第9章（之1） （总第44次）
教学内容:§微分方程基本概念
*1． 微分方程7
3
59)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）
解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．
*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ）
解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；
（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；
（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了
x C x C y 2sin 12cos 2
++=，实质上只有一个任意常数；
（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．
*3．在曲线族 x
x
e
c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．
解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x
x
e c e c y -+=21， x
x e
c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，
故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2
1
x x e e y --=，即x y sinh =．
*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题???
????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y
x y 的解．
证明 '=-+--y e x e x x x 33323
2
1
21
2sin cos ， ''=----y e x e x x x 333232
1
21
2sin cos ，
代入方程得 ''+'+=y y y 0， 此外
，
，1)0(0)0(='=y y 故y e x x =-23332
1
2sin 是初始值问题的解．
*5．验证y e e t Ce x
t x
x =+?
20
d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y y
e x x 2
的通解．
证明 '=+?+?
y e
e t e e Ce x t x
x x x 2
2
d =++y
e x x 2
， 即 2
x x e y y +=-'，说明函数确实
给定方程的解．
另一方面函数y e e t Ce x t x
x
=+?2
0d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．
**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）31+=Cx y ；
解 将等式31+=Cx y 改写为13
+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='2
3，
代入上式，即可得到所求之微分方程为133
2-='y y xy ． （2）x
C x C y 2
1+
=． 解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得
221x C C y -
='，3
2
2x C y =''．
从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为
02=-'+''y y x y x ．
**7．建立共焦抛物线族)(42
C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．
解 在方程)(42
C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．
**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．
解 任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dx
dy
． 所以过点),(y x 的法线斜率为
y '-1， 法线方程为y Y -=y '
-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '
-1
)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．
第9章（之2）（总第45次）
教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； § .2一阶线性方程
**1．求下列微分方程的通解：
（1）2
1)1(x y x y +-=
'；
解： 分离变量
21d 1d x x x y y +=-，两边积分??+=-21d 1d x x
x y y ， 得C x y ln )1ln(21
)1ln(2-+=
--，即211x
C y +-=．
（2）2
22y x e y
x y -=
'；
解：分离变量x xe y ye x y d d 222
=，两边积分就得到了通解
)d (21222x e xe e x x y ?
-=c e xe x x +-=)21
(2122．
（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．
解： 12d 4
2d +-=-x x
e y e y y ，
C x e y ln 2
1
)12ln(21)2ln(21++-=-， 即 ()()e x C y
-+=221．
**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．
解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，)1)(1(y x y --='，
x x y y d )1(1d -=-，并积分 x x y
y
d )1(1d -=-?? 得c x x y +-=--2
2
1)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=221
1．
解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．
对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=2
2
1．
代入原非齐次方程得x e C x x -='
-122
1，解得○2C e
C x x +=-2
2
1
，○2代入○1即可得原
方程的通解
x
x Ce
y -+=22
1
1．
*3．求解下列初值问题：
（1）2
1x y
y -='，6)21
(π
e y -=．
解：Θy '=
2
1x
y -，∴
21d d x
x y y -= (0≠y )， 2
1d d x
x y y -=??，
∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，
Θπ6
)2
1(e y -=，∴2
1
arcsin 6Ce e =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．
（2）2
2x e xy y -=+'，1)0(=y ；
解: Θ2
2x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2
)(x e x q -=，
=∴)(x y ?
-x
x e
d 2
??????+??-C dx e e x x x d 222x e -=??
????+??-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， Θ 1)0(=y ， 101=?+=∴c c ， 2
)1(x e x y -+=∴． （3）x
e
x y y cos cot =+'，1)2
(=π
y ；
解： Θ x
e
x y y cos cot =+'， ∴x x P cot )(=，x
e
x Q cos )(=．
∴ ??
???
??+?
=?
-x C y x
x x x x d e e e d cot cos d cot )d e e (e sin ln cos sin ln ?
+=-x C x x x
)d sin e (csc cos ?
+=x x C x x x C x
csc )e
(cos -=，
由1)2
(=π
y ， 可确定 2=C ，所以
x y x csc )e 2(cos -=．
（4）0d )12(d 2
=+-+x x xy y x ，01
==x y ．
解： 方程变形为 21
12x
x y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为
??
????
?-+?=?
-dx e
x x c e y dx x dx x 2
22)11( ??????-+=
?
dx x x x c x 222
)11(1
???
???-+=x x c x
22211x x
c 1212-+= 由 0)1(=y ， 得 21=c ， 所以特解为：x
x y 1
21212-+=
．
**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）．
解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为
y
x y y dy dx 1ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中y
y Q y y y P 1
)( ,ln 1)(==
代入一阶线性方程求解公式，得通解 1e 1)ln(ln )ln(ln ln 1
ln 1??????+=???
??????+?=??--
dy e y c dy e y c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 2
1ln ln ln 1+=??????+=?．
**5．求满足关系式
)(d )(22
x y x u u uy x +=?
的可导函数)(x y ．
解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x y
x
()d d =+
2，即
d d y
x
xy x -=-2，分离变量得
d d y y x x -=2，积分得y C
e x =+2
2
2，
在原方程两边以2=
x 代入，可得初试条件22
-==x y
．据此可得14--=e C ，所
以原方程的解为 2412
2
+-=-x e y ．
**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有kv mg t
v
m -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得
--=+1k mg kv t
m
C ln()． 由初始条件0)0(=v ， 得)ln(1
mg k C -=，即得 v mg k e k
m t =-?? ??
?-1．
**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ． 解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '
-
1
，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．
只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．
据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+2
2
)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为 y k x 22
11+-=()．
***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程． 解：在给定曲线2
cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20=
'=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程x
y y 2='． 设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程y
x
y 2-
='． 这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2
2
2
1，即椭圆族c x y =+
2
2
2
1． ***9．作适当变换，求微分方程 1
22
4+-
='-x e y y
的通解． 解 原方程可化为4122=++
'y y
e x y e ，在换元y e z =下方程可化为41
22=++'x z
z ，这是一个一阶线性方程，其通解为
??????+=?+?
+-?x e C e
z x x
x x
d 412d 21
2d 2}44{1
212x x C x +++=．
***10．作适当变换，求微分方程
d d tan y x y x y y x =+?? ??
