高考数学中的内切球和外接球问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ .27π.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为______________. 43π.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3(2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为
1,2,3,则此球的表面积为 .14π.
例4、(2006年全国卷I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ). C.
A. 16π
B. 20πC. 24πD.
32π
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的
顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9
8,底面周长为3,则这个球的体积
为.
解设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则有
2
63,1
,
2
93
6,
3
84
x
x
x h
h
=
??
=
??
∴
??
=?
??=
?
?.∴正六棱柱的底面圆的半径
1
2
r=
,球心到底面的距离
3
2
d=
.∴外接球的半径
221
R r d
=+=.
4
3
V
π
∴=
球
.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 (2008年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为
3,则其外接球的表面积是_______________.9π
解据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为
3的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有
()()()()
222
2
23339
R=++=
.∴
2
9
4
R=
.故其外接球的表面积2
49
S R
ππ
==.
小结一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为
a b c
、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有222
2R a b c
=++.
出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
【例题】:在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为
1 / 4
2 / 4
,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。
解:因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以:四面体外接球的直径为的长即:
所
以
球的表面积为
例 6.2四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
A. 3π
B. 4π C. 33π D . 6π 解析:一般解法,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,再计算球的半径.
在此,由于所有棱长都相等,我们联想只有正方体中有这么多相等的线段,所以构造一个正方体,再寻找棱长相等的四面体,四面体A BDE -满足条件,即
AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为33,所以此球的表面积便可求得,故选A.
例7.在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,0
DAB=60∠,E 为AB 的中点,将
ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起,使A B 、重合于点P ,则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为( ).
A. 4327
B. 62
C. 68 D . 6
24
解析: 因为AE=EB=DC=1,0
DAB=CBE=DEA=60∠∠∠,所以
AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =,即三棱锥P-DCE 为正四面体,至此,这与
例6就完全相同了,故选C.
例8 .已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ,DA ABC ⊥平面,AB BC ⊥,
DA=AB=BC=3O 的体积等于 .
解析:本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于DA ABC ⊥平面,AB BC ⊥,联想长方体中的相应线段关系,构造长方体,又因为DA=AB=BC=3,则此长方体为正方体,所以CD 长即为外接球的直径,利用直角三角形解出CD=3.故球O 的体积
等于92π.
2、构造长方体
例9.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,B BCD A ⊥平面,BC DC ⊥,若6,AC=213,AD=8AB =,则球的体积是 .
解析:首先可联想到例8,构造下面的长方体,于是AD 为球的直径,O 为球心,
OB=OC=4为半径,要求B 、C 两点间的球面距离,只要求出BOC ∠即可,在
3 / 4
Rt ABC ?中,求出=4BC ,所以0
C=60BO ∠,故B、C 两点间的球面距离是43π.
三.多面体几何性质法
例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则
这个球的表面积是
A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R ,则有2
416x =,解得
2x =.
∴2R R =
=∴= .∴这个球的表面积是
2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接
球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例11.正四棱锥S ABCD -
点
S A B C D 、、、、都在同一球面上,则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为1O ,外接球的球心为O ,如图1所
示.∴由球的截面的性质,可得1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面,∴球心O 必在1SO 所在的直线上.
∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的
半径.在ASC ?
中,由2SA SC AC ===,得222SA SC AC +=.∴
ASC AC ??是以为斜边的Rt .∴1
2AC
=是外接圆的半径,也是外接球的半径.故
43V π
=
球.
五 .确定球心位置法
例11.在矩形ABCD 中,4,3AB BC ==,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积为
A.12512π B.1259π C .1256π D.125
3π
解 设矩形对角线的交点为O ,则由矩形对角线互相平分,可知
OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离
相等,即点O 为四面体的外接球的球心,∴外接球的半径
5
2R OA ==
.故
C
D
A
S
O 1
图3
4 / 4
3412536V R ππ
==球.选C.
【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球
的球面上,且
,,,
,求球
的体积。
解:
且
,
,
,
, 因
为 所以知
所以
所以可得图形为: 在中斜边为,在
中斜边为
,取斜边的中点
,在中
,在
中
所以
在几何体中
,即为该四面体的外接球的球心,
,所以该外接球的体积为