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定值
④探究等腰三角形存在性
特
点
①菱形是含60°的特殊菱形；
△AOB 是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。 ⑤利用a 、t 范围，运用不等式求出a 、t 的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积 ②动点按到拐点时间分段分类
③画出矩形必备条件的图形探究其存在性
①直角梯形是特殊的（一底角是45°） ②点动带动线动 ③线动中的特殊性（两个交点D 、E 是定点；动线段PF 长度是定值，PF=OA ）
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；
理由．
[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是
2(0)y ax bx c a =++≠，
则16404208a b c a b c c ++=??
++=??=-?
，，． 解得168a b c =-??
=??=-?
，，．
所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．
过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．
当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．
根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以2ADN S S =△．
所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．
所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．
（3）781
444
S t ??=--+ ??
?
，
（04t <≤）． 所以7
4t =时，S 有最大值
81
4
． 提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．
所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．
所以22420t t +-=．解之得126262t t ==-，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线234
y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线3
34y x t
=-
+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．
（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；
（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：
(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由． [解] （1）9
4
b = （2）(40)B ，
（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ PB =时
PH OB ⊥，则GH HB =
②当PB QB =时 得445t t -= ③当PQ QB =时，如图
解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB = 则5
22
BP BD t =
= 又BDQ BOC △∽△ 解法二：作Rt OBC △斜边中线OE 则5
22
BC OE BE BE ==
=，， 此时OEB PQB △∽△
解法三：在Rt PHQ △中有222QH PH PQ = 32
057
t t ∴=
=，（舍去） 又01t <<