?21
22的通解． 解：令ux y =2
，代入方程整理得 x
x
u u d tan d =，积分得 Cx u =sin ，以 x y u 2= 代入
上式，即得原方程的通解： Cx x
y =2sin ．
第9章 （之3） （总第46次）
教学内容：§9.2 .3齐次型方程；伯努利方程．
**1．求下列微分方程的通解：
(1) )ln ln 1(d d x y x
y
x y -+=； 解： Θ )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴
dx dy =x y (1+x
y
ln )，这是一个一阶齐次型方程．
令 x
y
u =
，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．
分离变量x dx u u du =ln ，并积分??=x
dx
u u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =．
以 x
y u =
代入，得所求的通解为cx
xe y =． （2）()arctan xy y y
x
x '-=．
解：方程可化为x
y x
y y arctan
1+=
'，这是一个一阶齐次型方程．
令 x y u =
，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u
x u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．
分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．
以 x
y u =代入上式得原方程的通解：x y Ce y x
y
x 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：
（1）0d )2(d 2
2
=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解． 解: Θ 0d )2(d 2
2
=+-y y x x xy ，
dy dx =
x y y x +2， 令 y
x
u = ， 则 u u dy du y
u 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴?+
u
u du 1=?y dy
，
c y u ln ln )1ln(2
1
2+=+∴， cy u =+∴12， 即 2221y c u =+ ，
代回即得22y x +1=22y c ， 1)2(=y Θ， ∴52
=c ， 因此 22y x +=54y ．
（2）??
?==-++=.
0,0d )(d )(0x y y y x x y x
解：原方程可表为
1
1d d -+
=-+=x y x y
x y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='， 代入方程，有 1
1-+='+u u
u x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ， 分离变量
x x u u
u u d 1d 2112
=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+- ?通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．
所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．
***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程
)(
2
221
11c y b x a c y b x a f y ++++='
在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程
)(d d 2211s
b t a s b t a f t s
++=． 并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．
证明：令??
?+=+++=++s b t a c y b x a s
b t a
c y b x a 22222
11111 1221b a b a ≠Θ，
∴可解得：???????---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：???
?
??
?
--=--=1
221122112212
112b a b a c b c b h b a b a c a c a k
解：0)32()12(=++++dy y x dx y x Θ，令???-=+=32x t y s ?
??==?x t y
s d d d d
[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，
t
s t s
dt ds dt
ds t s t s 32210)32(21++
-
=?=+++
?， 令dt du
t
u dt ds t s u +=?=
， 2
3)
1)(13(3221+++-
=?++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ， ??-=??
????+++∴-=+++?
t dt
du u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(2
1
+-=++即，
c t
s
t s t c
t u u =++?
=?++∴
)13)(1()13)(1(，
c x xy x y c x y x y x 243)3
6
31)(321()3(22=+++?=-++-++
-∴
．
**4．求下列微分方程的通解
（1）0ln 2
=+-'x y y y x ；
解： 0ln '2=+-x y y xy Θ x
x
y x y y ln 1'12
-
=-
∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11
=+?=-， ,
ln )Q( ,1)(x
x x x x P ==∴
ln 1 d ln )(d 1
d 1???????+=??
????
?+?=∴??-
xdx x x C x x e x x C e x t x x x x
1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．
（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．
解： Θ 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=212y x
， y y '-21+21
1y x =
x 2，
2
1y u =，
x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，x
x Q 1)(．
∴??
????
?+?=?-
x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121
-=x ??
?
???+?x x x C d 121
[]x C x +=-21， ∴ []x C x
y +=-2
12
1
， ∴
x
C x y +
=．
（3）'=-y y xy x 3
22
2()
解一：令u y =2
，原方程化为： d d u x u x u x =
?? ????? ?
?
?-2
1，解此方程得 u Ce u x =， 以u y =2
代入上式，原方程通解为 y Ce y x
22=．
解二：原方程写成
d d x y y x y
x -=-22
32， 令x z -=1，则方程化为：
32
2d d y
z y y z =+， 则通解 z e
C y e
y y
y y y
=+????????-?
??2
32
2d d d ]ln 2[12y C y
+= ， 故原方程通解：
11
22x y
C y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：y
x
y y 2-
='，1)0(=y ． 解：x y yy', xy y y 22'2
1-=-∴-=-Θ，
令 x t dx
dt
y t 42 2
-=-?
=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴，
[]
1
20
10211)0(121
2 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=?++?=∴=++=∴++=++=-=??
?????-+?
=∴----??x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e x
xe C e x e x C e x t x
x x x x x x x x
，Θ
****6．作适当的变换求方程 12222212
+?'=++x y y x y e x sin sin 的通解．
解：原方程化为：
122
222
12
+=++x y
x
x y e x d sin d sin ，
令z y =sin 2
，得
d d z x x x z
e x x -+=++2112
2122
，
故 ??
???
??
???
++=?
?
+-+?
+x e
x
e
C e
z x
x x x x x x d 1d 122
12d 122
2
2
)1ln(212122
2
x x e
Ce
x x +++=++
原方程的通解为 sin ln()2212
122
2
1y Ce e x x x x =+++++．
***7．已知)(2d )(1)(2
20
2x y x y y x
+='+?
ξξξ，求y x ()．
解：两边关于x 求导得
212
yy y '-=-， 解得 y Ce x 21=+， 由y
x ==0
0，求得
C =-1，
故原方程的解为：y e x
2
1=-．
***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程． 解：
x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212
yy x
y x '-
=- 令y z 2
=，解得
z y x C x ==-2()
由y ()11=， 得 C =2，
曲线方程为： x y x 22
2+=．
***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽
解：设在时刻t 时， 容器中液面高度)(t h ，则经过t ?后液面高度为)(t t h ?+， 于是有
t t gh A t t h t h r ?=?+-)(2))()((2απ，
即 2
2)()(r
gh
A t t h t t h πα=?-?+-
， 令0→?t ， 得
??
???==-200)0(2d d 2
h gh r A
t h πα
解得 200222
+=
t g r
A
h πα， 代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4
π
=A ， 62.0=α， 得10304=t （秒）．
第9章 （之4）（总第47次）
教学内容：§可降阶的高阶微分方程
**1．解下列问题：
（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是 （ ） （A ）y x =-()12
（B ）y x =+-
()1221
42
（C ）
y x =
-+1211
2
2() （D ）y x =--()125
4
2
解：（C ）
（2）．微分方程''-'=y yy 203
满足条件'=-=y y (),()0101的解是 （ ）
（A ）y x 331
3
=+
（B ）x y 3
3
1=- （C ）y x 3313
=-+
（D ）x y 3
3
1=-+ 解：（C ）
**2．求下列微分方程的通解． （1）0='+''y y x ；
解： Θ 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程， 令 y p '= ? y ''x p d d =
∴0=+'p p x ， ?p p d =x
x
d -，
?
??-=x x
p p d d ? 1ln ln ln C x p +-= ?x
C p 1=， ∴
=x
y d d x C 1
， x x C y d d 1=， ??=x x C y d d 1 ，21ln C x C y +=． （2）()1212
+''+'=x y xy ； 解：''+
+'=+y x x y x 211122， '
=++y x x C 1
121()， y x C x C =+++1
2
1212ln()arctan
． （3）()02
='+''y y y ；
解：∵()02
='+''y y y ， 令 y p '=， 则 y
p
p
y d d =''，代入方程有 0d d 2=+?
