证明面面垂直以二面交线上任意一点为垂足向二面各引一条与交线垂直的直线,如果两直垂直则二面也垂直
1.建立坐标系，最实用，但是麻烦，计算量大
2.先证一个平面里的一条直线与另一个面垂直，那么这两个平面垂直
2
证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成
一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面
然后转化成
一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线
也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
2
一、初中部分
1利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理
3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分
线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为0
2斜率两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：
Ⅰ.平行关系：
线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系：
线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂
直。
面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
§2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识 教学重、难点： 重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： 师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的： （§2.3.4平面与平面垂直的性质）
那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：α⊥βα∩β=CD 求证：β内一直线与α垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β内作BE⊥CD于点B,在α内过点B作AB⊥CD
证明： 在β内作BE⊥CD于点B，在α内过点B作AB⊥CD BE⊥CD 二面角∠ABE为直二面角α⊥βα∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD＝B 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设α⊥β，点P在平面α内，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？
怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB 在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD 垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
如何证明线面垂直∵PA⊥平面α，直线L∈平面α ∴PA⊥L========================① ∵PB⊥平面β，直线L∈平面β ∴PB⊥L========================② 综合①②得： 直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面) ∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线) 线面垂直的判定定理证明，我一直觉得证明过程太过复杂。前年曾经这样证明，今天写在这里。m和n为平面中两条相交直线，通过平移或者说原本就在，使得l经过m、n的交点O，我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD，则得到平行四边形ABCD。此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。 答案补充 证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延长DE、BF分别交 L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
面面垂直的证明及应用 一、单选题(共9道，每道11分) 1.如图，平面α⊥平面β，，AB与两平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则( ) A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 2.如图，在四面体P-ABC中，PA=PB=13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=8， BC=6，则PC的长为( ) A.13 B.12 C.11 D.10 3.如图，边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O，M分别是BE，AF的中点，则线段OM的长度为( )
A. B. C. D. 4.如图，在棱长均相等的正三棱柱中，D为的中点，F在上，且 ，则下列结论：①；②；③．其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 6.如图，在三棱锥S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，且△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，给出下列结论：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是．其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA=PB=PC，则下列说法正确的是( )
立体几何垂直证明方法技巧授课教师：吴福炬
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面
（2） 异面垂直（利用线面垂直来证明） 例1 在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥ 变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形， 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥；
变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中 点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起， 使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥； 变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形， ∠P AC=∠PBC=90 o证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明 B E ' A D F G
方法○1利用线面垂直的判断定理 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1 1AC BDC ⊥平面 变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1 的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； 变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的
