临沂大学理学院毕业论文（设计）
反证法在分析学中的应用
专业数学与应用数学
系（院）理学院
摘要
“反证法”是数学证明中的一种重要方法，运用起来简明间接，是一种重要的数学思想方法.本文主要介绍了“反证法”的逻辑依据和步骤.列举了一些在分析学中比较适合用反证法解决的问题.同时指出了如何正确的运用反证法.
关键字：数学分析反证法应用
ABSTRACT
"Reductio ad absurdum" is an important method of mathematical proof, use condensed indirect, is an important mathematical thinking. This paper describes the rationale of the "reductio ad absurdum" and steps. Examples reductio ad absurdum more suitable for use in the analysis of learning to solve problems.Also pointed out how to properly use reductio ad absurdum
Key words: mathematical analysis, reductio ad absurdum, the application
目录
1，引言 (1)
2．，反证法的原理和步骤 (1)
3，反证法的应用 (1)
3.1应用类型一 (2)
3.2应用类型二 (3)
3.3应用类型三 (5)
3.4应用类型四 (8)
3.5应用类型五 (9)
4.结束语................................................... 错误！未定义书签。参考文献 (12)
致谢 (13)
1 引言
反证法是分析学中经常要用到的解题方法之一.无论是在定理证明中还是在解题中，经常都要用到反证法.并且相对对一些比较抽象或者是用直接证法比较困难的命题而言，反证法具有一定的优势，效果非常明显.此外，反证法作为一种间接证明的方法在分析学中应用非常广泛.首先我们来了解一下反证法.
2，反证法的原理和步骤
反证法就是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，
即肯定题设二否定结论，通过推理导出矛盾，进而证明命题.
反证法证明命题的具体步骤：（1）反设，即作出与求证结论相反的假设；（2）由反设与题设条件出发，推出与公理，定义，已知定理或题设相矛盾的结果.（3）存真，即由所得矛盾证明了反设不成立，从而肯定了原结论正确.
3，反证法的应用
反证法运用巧妙，适用范围广泛。一般说来，能用直接证明的命题，其证明
过程都可以改写成反证法的形式.但通常我们只对那些用直接证法难以下手的问题转而使用反证法.而如何判断命题“若A 则B “有没有直接证明的证明依据，则是数学分析中是否建立了关于B 或不B 的有关理论而定.若建立了关于B 的有关理论，则宜用直接证法证明，若没有建立关于B 的有关理论，而建立了关于不B 的有关理论，则用反证法.
经过观察，以下几种命题类型用反证法证明比较合适.
3.1当命题的结论中带有“函数F(x) ≡某个特定的常数”时，适合用反证法证明.
例 1 设F 为闭区间[]b a ,上的连续函数，且F(a)F(b)＜0,则()b a ,∈?ξ,使得F （ξ）=0.
证法1 不妨设F （a ）＜0,F(b) ＞0. 假设F(x)()b a x ,,0∈?≠.现将[]b a ,两等分，若F(2b a +)＞0,则取2
1b
a b +=，1a =a;若F(
2b a +)＜0，则取2
1b
a a +=，1
b =b. 此时，F （1a ）＜0,F （1b ）＞0.再将[]11,b a 两等分，若F(
211b a +)＞0，则取2a =1a ，2b =211b a +；若F （2
11b
a +）＜0,则取
2
1
12b a a +=
，2b =1b ，此时F （2a ）＜0,F （2b ）＞0,如此下去，得一递降闭区间套：
[]b a ,?[]11,b a ?[]22,b a ?…?[]n n b a ,?…，
n n a b -=
n
a
b 2-→0（n →+∞），F （n a ）＜0,F （n b ）＞0.根据实数连续性命题（三）（闭区间套原理）知，[] ∞
=∈?1
0,n n n b a x ?[]b a ,，显然，
lim
+∞
→n n a =0x =lim +∞
→n n b .