?p y
p
p y ， 0)d d (=+?
?p y
p
y p ， 因为求通解，所以 p 满足 0d d =+?
p y
p
y ．
由
??-=?
-=y y
p p y y p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=?+-=?， ?
?'=?
'=?
'
=?x C y y x C y y y
C x y d d d d d d 111 212
C x C y +=?． ∴ 通解：212
C x C y +=． （4）()122
2
+''='y y yy
解：令：'=''='y p y y pp (),，得
()1222+?'=y p p p y ， 即
d d p p y
y
y =+212， 得 p C y =+121()，
所以 d d y
y C x 12
1+=，通解为：arctan y C x C =+12．
第9章 （之5）（总第48次）
教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构
**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．
证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解． 所以成立下式：
)
2()()()()1()()()(222
111
x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''
将 (1)、(2) 两式相减，得
)3(0))(())(()(212121
=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y
(3 式可写为
0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，
所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．
***2．已知2
3211,1,1x y x y y +=+==是方程222
22x
y x y x y =+'-
''的三个特解，问能否求出该方程得通解若能则求出通解来．
解：按（1）证明可知 21312,
x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程
02
22=+'-
''y x
y x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解． 所以原方程的通解可以表示为：12
21++=x C x C y ．
*3．验证：2
2,t t e e -是微分方程''-'-=x t
x t x 1
402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．
证明：因为
()()
222241t t t e t e t e -'-"0421********=-?-+=t t t t e t te t
e t e ，
()()
222
2"
41t t t e t e t e ----'-=-+-?--=--241240222222e t e t
te t e t t t t ()， 故2
2
,t t e e -是方程的解，且
≠=-2
2
2
2t t t e e
e 常数．
于是2
2
,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为
2
221t t e C e C x -+=，
其中21,C C 为任意常数．
*4．已知函数 x y e y x
==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足
初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．
解：方程的通解为 x c e c y x
21+=，将初始条件代入，有：
，
，
0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x
解得21,c c 为： 1,121-==c c ，
所以特解为：
x e y x -=．
**5．设x t 1()是非齐次线性方程
''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()
()1211
的解．x t 2()是方程
''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()
()1222
的解．试证明 x x t x t =+12()()
是方程
''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()
()12123
的解．
解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以
)1()()()()()()(112111
'≡+'+''t f t x t a t x t a t x
''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()
()()12'+'得：
()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +=
'++'++"+
即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．
第9章 （之6）（总第49次）
教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法
**1．解下列问题：
（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________． 解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．
（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________． 解：)4sin 4cos (213x c x c e y x
+=-．
（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________． 解：x x
C C y 5231e e +=．
（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________． 解：)(215
15C x C e y x +=-
．
（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx
+=，则=p ___，
=k _____．
解：11，3-．
**2．求解下列初值问题：
（1）0)1(,
)1(,
01684='==+'-''y e y y y y ；
解：∵0)4(1682
2
=-=+-λλλ， ∴421=，λ， 通解为：x
e x c c y 421)(+=．
将初始条件代入，有 4
421)()1(e e c c y =+=，
04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x
得到：45
21-==c c ， 所以特解为：x e x y 4)45(-=．
（2）3)2
(,1)2(,
0294='==+'+''π
πy y y y y ； 解：02942
=++λλ， i i
522
1042116164±-=±-=-±-=
λ，
通解为：)5sin 5cos (212x c x c e
y x
+=-．
代入初始条件有： ππ
π
e c c e
y =?=+=-221)0()2
(，
)5cos 55sin 5()5sin 5cos (2)2
(212212x c x c e x c x c e
y x x
+-++-='--π
，
得：π
e c -=1． 特解为：)5sin 5cos (2x x e y x
+-=-π．
（3）10)0(,6)0(,
034='==+'+''y y y y y ；
解： 0342
=++λλ， 0)3)(1(=++λλ， 所以通解为 x x
e c e c y 321--+=．
代入初始条件有：
6)0(21=+=c c y ，
1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，
特解为：x x
e e y 3814---=．
**3．求解初值问题
'++==??
??
?≥?y y y x y x x
21
0100d ()
解：将原方程对x 求导得 ''+'+=y y y 20
1()
且有
'=-=-y y ()()01201
微分方程（1）的通解为：
y e C x C x =+-()12，
代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ， 故所求问题的解为：x
e y -=．
***4．设函数)(x ?二阶连续可微，且满足方程?
-+=x
u u u x x 0
d )()(1)(??，求函数?()x ．
解：原方程关于x 求导得
?
?
=-+='x
x
u u x x x x u u x 0
d )()()(d )()(?????,0)0(='?，
再求导得： )()(x x ??=''， 且由原方程还有：1)0(=?，
微分方程的通解为： x
x e
C e C x -+=21)(?，
代入条件0)0(,1)0(='=??，得2
121==C C ， 故所求函数为： x e e x x x ch )(2
1)(=+=-?．
***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．
解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：
gx dt x d ρρ=22100， 即 0100
22=-x g
dt x d ． 又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：
??
???='==-
0)0(20)0(0100
22x x x g
dt x d ， 解得方程的通解为：t
g t g
e
c e c x 10
2101-
+=．
又因为有初始条件： ()()???==??
