一、旋转 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(?<600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。 【答案】(1)1
302α?-(2)见解析(3)30α=?
【解析】解:(1)1
302
α?-。
(2)△ABE 为等边三角形。证明如下:
连接AD ,CD ,ED ,
∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60?得到线段BD , ∴BC=BD ,∠DBC=60°。 又∵∠ABE=60°,
∴1
ABD 60DBE EBC 302
α∠=?-∠=∠=?-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中,∵AB=AC ,AD=AD ,BD=CD ,
∴△ABD ≌△ACD (SSS )。∴1
1BAD CAD BAC 22
α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°,∴11
BEC 180(30)15022
αα∠=?-?--?=。∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中,∵BEC BAD ∠=∠,EBC ABD ∠=∠,BC=BD , ∴△ABD ≌△EBC (AAS )。∴AB=BE 。 ∴△ABE 为等边三角形。
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴DCE 1506090∠=?-?=?。 又∵∠DEC=45°,∴△DCE 为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°,∴(180150)
EBC 152
?-?∠=
=?。 而1
EBC 30152
α∠=?-=?。∴30α=?。
(1)∵AB=AC ,∠BAC=α,∴180ABC 2
α
?-∠=
。
∵将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ,∴DBC 60∠=?。 ∴180ABD ABC DBC 603022
αα
?-∠=∠-∠=
-?=?-。 (2)由SSS 证明△ABD ≌△ACD ,由AAS 证明△ABD ≌△EBC ,即可根据有一个角等于60?的等腰三角
形是等边三角形的判定得出结论。
(3)通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出(180150)
EBC 152
?-?∠==?,由(1)
1
EBC 302α∠=?-,从
而1
30152
α?-=?,解之即可。
2.如图所示,
(1)正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A ,∠EAF=90°,连接BE 、DF .将Rt △AEF 绕点A 旋转,在旋转过程中,BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系?结合图(1)给予证明; (2)将(1)中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ,等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ,且AD=kAB ,AF=kAE ,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化?结合图(2)说明理由; (3)将(2)中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ,将Rt △AEF 变为△AEF ,且
∠BAD=∠EAF=a ,其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化?结合图(3),如果不变,直接写出结论;如果变化,直接用k 表示出线段BE 、DF 的数量关系,用a 表示出直线BE 、DF 形成的锐角β.
【答案】(1)DF =BE 且DF ⊥BE ,证明见解析;(2)数量关系改变,位置关系不变,即DF =kBE ,DF ⊥BE ;(3)不改变.DF =kBE ,β=180°-α 【解析】 【分析】
(1)根据旋转的过程中线段的长度不变,得到AF =AE ,又∠BAE 与∠DAF 都与∠BAF 互余,所以∠BAE =∠DAF ,所以△FAD ≌△EAB ,因此BE 与DF 相等,延长DF 交BE 于G ,根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF =90°,所以DF ⊥BE ; (2)等同(1)的方法,因为矩形的邻边不相等,但根据题意,可以得到对应边成比例,所以△FAD ∽△EAB ,所以DF =kBE ,同理,根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF =90°,所以DF ⊥BE ;
(3)与(2)的证明方法相同,但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF =180°,所以DF 与BE 的夹角β=180°﹣α. 【详解】
(1)DF 与BE 互相垂直且相等. 证明:延长DF 分别交AB 、BE 于点P 、G
在正方形ABCD 和等腰直角△AEF 中 AD =AB ,AF =AE , ∠BAD =∠EAF =90° ∴∠FAD =∠EAB ∴△FAD ≌△EAB ∴∠AFD =∠AEB ,DF =BE ∵∠AFD+∠AFG =180°, ∴∠AEG+∠AFG =180°, ∵∠EAF =90°,
∴∠EGF =180°﹣90°=90°, ∴DF ⊥BE
(2)数量关系改变,位置关系不变.DF =kBE ,DF ⊥BE . 延长DF 交EB 于点H ,
∵AD =kAB ,AF =kAE ∴AD k AB =,AF
k AE = ∴
AD AF
AB AE
= ∵∠BAD =∠EAF =a ∴∠FAD =∠EAB
∴△FAD ∽△EAB
∴
DF AF
k BE AE == ∴DF =kBE
∵△FAD ∽△EAB , ∴∠AFD =∠AEB , ∵∠AFD+∠AFH =180°, ∴∠AEH+∠AFH =180°, ∵∠EAF =90°,
∴∠EHF =180°﹣90°=90°, ∴DF ⊥BE
(3)不改变.DF =kBE ,β=180°﹣a . 延长DF 交EB 的延长线于点H ,
∵AD =kAB ,AF =kAE ∴AD k AB =,AF
k AE = ∴
AD AF
AB AE
= ∵∠BAD =∠EAF =a ∴∠FAD =∠EAB ∴△FAD ∽△EAB
∴
DF AF
k BE AE == ∴DF =kBE
由△FAD ∽△EAB 得∠AFD =∠AEB ∵∠AFD+∠AFH =180° ∴∠AEB+∠AFH =180°
∵四边形AEHF 的内角和为360°, ∴∠EAF+∠EHF =180° ∵∠EAF =α,∠EHF =β ∴a+β=180°∴β=180°﹣a 【点睛】
本题(1)中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明;(2)(3)利
用相似三角形的判定和性质证明,要解决本题,证明三角形全等和三角相似是解题的关键,也是难点所在.