由F 连续知，0≥lim +∞
→n F （n a ）=F （0x ）=lim +∞
→n F （n b ）≥0.所以有F （0x ）
=0，又F （a ）＜0,F(b) ＞0，故0x ≠a,,b, ),(0b a x ∈,这与假设相矛盾.因此，必有()b a ,∈ξ，使得F （ξ）=0.
证法2 假设F(x)()b a x ,,0∈?≠,由F 连续知，x δ?＞0，s.t.F 在
()[]b a x x x x ,, δδ+-上严格同号，则开区间族
Q=()[]{}b a x x x x x ,,∈+-δδ
为[]b a ,上的一个开区间覆盖，根据实数连续性命题（四）（[]b a ,的紧致性）知存在有根的子覆盖Q 1=(){}
k i x x i i x i x i ,...,2,1,=+-δδ。不失一般性，设
()1111,x x x x a δδ+-∈，如果[]()
111,,1δδ+-∈x x b a x ，那么F
[]
b a ,与F （a ）严格同号，
从而F(a)F(b) ＞0，这与题设F(a)F(b)＜0相矛盾，因此，()
1111,x x x x b δδ+-?，从而()b a x i x ,1∈+δ，不妨设()
2222,x x x i x x x i δδδ+-∈+.由于
()()φδδδδ≠+-+-2212211
,,x x x x x x x
，所以F 在()
1111,x x x x δδ+-与()
2222
,x x x x
δδ+-上严格同号，依次得到一串开区间
(){}
k l l i x x i i
x i x i
≤=+-其中,,...,2,1,δδ
，F 在这些开区间上依次是同号的，并且
()
l l x l x l x x b δδ+-∈,1，所以F （a ）与F （b ）严格同号，这与F （a ）与F （b ）严格异号相矛盾.
3.2当命题的结论中带有“极限零或某个特定的常数”时，在已知极限存在或者易证出极限存在的前提下，宜于用反证法证明；反之，则比较适合用直接法来证明.
例 2 设()x a d x F ?+∞
收敛，F 在[)+∞,a 中一致收敛，则()x f x lim
+∞
→=0.
证 假设()x f x lim
+∞
→≠0，则()010
,0..,0εδ
≥>??>?x f t s 有.又因为F ()x f 在
[)+∞,a 上一致连续，故δδ<''-'>?x x 当,0时，有
()().2
ε<
''-'x f x f
于是，当[]δ+∈11,x x x 时，有
()x f =()()()[]()()()x f x f x f x f x f x f --≥--11112
0εε-
>=
2
ε 并且F （x ）与F(x 1)同号，（否则，()()()()()2
1011εε<-≥>-x f x f x f x f x f 与矛盾）.如果()(),0,01>>x f x f 则 从而
()2
ε>x f .
故，
()δεεδ
δ
2
20
11
11
=
≥
?
?
++x x x x x d x f
这就证明了，对于
..,,0,02
110
t s x x ?>>+?>??>δδε
()δεδ
2
11
≥
?
+x x x d x f .
根据无穷积分的Cauchy 准则，()x a
d x F ?+∞
发散，这与题设()x a
d x F ?+∞
收敛矛盾.
3.3 当命题的结论中带有“不存在”或者类似的带有否定意味的词
时，反证法相对直接证证法比较好证.
例 3 证明Dirichlet 函数 D （x ）={
Q x Q
R x ∈∈,1/,0
在任何点处无极限.
证 反设在点a x D x x R x =→∈)(lim
,0，则0与1中至少有一个不为a.不妨设
1≠a ，则存在a 的开领域()()a U a U ?1,.于是，δδ?-???00,0x x 当时，
D(x)∈U(a).当然D （x ）1≠.但因Q 在R 中是稠密的，必有
,0..0δ<-'<∈'x x t s Q x ，所以，
1=D （x '）∈U(a),
这与1?U （a ）相矛盾.
例 4 设F 在区间[]b a ,上可导，则导函数f '无第一类间断点.
证法1 假设0x 为()x f '的第一类间断点，则()-'0x f 与()
+
'0x f 存在极限，因为F
在点0x 处可导，故F 在点0x 处连续.根据导数极限定理，有
()
+'0x f =()0x f +'=()0x f '=()0x f -'=()
-
'0x f .