??==1010
0020021'c c x x
所以 t
g t
g
e
e
x 10
10
1010-
+=．
又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：t
g t
g e
e 10
101010100-
+=，
即： 510
=t g
ch
， 510arch g
t =
．
***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛
顿第二定律：
22222d d ()x
t
g g x gx =-+=- ，
误差与有效数字练习题答案 1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（1.2832±0.0003）cm ，d 乙 =（1.283±0.0003）cm ，d 丙 =（1.28±0.0003）cm ，d 丁 =（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？ 答：甲对。其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。 2.一学生用精密天平称一物体的质量m ，数据如下表所示 ： Δ仪 =0.0002g 请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。 3.61232i m m g n ∑ = = A 类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=?= B 类分量： 0.6830.6830.0002 0.00 u g =?= ?=仪 合成不确定度：0.000182U g ====0.00018g 取0.00018g ，测量结果为： (3.612320.00018) m U g ±=± ( P=0.683 ) 相对误差: 0.00018 0.005%3.61232 U E m = == 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为 试求其算术平均值，A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。 cm n L L i 965.98=∑= ， A 类分量: (0.6831S t n =-?0.006=0.0064cm B 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =?=?=仪 合成不确定度: 0.035U cm ====0.04cm 相对误差: %04.096 .9804.0=== L U E ( P=0.683 )
近代物理 1. 是否可以测摆动一次的时间作周期值？为什么？ 答：不可以。因为一次测量随机误差较大，多次测量可减少随机误差。 2. 将一半径小于下圆盘半径的圆盘，放在下圆盘上，并使中心一致，讨论此时三线摆的周期和空载时的周期相比是增大、减小还是不一定？说明理由。 答：当两个圆盘的质量为均匀分布时，与空载时比较，摆动周期将会减小。因为此时若把两盘看成为一个半径等于原下盘的圆盘时，其转动惯量I0小于质量与此相等的同直径的圆盘，根据公式(3-1-5)，摆动周期T0将会减小。 3. 三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测量结果影响大吗？为什么？ 答：周期减小，对测量结果影响不大，因为本实验测量的时间比较短。 实验2 金属丝弹性模量的测量 1. 光杠杆有什么优点，怎样提高光杠杆测量的灵敏度? 答：优点是：可以测量微小长度变化量。提高放大倍数即适当地增大标尺距离D或适当地减小光杠杆前后脚的垂直距离b，可以提高灵敏度，因为光杠杆的放大倍数为2D/b。 2. 何谓视差，怎样判断与消除视差? 答：眼睛对着目镜上、下移动，若望远镜十字叉丝的水平线与标尺的刻度有相对位移，这种现象叫视差，细调调焦手轮可消除视差。 3. 为什么要用逐差法处理实验数据? 答：逐差法是实验数据处理的一种基本方法，实质就是充分利用实验所得的数据，减少随机误差，具有对数据取平均的效果。因为对有些实验数据，若简单的取各次测量的平均值，中间各测量值将全部消掉，只剩始末两个读数，实际等于单次测量。为了保持多次测量的优越性，一般对这种自变量等间隔变化的情况，常把数据分成两组，两组逐次求差再算这个差的平均值。 实验三，随即误差的统计规律 1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别? 答：对某一物理量在相同条件下做n次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数M，以测量数据为横坐标，以频数M为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。 如果测量次数愈多，区间愈分愈小，则统计直方图将逐渐接近一条光滑的曲线，当n趋向于无穷大时的分布称为正态分布，分布曲线为正态分布曲线。 2. 如果所测得的一组数据，其离散程度比表中数据大，也就是即S(x)比较大，则所得到的周期平均值是否也会差异很大? 答：（不会有很大差距，根据随机误差的统计规律的特点规律，我们知道当测量次数比较大时，对测量数据取和求平均，正负误差几乎相互抵消，各误差的代数和趋于零。 实验四电热法测量热功当量 1. 该实验所必须的实验条件与采用的实验基本方法各是什么?系统误差的来源可能有哪些? 答：实验条件是系统与外界没有较大的热交换，并且系统（即水）应尽可能处于准静态变化过程。实验方法是电热法。系统误差的最主要来源是系统的热量散失，而终温修正往往不能完全弥补热量散失对测量的影响。其他来源可能有①水的温度不均匀，用局部温度代替整体
华东理工大学继续教育学院成人教育 《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案） 一、单项选择题 1、设xy e y z 2 =，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e - （C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法） 因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 22 2 2 =-++确定了函数z=z （x ，y ），则 =??x z 答（ B ） （A ） y z x -64 （B ） z y x 64- （C ） y z y +64 （D ）y z y -64 解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z x z y x x ??+-=??，解得 46z x x y z ?=?- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系） 由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ?=. 平面过原点 0D ?=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）. 4、 设u =(0,0) u x ?=? 答（ A ） （A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1
1实验名称 电桥法测中、低值电阻 一.目的和要求 1.掌握用平衡电桥法测量电阻的原理和方法; 2.学会自搭电桥，且用交换法测量电阻来减小和修正系统误差; 3.学会使用QJ-23型惠斯登电桥测量中值电阻的方法; 4.学会使用QJ-42型凯尔文双臂电桥测量低值电阻的方法; 二.实验原理 直流平衡电桥的基本电路如下图所示。 图中B A R R ,称为比率臂，Rs 为可调的标准电阻，称为比较臂，Rx 为待测电阻。在电路的对角线（称为桥路）接点BC 之间接入直流检流计，作为平衡指示器，用以比较这两点的电位。调节Rs 的大小，当检流计指零时，B ，C 两点电位相等AB AC U U =；BD CD U U = ，即B B A A R I R I =；S S X X R I R I =。因为检流计中无电流，所以X A I I =，S B I I =，得到电桥平衡条件 Rs R R Rx B A =。 三.实验仪器 直流电源，检流计，可变电阻箱，待测电阻，元器件插座板，QJ24a 型惠斯登直流电桥，QJ42型凯尔文双臂电桥，四端接线箱，螺旋测微计 四.实验方法 1.按实验原理图接好电路； 2.根据先粗调后细调的原则，用反向逐次逼近法调节，使电桥逐步趋向平衡。在调节过程中，先接上高值电阻R m ，防止过大电流损坏检流计。当电桥接近平衡时，合上K G 以提高桥路的灵敏度，进一步细调； 3.用箱式惠斯登电桥测量电阻时，所选取的比例臂应使有效数字最多。