3.在Rt△ABC中,AB=BC=5,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.
(1)三角板绕点O旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长);若不能,请说明理由;
(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?用图①或②加以证明;(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③),当AP:AC=1:4时,PE和PF 有怎样的数量关系?证明你发现的结论.
【答案】(1)△OFC是能成为等腰直角三角形,(2)OE=OF.(3)PE:PF=1:3.
【解析】
【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF 的长度,即可推出BF的长度;
【小题2】连接OB,由已知条件推出△OEB≌△OFC,即可推出OE=OF;
【小题3】过点P做PM⊥AB,PN⊥BC,结合图形推出△PNF∽△PME,△APM∽△PNC,继而推出PM:PN=PE:PF,PM:PN=AP:PC,根据已知条件即可推出PA:AC=PE:PF=1:4.
4.如图1,在锐角△ABC中,∠ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.
(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由;
(2)如图2,将△ACD沿线段AD对折,点C落在BD上的点M,AM与BE相交于点N,当DE∥AM时,判断NE与AC的数量关系并说明理由.
【答案】(1)BF=AC,理由见解析;(2)NE=1
2
AC,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)如图1,证明△ADC≌△BDF(AAS),可得BF=AC;
(2)如图2,由折叠得:MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得:AE=EC,由线段垂直平分线的性质得:AB=BC,则∠ABE=∠CBE,结合(1)得:△BDF≌△ADM,则
∠DBF=∠MAD,最后证明∠ANE=∠NAE=45°,得AE=EN,所以EN=1
2 AC.
试题解析:
(1)BF=AC,理由是:
如图1,∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠AEF=90°,
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠DAC=∠EBC,
在△ADC和△BDF中,
∵
DAC DBF
ADC BDF AD BD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△ADC≌△BDF(AAS),∴BF=AC;
(2)NE=1
2
AC,理由是:
如图2,由折叠得:MD=DC,
∵DE∥AM,
∴AE=EC,
∵BE⊥AC,
∴AB=BC,
∴∠ABE=∠CBE,
由(1)得:△ADC≌△BDF,
∵△ADC≌△ADM,
∴△BDF≌△ADM,
∴∠DBF=∠MAD,
∵∠DBA=∠BAD=45°,
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD,即∠ABE=∠BAN,
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE,∠NAE=2∠NAD=2∠CBE,
∴∠ANE=∠NAE=45°,
∴EN=1
2 AC.
5.正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点O,点E是AB边上的一个动点(点E不与点A、B重合),CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.
(1)如图1,当AD=2OF时,求出x的值;
(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90°,使点C落在点P处,连接AP,设△APE 的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出S的最大值.
【答案】(1)x=﹣1;
(2)S=﹣(x﹣)2+(0<x<1),
当x=时,S的值最大,最大值为,.
【解析】
试题分析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到
CM=ME,根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,
求得OF=OM=解方程,即可得到结果;
(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到∠ECB=∠PEG,根据
全等三角形的性质得到EB=PG=x,由三角形的面积公式得到S=(1﹣x)?x,根据二次函数的性质即可得到结论.
试题解析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,
∵OA=OC,
∴CM=ME,
∴AE=2OM=2OF,
∴OM=OF,
∴,
∴OF=OM=,
∵AB=1,
∴OB=,
∴,
∴x=﹣1;
(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,
∵∠CEP=∠EBC=90°,
∴∠ECB=∠PEG,
∵PE=EC,∠EGP=∠CBE=90°,
在△EPG与△CEB中,
,
∴△EPG≌△CEB,
∴EB=PG=x,
∴AE=1﹣x,
∴S=(1﹣x)?x=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,(0<x<1),∵﹣<0,
∴当x=时,S的值最大,最大值为,.
考点:四边形综合题
6.如图1,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D是△ABC内部一点,∠ADC=135°,将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连接DE.