所以，f '在点0x 处连续，这与0x 为()x f '的间断点相矛盾.
证法2 假设0x 为()x f '的第一类间断点，则()-'0x f 与()
+'0x f 存在极限，且()
()00x f x f '≠'-（或()()00x f x f '≠'=）.不失一般性，设()
()00x f x f '<'-.对=0ε()()>'-'-00x f x f 0，00,0x x x <<->?δδ当时，
()()()()[]
-
-
'-'=
<'-'0
00
2
12
x f x f x f x f ε， ()()()()[]()()[]
-
-'+'='-'+'<'000010
2
121x f x f x f x f x f x f . 任取()001,x x x δ-∈，则()()()[]
-
'+'<'0012
1x f x f x f .在[]01,x x 中无ξ，
s.t.()()()[]
-
'+'='002
1x f x f f ξ，这与Darboux 定理（导函数介值定理）的结果
相矛盾.
例 5 不存在函数F ：R →R ，在所有无理点不连续，而在所有有理点连续.
证法1 假设存在函数F ：R →R 在所有无理点不连续，而在所有有理点连续. 令
()?
???
??
≥
∈=n x w x f R x E f n 1的振幅在. 显然，n E 为闭集且Q R E n /∈为内点。另一方面，设可数集Q= Q={},...
,.....2,1n r r r ,则独点集{}n r 也是无内点的闭集.于是， R=Q (){}???
? ?????? ??=∞=∞= 11/n n n n E r Q R .
根据Baire 定理1.3.6知，R 为内点，这与R 中任一点都为内点相矛盾.
证法2 假设存在函数F ：R →R 在所有无理点不连续，而在所有有理点连续. 设Q={},...
,.....2,1n r r r ,取{}1*1/r Q r ∈，因F 在*1r 处连续，故 []
1*11*111,..,0δδδ+-?>?r r r t s ，22
1
1<δ，且有
()()[]
1*11*1*1,,2
1
δδ+-∈<-r r x r f x f .
再取(
){}() *
12
1
1*11*1*2,,,r r r Q r r r -+-∈δδ.
由F 在*2r 处连续知，
02>?δs.t.[]
()2
21*11*12*22*2*121212,,,,,<+-?+-?δδδδδr r r r r r r , 且有
()()[]
2*
22*22*2,,2
1δδ+-∈<
-r r x r f x f . 如此下去，可取
(){}()
*1*111*11*1*,...,,,....,/,-----+-∈n n n n n n n r r r r Q r r r δδ 再由F 在*n r 处连续知，0>?n δ，s.t.
[]
n n n n n n r r r r r r δδ+-?-***1*1,1,,....,,,...., (),212,,1*11*1n
n n n n n r r <+-?----δδδ 且有
()()[]
n n n n n n r r x r f x f δδ+-∈<
-*
**,,2
1. 根据闭区间套原理知，[]
∞
=+-∈?1
**01,n n n n n r r x δδ.易见，点0x 为无理点，且
()00=x w f ，即F 在无理点0x 处连续，这与假设矛盾.
例 6 设m,n ?0，证明3x +mx+n=0不存在实数根.
例 7 方程3x -3x+m=0（m 为常数）在[]1,0上不可能存两个不同的根. 这两个例子都是需要证明的命题中出现了否定形式不存在的情况.因为在分析学的一些内容里，例如积分中值定理、 零点定理和微分基本定理等大部分都是以至少存在一点的肯定形式出现的，所以要论证这类以否定形式出现的问题没有正面的依据来直接证明.而当作出反面假设后，则可将论证展开，因此使用反证法比较适合这类题型.
3.4，当证明的命题为“函数的有界性”时，适合用反证法.
例 8 函数F （x ）在闭区间[]b a ,上连续，则F 在[]b a ,上有界.
设S=[](){{}
b a x x a f x ,,∈上有界，在.由分析可知，S 为非空有上界数集，于是由确界原理，存在ξ=sup S.现用反证法证明ξ=b.