五.数据记录与分析 (0.0010.002) S RS R m ?±+ 仪 ＝，其中 S R是电阻箱示值，m是所用转盘个数，RS σ ? ' = X R= X R σ= 所以 2 297.80.1 X R=±Ω， 3 1995.40.8 X R=±Ω 2.不同比例臂对测量结果的影响 3.用箱式惠斯登电桥测量电阻 4.用开尔文电桥测量低值电阻 铜棒平均直径d＝3.975mm（多次测量取平均）（末读数－初读数） 电阻 2 4 R L L S d ρρ π ==，由下图中的拟合直线得出斜率00609 .0 4 2 = = d k π ρ ，则电阻率 () m k d ? Ω ? = ? ? ? = =- - 8 2 3 2 10 56 .7 4 10 975 .3 00609 .0 142 .3 4 π ρ
实验一霍尔效应及其应用 【预习思考题】 1．列出计算霍尔系数、载流子浓度n、电导率σ及迁移率μ的计算公式，并注明单位。 霍尔系数，载流子浓度，电导率，迁移率。 2．如已知霍尔样品的工作电流及磁感应强度B的方向，如何判断样品的导电类型？ 以根据右手螺旋定则，从工作电流旋到磁感应强度B确定的方向为正向，若测得的霍尔电压为正，则样品为P型，反之则为N型。 3．本实验为什么要用3个换向开关？ 为了在测量时消除一些霍尔效应的副效应的影响，需要在测量时改变工作电 流及磁感应强度B的方向，因此就需要2个换向开关；除了测量霍尔电压，还要测量A、C间的电位差，这是两个不同的测量位置，又需要1个换向开关。总之，一共需要3个换向开关。 【分析讨论题】 1．若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，按式（5.2-5）测出的霍尔系数比实际值大还是小？要准确测定值应怎样进行？ 若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，则测出的霍尔系数比实际值偏小。要想准确测定，就需要保证磁感应强度B和霍尔器件平面完全正交，或者设法测量出磁感应强度B和霍尔器件平面的夹角。 2．若已知霍尔器件的性能参数，采用霍尔效应法测量一个未知磁场时，测量误差有哪些来源？ 误差来源有：测量工作电流的电流表的测量误差，测量霍尔器件厚度d的长度测量仪器的测量误差，测量霍尔电压的电压表的测量误差，磁场方向与霍尔器件平面的夹角影响等。 实验二声速的测量 【预习思考题】 1. 如何调节和判断测量系统是否处于共振状态？为什么要在系统处于共振的条件下进行声速测定？ 答：缓慢调节声速测试仪信号源面板上的“信号频率”旋钮，使交流毫伏表指针指示达到最大（或晶体管电压表的示值达到最大），此时系统处于共振状态，显示共振发生的信号指示灯亮，信号源面板上频率显示窗口显示共振频率。在进行声速测定时需要测定驻波波节的位置，当发射换能器S1处于共振状态时，发射的超声波能量最大。若在这样一个最佳状态移动S1至每一个波节处，媒质压缩形变最大，则产生的声压最大，接收换能器S2接收到的声压为最大，转变成电信号，晶体管电压表会显示出最大值。由数显表头读出每一个电压最大值时的位置，即对应的波节位置。因此在系统处于共振的条件下进行声速测定，可以容易和准确地测定波节的位置，提高测量的准确度。 2. 压电陶瓷超声换能器是怎样实现机械信号和电信号之间的相互转换的？ 答：压电陶瓷超声换能器的重要组成部分是压电陶瓷环。压电陶瓷环由多晶结构的压电材料制成。这种材料在受到机械应力，发生机械形变时，会发生极化，同时在极化方向产生电场，这种特性称为压电效应。反之，如果在压电材料上加交
华东理工大学物理B(下)期末考试A卷 选择题30’(5’×6) 1、边长为L的正方形，在其四个顶点上各放有等量的点电荷，若正方形中心O处场强值、电势值均为零，则四个顶点带电情况为？ A.顶点a、b、c、d处都是负电荷 B.顶点a、b处是正电荷，顶点c、d处是负电荷 C.顶点a、c处是正电荷，顶点b、d处是负电荷D顶点a、b、c、d都是负电荷 A、D的U O≠0，B的E O≠0，由矢量叠加证明E O=0，由两等量异号电荷的中垂面为零势面证明U O=0 2、已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和Σq=0，则能肯定？ A.高斯面上各点场强均为零 B.穿过高斯面上每一面元的电场强度通量为零 C.穿过整个高斯面的电场强度通量为零 D.以上均错 3、半径R1的导体球带电q，外罩一带电Q的半径为R2的同心导体球壳，q点距球心O的距离为r，r 5、牛顿环实验装置中，曲率半径为R 的平凸透镜与平玻璃板在中心恰好接触，其间充满折射率为n 的透明介质，一真空中波长为λ的平行单色光垂直入射到该装置上，则反射光形成的干涉条纹中，暗环的半径r k 表达式为？A.n /k r k R λ= B.R n /k r k λ= C.R λkn r k = D.R λk r k =6、一动量为P 的电子，沿图示方向入射并能穿过一宽为D ，磁感应强度为B(方向垂直纸面向外)的均匀磁场区，则该电子出射、入射方向间的夹角为多少？ A.α=cos -1P eBD B.α=sin -1P eBD C.α=sin -1eP BD D.α=cos -1 eP BD 习 题(参考答案) 2．指出下列测量值为几位有效数字，哪些数字是可疑数字，并计算相对不确定度。 (1) g ＝(9.794±0.003)m ·s 2 - 答：四位有效数字，最后一位“4”是可疑数字，%031.0%100794 .9003 .0≈?= gr U ； (2) e ＝(1.61210±0.00007)?10 19 - C 答：六位有效数字，最后一位“0”是可疑数字，%0043.0%10061210 .100007 .0≈?= er U ； (3) m ＝(9.10091±0.00004) ?10 31 -kg 答：六位有效数字，最后一位“1”是可疑数字，%00044.0%10010091 .900004 .0≈?= mr U ； (4) C ＝(2.9979245±0.0000003)8 10?m/s 答：八位有效数字，最后一位“5”是可疑数字 1．仪器误差为0.005mm 的螺旋测微计测量一根直径为D 的钢丝，直径的10次测量值如下表： 试计算直径的平均值、不确定度(用D 表示)和相对不确定度(用Dr 表示)，并用标准形式表示测量结果。 解： 平均值 mm D D i i 054.210110 1 ==∑= 标准偏差： mm D D i i D 0029.01 10)(10 1 2 ≈--= ∑=σ 算术平均误差： m m D D i i D 0024.010 10 1 ≈-= ∑=δ 不确定度A 类分量mm U D A 0029.0==σ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00029.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为：%29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D 或 不确定度A 类分量mm U D A 0024.0==δ ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00024.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为： %29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D ，%00001.0%1009979245 .20000003 .0≈?= Cr U 。 3．正确写出下列表达式 （1）km km L 310)1.01.3()1003073(?±=±= （2）kg kg M 4 10)01.064.5()13056430(?±=±= （3）kg kg M 4 10)03.032.6()0000030.00006320.0(-?±=±= （4）s m s m V /)008.0874.9(/)00834 .0873657.9(±=±= 4．试求下列间接测量值的不确定度和相对不确定度，并把答案写成标准形式。 大学物理作业本（上） 姓名 班级 学号 江西财经大学电子学院 2005年10月 质点动力学 练习题（一） １.