(1)①依题意补全图形;
②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系,并直接写出答案.
(2)在(1)的条件下,连接BE,过点C作CM⊥DE,请判断线段CM,AE和BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图2,在正方形ABCD中,AB=,如果PD=1,∠BPD=90°,请直接写出点A到BP 的距离.
【答案】(1)①作图见解析;②∠ADC+∠CDE=180°;(2)AE=BE+2CM,理由解析;
(3).
【解析】
试题分析:(1)①作CE⊥CD,并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到的,再连接DE即可;②根据∠ADC和∠CDE是邻补角,所以∠ADC+∠CDE=180°.
(2)由(1)的条件可得A、D、E三点在同一条直线上,再通过证明△ACD≌△BCE,易得AE=BE+2CM.
(3)运用勾股定理,可得出点A到BP的距离.
试题解析:解:(1)①依题意补全图形(如图);
②∠ADC+∠CDE=180°.
(2)线段CM,AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM,理由如下:
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,
∴CD=CE,∠DCE=90°.
∴∠CDE=∠CED=45°.
又∵∠ADC=135°,
∴∠ADC+∠CDE=180°,
∴A、D、E三点在同一条直线上.
∴AE=AD+DE.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
即∠ACD=∠BCE.
又∵AC=BC,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE.
∵CD=CE,∠DCE=90°,CM⊥DE.
∴DE=2CM.
∴AE=BE+2CM.
(3)点A到BP的距离为.
考点:作图—旋转变换.
7.如图1,是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起.
(1)操作:固定△ABC,将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE,连接AD、BE,如图2.探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?并请说明理由;
(2)操作:固定△ABC,若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD、BE,CE 的延长线交AB于点F,在线段CF上沿着CF方向平移,(点F与点P重合即停止平移)平移后的△CDE设为△PQR,如图3.
探究:在图3中,除三角形ABC和CDE外,还有哪个三角形是等腰三角形?写出你的结论(不必说明理由);
(3)探究:如图3,在(2)的条件下,设CQ=x,用x代数式表示出GH的长.
【答案】(1)BE=CD.理由见解析;(2)△CHQ是等腰三角形;(3)2-x.
【解析】
试题分析:(1)根据等边三角形的性质可得AB=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,然后求出∠ACD=∠BCE,再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)求出∠ACF=30°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
∠CHQ=30°,从而得到∠ACF=∠CHQ,判断出△CHQ是等腰三角形;
(3)求出∠CGP=90°,然后利用∠ACF的余弦表示出CG,再根据等腰三角形的性质表示出CH,然后根据GH=CG-CH整理即可得解.
试题解析:(1)BE=CD.
理由如下:∵△ABC与△CDE是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°.
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE,
即∠BCE=∠ACD.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD;
(2)∵旋转角为30°,
∴∠BCF=30°,
∴∠ACF=60°-30°=30°,
∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°,
∴∠ACF=∠CHQ,
∴△CHQ是等腰三角形;
(3)∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°,
∴CG=CP?cos30°=(x+4),
∵△CHQ是等腰三角形,
∴CH=2?CQcos30°=2x?=x,
∴GH=CG-CH=(x+4)-x=2-x.
考点:几何变换综合题.
8.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段BE与BF有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由.
【答案】(1)BE=DF;(2)四边形BC1DA是菱形.
【解析】
【分析】
(1)由AB=BC得到∠A=∠C,再根据旋转的性质得AB=BC=BC1,∠A=∠C=∠C1,
∠ABE=∠C1BF,则可证明△ABE≌△C1BF,于是得到BE=BF
(2)根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°,利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°,
∠ABA1=∠CBC1=30°,则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB,AC∥BC1,于是可判断四边形BC1DA是平行四边形,然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形.
【详解】
(1)解:BE=DF.理由如下:
∵AB=BC,
∴∠A=∠C,
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α<90°)得△A1BC1,
∴AB=BC=BC1,∠A=∠C=∠C1,∠ABE=∠C1BF,
在△ABE和△C1BF中
,
∴△ABE≌△C1BF,
∴BE=BF
(2)解:四边形BC1DA是菱形.理由如下:
∵AB=BC=2,∠ABC=120°,
∴∠A=∠C=30°,
∴∠A1=∠C1=30°,
∵∠ABA1=∠CBC1=30°,
∴∠ABA1=∠A1,∠CBC1=∠C,
∴A1C1∥AB,AC∥BC1,
∴四边形BC1DA是平行四边形.
又∵AB=BC1,
∴四边形BC1DA是菱形
【点睛】
本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了菱形的判定方法.