理科数学复习专题 立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一．线面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果直线l 和平面α的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________． 重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为： ②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为： (3)直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为： 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为： (3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为： 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1．“直线l 垂直于平面α的无数条直线”是“l ⊥α”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．已知如图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则下列结论不正确的是( )． A.CD ∥平面PAF B.DF ⊥平面PAF C.CF ∥平面PAB D ．CF ⊥平面PAD 2. 设m ，n, l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，判断命题正误： α αααααββααβαβα//n ,,m //,,n ,//,,//,//,,则⑤则④则③则②则①n m n m n m n m m m m m m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ γ αβγβαγαγββααα⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则，⑩则⑨则，⑧则⑦则⑥,//m ,//,m //,//m ,,m n ,//,n m l l n n l l n n m
八、三个公理 公理1、判断直线在平面内的依据或者说判定公理。 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 该性质是判定直线在平面内的依据，用集合符号表示为： lα。依据直线在平面内，可以判断点在平面内，即A∈l,lαA∈α. 公理2、判断点在直线上的依据，要判断直线经过点只要证明点在以该直线为供公交线的两个平面内即可。 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 用集合符号表示为：A∈α，A∈βα∩β=α且A∈α。 由此易知，如果两个平面有两个公共点，那么这两个平面相交于由这两点确定的一条直线，即 α∩β=AB。 依据两平面相交的意义，可以判断点在直线上，即A∈α，A∈β，α∩β=αA∈α。 公理3以及三个推论、确定为一个平面的依据。（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线 1.经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 2．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 3．经过两条相交直线，有且只有一个平面。 4．经过两条平行直线，有且只有一个平面。 所以在判断或证明时要有针对性地找到依据进行处理。 证明线共点问题基本步骤是：1、两条相交点为A，2、利用A在以另外直线为交线的两个平面上，3、从而确定A在另外直线上。主要依据公理二。 证明线共面问题基本步骤是：1、两条直线或三个不共线点确定一个平面，2、利用公理一说明其他直线在这平面上，3、从而确定直线确定一个平面上。主要依据公理一，三及推论。 对于符号语言判断题，尽可能作出图形或演示出位置进行判断推理。 九、16个定理的记忆 1、平行传递性同类平行具有传递性2个定理 ⑴线 ⑵面 2、平行与垂直的传递性同类平行与异类垂直具有传递性4个定理
垂直证明题常见模型及方法 证明空间线面垂直需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） ○1 等腰（等边）三角形中的中线 ○ 2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○ 4 1:1:2 的直角梯形中 ○ 5 利用相似或全等证明直角。 例：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO OE ⊥ （2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥ 变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 是矩形，已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥； 变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是 BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两 点重合于' A . 求证:' A D EF ⊥； B E 'A D F G
变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o证明：AB ⊥PC 类型二：线面垂直证明 方法○1 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证： 1 AO BDE ⊥平面 变式1：在正方体1111ABCD A BC D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =，6BC = C E
1．已知如图，P ?平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC 【答案】 【解析】要证明面面垂直，只 要在其呈平面内找一条 线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC 中点D ，证明AD 垂直平PBC 即可 证明： 取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB ；∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形 同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a 在RT ΔBPC 中，PB=PC=a BC=2a ∴PD=2 2a 在ΔABC 中 AD= 22BD AB - = 2 2a ∵AD 2+PD 2 =2 2 2222??? ? ? ?+???? ??a a =a 2 =AP 2 ∴ΔAPD 为直角三角形 即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC
∴AD ⊥平面PBC ∴平面ABC ⊥平面PBC 2 ． 如 图 （ 1 ） 在 直 角 梯形 ABCD 中 ， AB ⊥ 12 ⊥1 sin 2 AH BD θ==ED ⊥ABCD ED ⊥BC BCD ?2DB BC ==2DC =BC BD ∴⊥2,DB =D BEF A BEF //AD EF AD ⊥BEF ABF ⊥BEF ABF ?BF A BEF 1C 1C 长方体1AC 中，对角线11//BD B D . ……………2分 又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴//EF BD . ∴11//EF B D . ……………4分 又B 1D 1 平面11CB D ，EF ?平面11CB D ，∴EF ∥平面CB 1D 1. ……………7分 （2）Q 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1.… 9分 又Q 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又Q B 1D 1 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．……14分 4．如图，四棱锥 ABCD P -中，底面 ABCD 为平行四边形， 22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD . (1)证明：平面⊥PBC 平面 PBD ； A B C D E 图2 A B E C 图1 F D A B C D A 1 B 1 1 D 1 E F