已知质点的运动方程为2 x= =，式中t以秒计，y t ,3t y x,以米计。试求：（1）质点的轨道方程，并画出示意图； （2）质点在第2秒内的位移和平均速度； （3）质点在第2秒末的速度和加速度。 2．质点沿半径R=0.1m 的圆作圆周运动，自A 沿顺时针方 向经B 、C 到达D 点，如图示，所需时间为2秒。试求： （1） 质点2秒内位移的量值和路程； （2） 质点2秒内的平均速率和平均速度的量值。 3．一小轿车作直线运动，刹车时速度为v 0，刹车后其加速度与速度成正比而反 向，即a=-kv ，k 为已知常数。试求： （1） 刹车后轿车的速度与时间的函数关系； （2） 刹车后轿车最多能行多远？ A C 练习题（二） 1．一质点作匀角加速度圆周运动，β=β0，已知t=0，θ= θ0 ， ω=ω0 ，求 任一时刻t 的质点运动的角速度和角位移的大小。 2．一质点作圆周运动，设半径为R ，运动方程为202 1 bt t v s -=，其中S 为弧长， v 0为初速，b 为常数。求： （1） 任一时刻t 质点的法向、切向和总加速度； （2） 当t 为何值时，质点的总加速度在数值上等于b ，这时质点已沿圆周 运行了多少圈？ 3．一飞轮以速率n=1500转/分的转速转动，受到制动后均匀地减速，经t=50秒后静止。试求： （1）角加速度β； （2）制动后t=25秒时飞轮的角速度，以及从制动开始到停转，飞轮的转数N； （3）设飞轮的半径R=1米，则t=25秒时飞轮边缘上一点的速度和加速度的大小。 质点动力学 练习题（三） 1、质量为M的物体放在静摩擦系数为μ的水平地面上；今对物体施一与水平方向成θ角的斜向上的拉力。试求物体能在地面上运动的最小拉力。 第8章 数列与无穷级数 （一） 数列 1． 数列极限的定义 若ε?>0，?正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限， 或称数列}{n a 收敛于L ，记为L a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2． 数列极限的运算法则 若 ()1 lim L a n n =∞ →，2 lim L b n n =∞ →，c 是常数，则 ()1 lim cL ca n n =∞ →； ()21lim L L b a n n n ±=±∞→； ()2 1lim L L b a n n n =∞ →； ()0,lim 221 ≠=∞→L L L b a n n n 。 3． 数列极限的性质 (1)若L a n x =∞→lim >0则正整数?N ，当N n >时成立n a >0；L b a N n N n n n =≥>?∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。 (2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）: L b L c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>?∞ →∞ →∞ →lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有 界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 数列极限与函数极限的联系 对于数列{} n a，若存在定义域包含[)∞ ， 1的函数()x f，使()n f n a=，且()L x f x = +∞ → lim ， 且 L a n n = ∞ → lim 。 6．数列与数列的关系 （1）若 L a n n = ∞ → lim ， {} k n a是{}n a的一个子数列，则L a k n k = ∞ → lim 。 （2）若 L a a k k k k = = + ∞ → ∞ → 1 2 2 lim lim ，则 L a n n = ∞ → lim 。 （二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义 称 ∑ = = n k k n u s 1为级数 ∑∞ =1 n n u 的前n项部分和 () ,2,1=n，而称数列{} n s为级数 ∑∞ =1 n n u 的部 分和数列。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s收敛，即s s n n = ∞ → lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称s为该级 数的和，记为 s u n n = ∑∞ =1，同时称 ∑∞ + = = - = 1 n k k n n u s s r 为级数 ∑∞ =1 n n u 的余和。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s发散，则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散。 2．级数的基本性质 （１）若 s u n n = ∑∞ =1，c是常数，则 cs cu n n = ∑∞ =1。 （2）若∑∞ =1 n n u =s， σ = ∑∞ =1 n n v ，则 ()σ+ = + ∑∞ = s v u n n n 1。 （3）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ + =1 m n n u 也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。 第十六章 狭义相对论 1、一宇宙飞船相对地球以0.8c （c 表示真空中光速）的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头。飞船上的观察者测得飞船长为90m ，地球上观察者测得光脉冲从船尾发出到达船头的空间间隔为多少 ？ 解：2 2 / 1/ 2/ 1/ 212v 1) t t (v x x x x ??+?= ?c m 2708.01c 90 c 8.0902 =?×+= 2、B 观察者以0.8c 的速度相对于A 观察者运动。B 带着一根1m 长的细杆，杆的取向与运动方向相同，在杆的一端相继发出两次闪光，其时间间隔在他的计时标度上看是10s ，求： （1）A 测得此杆的长度是多少？ （2）A 测得再次闪光的时间间隔有多长？ 解：（1） m 6.0)c c 8.0( 11c v 1l l 2 2 20=?×=? = （2） s 7.16)c c 8.0( 110c v 1t t 2 2 2 0=?= ?Δ= Δ 3、一辆小车以速度v 行驶，车上放一根米尺，并与水平方向成300 。在地面上观察者， 测得米尺与水平方向成450 ，求： （1）小车的速度； （2）地面上观察者测得米尺长度为多少？ 解：（1）设原长 则 /l c 3 2v 45tg c v 1x 45xtg 30tg x y y 45xtg y 30tg x y 0 2 2/ // //= ? ===== （2）2 0/2 22 /2 2 )30tg x ()c v 1(x y x L +?=+=（） 0/30cos x = m 707.03 2 30cos 132x 0/ =××== 4、在惯性系S 中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生Δt=2秒。而在另一惯性系S'中，观测第二事件比第一事件晚发生Δt'=3秒。求： （1）S'系相对于S 系的运动速度为多少？ （2）在S'系中发生两事件的地点之间的距离是多少？ 解：（1）2 2 /c v 1t t ?Δ= Δ c 3 5v 3 2 t t c v 1/22 ==ΔΔ= ?（2） 2 2) A B A B /A /B c v 1t t (v x x x x ????= ?c 5)35(12c 35 02 ?=?×? == m 107.68×? 大学物理实验答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 实验一 物体密度的测定 【预习题】 1．简述游标卡尺、螺旋测微器的测量原理及使用时的注意事项。 答：（1）游标卡尺的测量原理及使用时的注意事项： 游标卡尺是一种利用游标提高精度的长度测量仪器，它由主尺和游标组成。设主 尺上的刻度间距为y ，游标上的刻度间距为x ，x 比y 略小一点。一般游标上的n 个刻度间距等于主尺上(n -1)个刻度间距，即y n nx )1(-=。