若ξ＜b ，由连续函数的局部有界性，00??δ，F （x ）在（00,δξδξ+-）内有界，即sup ,,00=∈??ξξ而这与使S x x 相矛盾，所以ξ=b.
再证函数F 在[]b a ,上有界.因为F 在点b 连续，于是0??δ，F 在（b-]b ,δ上有界；再由b=supS ，可知F 在[]δ-b a ,中有界，于是F 在[]b a ,上有界. 例 9 用区间套定理证明闭区间[]n m ,上连续函数的有界性定理. 例 10 证明有界闭区域D 上的二元函数Z=F ()y x ,必有界.
以上两个例子中，第一个限定要用区间套定理证明，第二个是第一个的推广，在此意义下，若直接论证，构造可使论证展开的区间套极为困难，而其否定陈述：函数无界，则至少在闭区间[]n m ,的二等分的子区间中的某一个上界，因此可用二等分区间法构造区间套，将论证展开，故都适合用反证法证明.
3.4 当命题的结论中出现“唯一”，“最多只有”“必有”和“至
少”等词的情况下，适合用反证法来证明.
例 11 极限唯一性的证明：设数列{}n a 有极限（实数，或+∞，或-∞），则极限是唯一的.
证法1 设n x a ∞→lim =a,及n x a ∞
→lim =b ，a ，b ∈R.
反设a ≠b,不失一般性,设a ＜b.令0ε=2
a
b -＞0.
由极限定义1.1.1知 ?∈1N N,当n ＞1N 时，a-0ε＜n a ＜a+0ε；
?∈2N N ，当n ＞2N 时，b-0ε＜n a ＜b+0ε.
所以，当n ＞N=max {}21,N N 时，
2a b +=b-2a b -=b-0ε＜a+0ε=a+2a b -=2
a
b +,
矛盾.即证得极限的唯一性.
证法2 设n x a ∞
→lim =a,及n x a ∞
→lim =b ，a ，b ∈R.
反设a ≠b.令0ε=b a -＞0，根据数列极限的定义1.1.1，
N N ∈?，当n ＞N 时,2
ε?
-a a n , 2
ε?
-b a n ,
所以，b a -b a a a n n -+-≤＜20ε+2
ε=0ε=b a -， 矛盾.
值得注意的是这种证法不能应用到极限为-∞∞+,的情况，因此还必须给出能推广到∞∞+-或的证法，方法一即是. 证法3 设n x a ∞
→lim =a,及n x a ∞
→lim =b ，a ，b ∈R.
反设a ≠b.不妨设a ＜b ，则存在a 的开领域a U 与b 的开领域b U ，s.t. a U ?b U =φ.由极限定义1.1.1知，N N ∈?1,当n ＞1N 时，a n U a ∈；N N ∈?2,当n ＞2N 时,
b n U a ∈,所以，n ＞max {}21,N N 时，φ≠?∈b a n U U a ，矛盾. 例 12 由实数连续性命题（三）?实数连续性命题（四）
实数连续性命题（三）：（闭区间套原理）设递降闭区间序列
[][][]......,,.......,,2211????n n b a b a b a
其长度()+∞→→-n a b n n 0，则[] ∞
=∈?101,n n n b a x ，即[]n n b a x ,0∈，
()表示存在惟一
1?∈?N n . 实数连续性命题（四）（有界闭区间的紧致性，Heine Boral 有限覆盖定理）[]b a ,的任何开覆盖Q （Q 中的元素均为开集，且对[]b a x ,∈?，必有开集U ∈Q ，使得x ∈U,或[] Q
u U b a ∈?,）必有有限子覆盖（有{}[]b a Q U U U n ,.....,,21覆盖?，即
[] n
k k U b a 1
,=?）.
证 反设区间[]b a ,不能被Q 中有限个开集所覆盖，将[]b a ,等分为两个闭区间
??????+2,b a a 与???