由此可知，游标上的刻度间距与主尺上刻度间距相差n 1,这就是游标的精度。 教材P33图1-2所示的游标卡尺精度为 mm 501,即主尺上49mm 与游标上50格同长，如教材图1-3所示。这样，游标上50格比主尺上50格（50mm ）少一格（1mm ），即游标上每格长度比主尺每格少1÷50 = 0.02(mm)， 所以该游标卡尺的精度为0.02mm 。 使用游标卡尺时应注意：①一手拿待测物体，一手持主尺，将物体轻轻卡住，才 可读数。②注意保护量爪不被磨损，决不允许被量物体在量爪中挪动。③游标卡尺的外量爪用来测量厚度或外径，内量爪用来测量内径，深度尺用来测量槽或筒的深度，紧固螺丝用来固定读数。 （2）螺旋测微器的测量原理及使用时的注意事项： 螺旋测微器又称千分尺，它是把测微螺杆的角位移转变为直线位移来测量微小长 度的长度测量仪器。螺旋测微器主要由固定套筒、测量轴、活动套筒(即微分筒)组成。 如教材P24图1-4所示，固定套管D上套有一个活动套筒C(微分筒)，两者由高精度螺纹紧密咬合，活动套筒与测量轴A相联，转动活动套筒可带动测量轴伸出与缩进，活动套筒转动一周( 360)，测量轴伸出或缩进1个螺距。因此，可根据活动套筒转动的角度求得测量轴移动的距离。对于螺距是0.5mm螺旋测微器，活动套筒C的周界被等分为50格，故活动套筒转动1 格，测量轴相应地移动0.5/50=0.01mm,再加上估读，其测量精度可达到0.001 mm。 使用螺旋测微器时应注意：①测量轴向砧台靠近快夹住待测物时，必须使用棘轮而不能直接转动活动套筒，听到“咯、咯”即表示已经夹住待测物体，棘轮在空转，这时应停止转动棘轮，进行读数，不要将被测物拉出，以免磨损砧台和测量轴。②应作零点校正。 2．为什么胶片长度可只测量一次？ 答：单次测量时大体有三种情况：（1）仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，不必多次测量。（2）对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了。（3）因测量条件的限制，不可能多次重复测量。本实验由对胶片长度的测量属于情况（1），所以只测量1次。 第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 大物自测题 电磁学基础自测题（一） D B B A D A B C B C 均匀电场中，各点的电势一定相等F 电势为零处，场强一定为零F 库仑定律与高斯定理对于静止的点电荷的电场是等价的，而高斯定理还适于运动电荷的电场T 电场线总是与等位面垂直并指向电位降低处；等位面密集处电场线也一定密集T 通过闭合曲面S的总电通量，仅仅由S面所包围的电荷提供T 在电势不变的空间，电场强度一定为零T 电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的场强一定很大F 用高斯定理求解出的静电场强大小是高斯面上的场强T. 电场的存在，我们既看不见也摸不着，所以电场不是物质F. 电偶极矩的方向由正电荷指向负电荷。F 热学基础自测题（一） 1同温度、同物质的量的H2和He两种气体，它们的（ B ） A、分子的平均动能相等； B、分子的平均平动动能相等； C、总动能相等； D、内能相等。 2一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们 C A、温度相同、压强相同。 B、温度、压强都不同。 C、温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强. D、温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强. 3麦克斯韦速率分布律适用于( C )。 A.大量分子组成的理想气体的任何状态； B.大量分子组成的气体； C.由大量分子组成的处于平衡态的气体 D.单个气体分子 5两瓶不同种类的气体，一瓶是氮，一瓶是氦，它们的压强相同，温度相同，但体积不同，则：（ A ） A．单位体积内分子数相同B．单位体积内原子数相同 C．单位体积内气体的质量相同 D．单位体积内气体的内能相同 6一定量的理想气体，开始时处于压强，体积，温度分别为p1，V1，T1的平衡态，后来变到压强，体积，温度分别为p2，V2，T2的终态．若已知V2>V1，且T2=T1，则以下各种说法中正确的是（D）： A、不论经历的是什么过程，气体对外净作的功—定为正值。 B、不论经历的是什么过程。气体从外界净吸的热一定为正值。 C、若气体从始态变到终态经历的是等温过程，则气体吸收的热量最少。 D、如果不给定气体所经历的是什么过程，则气体在过程中对外净作功和从外界净吸热的正负皆无法判断 7一定质量的理想气体当温度一定时,三种速率最大的是( C) Ａ、最概然速率；Ｂ、平均速率；Ｃ、方均根速率；Ｄ、不一定。 8麦克斯韦速率分布律适用于：（ C ） A.大量分子组成的理想气体的任何状态； B.大量分子组成的气体； C.由大量分子组成的处于平衡态的气体 D.单个气体分子 9理想气体的内能是状态的单值函数，对理想气体的内能的意义，下列说法正确的是：( A ) A、气体处在一定的状态，就具有一定的内能 B、对应用于某一状态的内能是可以直接测定的 C、对应于某一状态，内能的数值不唯一 D、当理想气体的状态改变时，内能一定跟着改变 10关于温度的意义，有下列几种说法：B (1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度。 (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义。 (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同。 高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY 第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+ 高等数学（下）期终考试卷(华东理工) 222222{0,0,6},{2,2,1}_______;2 25(0),________; 4 )___a L a b xyz yz zx xy L x y R y yds x y z y y z ==-==??++=?+=≥=?++=?=??b 00 一、试解下列各题（每题4分，共16分） 1、向量在向量上的投影Prj 、曲线在(2,1,1)点的切线方程是____________; 3、(1)设是上半圆周则(2过曲线母线平行于轴的柱面方程是0 00 0(4)_______; 41(,,)(,,),:__________; )(,)(,),:0_________; (3)4'''3''0__________; L L x x x y z u x y z L y y I D x y u x y D L Ax By C I y y y y =?ΩΩ? =?++=-+==0、（）立体上点处的密度为则对直线的转动惯量用三重积分可表示为(2平板上点处的密度为则对于直线的转动惯量用二中积分表示为微分方程的通解为 33001002(1)8(1)(1)8 121 8(2,3,2)101(2){1)}6241(,)ln(1)0n n n n y x x x y x n x y z M x dx e dy n y z z x y x ze z ∞ =--++--==-=--+=∑??0 二、（分）求幂级数的收敛域（包括收敛的端点）。三、（分）求点到直线的距离。 四、（1）计算二次积分求数列的极限。 五、试解下列各题（每题分，共分） 、设函数由方程 所确定，试求此函数1 1 2222232sin()()sin ,(0,0)(1,0)1 (0,0,1)(0,0,2),2 n n n L dz a x x y dx x y x dy L y x x MA M A B M MB ∞ ∞ ==+--=--=∑?00 的全微分。、设是收敛的正项级数，试证明级数、（1）计算曲线积分其中是自点沿至的一段有向曲线。 （2）动点到两定点及的两个距离之比为 求动点的轨迹。00101 41()012 2()ln ()x f x x f x x x e ≤ 习题解答 第一章（P235） 1.简述聚合物的结构层次 答：高分子结构的内容可分为链结构与聚集态结构两个组成部分。链结构又分为近程结构和远程结构。近程结构包括构造与构型，构造是指链中原子的种类和排列、取代基和端基的种类、单体单元的排列顺序、支链的类型和长度等。构型是指某一原子的取代基在空间的排列。