???+b b a ,2
，则此两个区间中必有一个不能被Q 中有限个开集所覆盖，记此区间为[]11,b a .再将[]11,b a 等分为二，二者中又必有一个不能被Q 中有限个开
集所覆盖，记此区间为[]22,b a ，如此下去，得一递降闭区间序列：
[][][]......,,.......,,2211????n n b a b a b a
其中每一个都不能被Q 中有限个开集所覆盖， 且长度
()+∞→→-=-n a
b a b n n n ,02
.
因此，连续性命题（三）（闭区间套原理），[] ∞
=∈?1
01,n n n b a x .由于Q 覆盖[]b a ,，故必存在000..,U x t s Q U ∈∈.但0U 为开集，显然，N n N ?N ∈?当,时，有
[]00,U b a x n n ?∈.
于是，区间[]n n b a ,被中的一个（当然是有限个）开集所覆盖。这与上面构造[]n n b a ,不被Q 中有限个开集所覆盖相矛盾.
例 13 设F 在区间I 上连续，且只有唯一的极值点0x ， （1）如果0x 为F 的极大值点，则0x 为F 的唯一的最大值点； （2）如果0x 为F 的极小值点，则0x 为F 的唯一的最小值点.
证（1）假设有I x x x ∈≠101,，使F （1x ）≥F （0x ），不妨设1x >0x . 由于F 在[]10,x x 上连续，则它必有最小值.因为0x 为F 的极大值，故0>?δ，使得 F （x ）≤F(0x ),[)δ+∈?00,x x x ,
则必有()δ+∈'00,x x x ，使F （x '） 4，结束语 要用好反证法, 就要正确掌握、灵活运用反设、归谬，这两个反证步骤.反设是反证法的第一步,能否正确否定结论, 对论证的正确性有着直接的影响. 参考文献 [1]李得虎. 数学方法论与解题研究[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2003 [2]孙本旺，汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法.长沙：湖南科学技术出版社，1985 [3]徐利治，冯克勤，方兆本，徐森林.大学数学解题法诠释.合肥：安徽教育出版社，1999 [4]汪林.数学分析中的问题和反例.昆明：云南科技出版社，1990 [5]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法.北京：高等教育出版社，1985. [6]胡传孝. 高等数学的问题、方法与结构[M] . 武汉大学出版社, 1997. [7]朱如恒. 数学教学中的逆向思维[J] . 工科数学, 1990, ( 6) . [8]张顺燕.数学的思想，方法和应用[M].北京：高等教育出版社，2003 [9]刘广云.数学分析选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1993. [10]杜永忠.反证法[M].成都：四川教育出版社，1989. [11]颜长安.反证法初探[J].数学通讯.2001（13）22—24 [12]赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001:85—92 [13]金圣才.数学分析与高等代数[M].北京：中国石化出版社，2006 [14]孙涛.数学分析经典习题解析[M]. 北京：高等教育出版社，2004 [15]Ahlfors,https://www.doczj.com/doc/d32916599.html,plex Analysis,2nd ed.McGraw—Hill,New York,1966. [16]Caratheodory,C,Theory of Functions of a Complex,Variable,2 vols.F.Steinhardt,translator.Chelsea,New York,1954. [17]Estermann,T,Complex Numbers and Functions.Athlone Press,London,1962 致谢 首先,衷心感谢我的导师张德菊老师,他在我的论文设计过程中的各个阶段不断鼓励、引导我探索学习新的知识,并对论文设计的写作提出了许多建设性的建议,使我能很好地完成,特此表示感谢. 其次,感谢所有的授课老师,正是老师们的辛勤教导,拓宽了我的的视野,丰富了我的知识,为今天的写作打下一个坚实的基础. 再次,要感谢院领导,在四年的大学生活中,学院给予了我们无微不至的关怀,让我时刻感受到理学院院这个大家庭的温暖.同时,给我们提供了学习所用硬件设施以及创造了一个很好的学习气氛,才使我们的论文如此顺利的完成. 最后,我要向朋友、同窗表示深深的谢意,无论是在写论文设计期间,还是其他时间,你们的理解与支持、鼓励和教导都深深的鞭策着我,使我更加上进. 2012年12月16日
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