近程结构属于化学结构，又称一级结构。远程结构包括分子的大小与形态、链的柔顺性及分子在各种环境中所采取的构象。远程结构又称二级结构。聚集态结构是指高分子材料整体的内部结构，包括晶态结构、非晶态结构、取向态结构、液晶态结构以及织态结构。前四者是描述高分子聚集体中的分子之间是如何堆砌的，又称三级结构。织态结构则属于更高级的结构。 2．写出聚异戊二稀的各种可能的构型和名称（只考虑头－尾键接方式）。 解： （1）1，2－聚合：全同立构1，2－聚异戊二稀；间同立构1，2－聚异戊二稀；无规立构1，2－聚异戊二稀。 （2）3，4－聚合：全同（间同，无规）立构－聚3，4－聚异戊二稀。 （3）1，4聚合：顺式（反式）1，4－聚异戊二稀。 注意：一般来说，顺式、反式聚合都是在特定的催化剂下进行的，当催化剂一定时，产物结构就一定，所以不存在无规的几何异构体。 3．已知聚乙烯试样的聚合度为4105?，C-C 键长为0.154nm ，键角为109.5?，试求： （1）若把聚乙烯看作自由旋转链时的聚乙烯试样的均方末端距； （2）若聚乙烯的末端距符合高斯分布时聚乙烯试样的平均末端距和最可几末端距。 解：54101052=??=n ；nm l 154.0=； 5.109=θ （1）225222 22.4743)154.0(10225.109cos 15.109cos 1cos 1cos 1nm nl nl nl r =??==+-?=+-?= θθ （2）由于聚乙烯的末端距符合高斯分布，因此它应该是自由结合链 第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 向量及其线性运算 必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题： 1、 求点(,,)a b c 分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标. 解：（1） xoy 面（a,b,-c ）,yoz 面（-a,b,c ）, xoz 面（a,-b,c ）; (2）ox 轴（a,-b,-c ）, oy 轴（-a,b,-c ）, oz 轴（-a,-b,c ）; (2）关于原点（-a,-b,-c ）。 2、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的 位置 (3,4,0),(0,4,3),(3,0,0),(0,1,0).A B C D - 解：xoy 面：z=0， yoz 面：x=0， xoz 面：y=0. ox 轴：y=0,z=0， oy 轴：x=0,z=0， oz 轴：x=0,y=0， A 在xoy 面上，B 在yoz 面上， C 在x 轴上， D 在y 轴上。 3、 在z 轴上求与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点的坐标. 解：设C （0，0，z ），有|AC|=|BC|，解得：z= 149，所求点为(0,0, 149 ). 4、 设2,3,u a b c v a b c =-+=-+- 试用,,a b c 表示23.u v - 解：235117u v a b c -=-+ . 5、已知两点1M 和2(3,0,2),M 求向量12M M 的模，方向余弦和方 向角. 解：{} 121,M M =- ，122M M = ，方向余弦为1c o s 2 α=-， cos 2β=- ，1cos 2γ=，方向角23πα=，34πβ=，3 πγ=. U 2 I 2 大学物理实验报告答案大全（实验数据及思考题答案全包括） 伏安法测电阻 实验目的 (1) 利用伏安法测电阻。 (2) 验证欧姆定律。 (3) 学会间接测量量不确定度的计算；进一步掌握有效数字的概念。 实验方法原理 根据欧姆定律， R = U ，如测得 U 和 I 则可计算出 R 。值得注意的是，本实验待测电阻有两只， 一个阻值相对较大，一个较小，因此测量时必须采用安培表内接和外接两个方式，以减小测量误差。 实验装置 待测电阻两只，0～5mA 电流表 1 只，0－5V 电压表 1 只，0～50mA 电流表 1 只，0～10V 电压表一 只，滑线变阻器 1 只，DF1730SB3A 稳压源 1 台。 实验步骤本实验为简单设计性实验，实验线路、数据记录表格和具体实验步骤应由学生自行设计。必要时，可提示学 生参照第 2 章中的第 2.4 一节的有关内容。分压电路是必须要使用的，并作具体提示。 (1) 根据相应的电路图对电阻进行测量，记录 U 值和 I 值。对每一个电阻测量 3 次。 (2) 计算各次测量结果。如多次测量值相差不大，可取其平均值作为测量结果。 (3) 如果同一电阻多次测量结果相差很大，应分析原因并重新测量。 数据处理 (1) 由 U = U max ? 1.5%，得到 U 1 = 0.15V , U 2 = 0.075V ； (2) 由 I = I max ? 1.5%，得到 I 1 = 0.075mA , I 2 = 0.75mA ； (3) 再由 u R = R ( 3V ) + ( 3I ) ，求得 u R 1 = 9 ? 101 &, u R 2 = 1&； (4) 结果表示 R 1 = (2.92 ± 0.09) ?10 3 &, R 2 = (44 ± 1)& 光栅衍射 实验目的 (1) 了解分光计的原理和构造。 (2) 学会分光计的调节和使用方法。 (3) 观测汞灯在可见光范围内几条光谱线的波长 实验方法原理 第一章 质点的运动规律 1、电子受到磁力后，在半径为R 的圆形轨道上，以速率v 从O 点开始作顺时针方向的匀速 率圆周运动，当它经过R 330cos R 2OP 0===圆周时，求： （1）电子的位移； （2）电子经过的路程等于多少； （3）在这段时间内的平均速度； （4）在该点的瞬时速度。 解：（1 ）R 330cos R 2OP 0=== 方向与x 轴成60° （2） R 34R 232S π=π?= （3）v 3R 4v R 232t π= π?=? π=π= ?= ∴4v 33v 3R 4R 3t OP v 方向与x 轴成60° （4）速度v ，方向与x 轴成-30° 2、已知质点的位矢随时间的函数形式为( ) j t sin i t cos R r ω+ω=，式中R ，ω为常量求： （1）质点的轨迹； （2）速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。 解:（1）t cos R x ω= t s i n R y ω= 运动轨迹：222R y x =+ （2）j t cos R i t sin R dt r d v ωω+ωω-== r j t s i n R i t c o s R dt v d a 22 2 ω-=ωω-ωω-== 由上式可知加速度总是指向圆心。 x 3、某质点的运动方程为j bt i bt 2r 2 += （b 为常数），求： （1）轨道方程； （2）质点的速度和加速度的矢量表示式； （3）质点的切向加速度和法向加速度的大小。 解：（1）由2 bt y bt 2x == 得轨迹方程 b 4x y 2 = （2）[] j bt 2i b 2j bt i bt 2dt d dt r d v 2 +=+== [] j b 2j bt 2i b 2dt d dt v d a =+== （3）()2 22 y 2x )bt 2(b 2v v v += += 222t t 1bt 2)bt 2()b 2(dt d a += ??????+= 2 22 2 2t 2n t 1b 2)t 1bt 2( )b 2(a a a += ++=-= 4、路灯距地面高度为 H ，行人身高为h ， 匀速度v 0背离路灯行走，多大？ 解：设人的位移为x ，人影的位移为L 由几何关系 H L h x L =-得 x h H H L -= 0v h H H dt dx h H H dt dL v -=-== ∴ 5、质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其角位移用下式表示θ=2+4t 3 式中θ为弧度(rad), t 的单位为s, 求： （1）t=2s 时，质点所在位置的切向加速度和法向加速度的大小； （2）当θ为何值时，其加速度和半径成450 角。 解：（1）t 24dt d t 12dt d t 4223=ω =α=θ= ω+=θ 22 t 2 22n s m 4.230)t 12(R R a ==ω=∴=大学物理实验习题参考答案
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