１．已知如图，Ｐ?平面ABC,PA=PB=ＰC ，∠ＡPB=∠A ＰC=６0°,∠BPC=9０ °求证:平面A ＢC ⊥平面PBC 【答案】 【解析】要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。显然ＢＣ中点 D,证明AD 垂直平PBC 即可 证明: 取ＢC 中点Ｄ 连结AD 、PD ∵PA=PB;∠ＡＰＢ＝60° ∴ΔＰＡB 为正三角形? 同理ΔＰA Ｃ为正三角形 设PA=a 在RT ΔＢPC 中,PB ＝PC=ａ BC=2a ∴PD=2 2 a 在ΔABC 中 AD= 22BD AB - = 2 2a ∵AD ２+PD ２ ＝2 2 2222??? ? ? ?+???? ??a a =a ２ =A Ｐ２ ∴ΔＡＰD 为直角三角形 即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC ∴ＡＤ⊥平面ＰB Ｃ ∴平面ＡＢC ⊥平面PBC ２．如图（１）在直角梯形ABCD 中，AB ／／CD ，AB ⊥ＡD 且A Ｂ＝AD= 1 2 CD=1,现以ＡＤ为一边向梯形外作正方形A ＤEF,然后沿AD 将正方形翻拆,使平面ADE Ｆ与平面A ＢCD 互相垂直如图(２)。
（1）求证平面ＢD Ｅ⊥平面BEC （2）求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。 【答案】⑴证见解析 ⑵1 sin 2 AH BD θ== 【解析】(1）由折前折后线面的位置关系得ED ⊥平面ABCD ,所以ED ⊥BC ， 又在BCD ? 中，DB BC == ,2DC =，三边满足勾股定理,BC BD ∴⊥。由线 面垂直的判定定理即证得结论。 （2) 因为DB = 只需求出点D 到平面BEF 的距离也是点A 到平面BEF 的距离, 易证出//AD EF ,AD ⊥平面BEF ,由面面垂直的判定定理得平面ABF ⊥平面BEF ，ABF ?中BF 边上的高就是点A 到平面BEF 的距离。根据线面角的定义可求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。 3.(本小题满分1４分)如图,在正方体ＡB ＣＤ－A 1B 1C 1D 1中,Ｅ、F 为棱A Ｄ、ＡB 的中点． (1)求证：ＥＦ∥平面CB １D 1；（2)求证：平面CAA 1Ｃ1⊥平面C Ｂ1D 1. 【答案】（Ⅰ)略(Ⅱ)略 【解析】(１）证明：连结ＢD .在长方体1AC 中， 11//BD B D . ……………2分 又 E 、 F 为棱ＡD 、AB 的中点， ∴//EF BD ． ∴11//EF B D . ……………４分 又B １Ｄ1错误!平面11CB D ,EF ?平面11CB D ，∴EF ∥平面CB 1D 1． ……………７分 （2） 在长方体1AC 中,ＡA １⊥平面A 1B １Ｃ1Ｄ1，而B １D 1错误!平面A １Ｂ1C １D 1，∴A Ａ1 ⊥B 1Ｄ1.…9分 又在正方形Ａ1B １C 1D １中,A １C １⊥B 1D 1，∴ Ｂ１D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1Ｄ1错误!平面CB 1D 1,∴平面ＣＡA 1C １⊥平面CB 1D 1.……14分 4．如图，四棱锥ABCD P -中,底面 ABCD 为平行四边 形, 22==AD AB ，3=BD ,PD ⊥底面ABCD ． A C D E F 图2 A B E C 图1 F D A C A 1 1
面面垂直测试题 1.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点。 2．如图，在三棱锥中，，平面，,分别为,的 中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 3如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知 ， 求证（1）直线平面； （2）平面平面. 4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面． （Ⅰ）若，分别为，中点，求证：∥平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，求证：平面平面． ,,PC AC AB ,,D E F -P ABC F E D A C B P PCD PAB ⊥22 PA PD AD ==CD PA ⊥PAD EF BD PC F E ABCD PAD ⊥ABCD P ABCD -F E A C P B AB C ⊥BDE DEF //PA ,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===PAB AEF ⊥ABC //EF PC PB F E ABC PA ⊥90ABC ∠=P ABC -⊥求证：（1）PA ∥平面BDE （2）平面PAC ⊥平面BDE
5．已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D 是AB 的中点． (1)求证：BC 1∥平面CA 1D ；(2)求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B ； (3)若底面ABC 为边长为2的正三角形，BB 1= 求三棱锥B 1 -A 1DC 的体积． 6．如图，已知四棱锥，，， 平面，∥，为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）求四棱锥的体积． 7．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且底面ABCD ，， E 是PA 的中点. （1）求证：平面平面EBD ； （2）若PA=AB=2，求三棱锥P-EBD 的高. A D B C C A B 3PA C ⊥B D PC ⊥PA ⊥A BCD E -ACD ⊥ADE ABC E F AD F CD BE ABC CD ⊥2CD =1AB BC AC BE ====A BCDE -
线面垂直证明专题 1.直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直. 2.直线与平面垂直的判定: 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么就垂直另一个平面。 性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 专题一线面垂直的判定应用 1 下列条件中，能使直线m⊥α的是（） A m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α B m⊥b,b∥α C m I b=A,b⊥α D m∥b 1 如图，在平面α内有Y ABCD，O是它的对角线的 交点，点P在α外，且PA=PC，PB=PD， 求证：PO⊥α。 2 在正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中，P为DD 1 的中点，O为ABCD中心，求证：B 1 O ⊥面PAC
3 如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD， E为垂足，作AH⊥BE于H， 求证：AH⊥面BCD 4 如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD， PAD是等腰三角形，M,N分别是AB,PC的中 点，求证：MN⊥面PCD 5 如图，在正方体AC 1 中，M,N,E,F分别是中点。 （1）求证A 1E⊥面ABMN；（2）求异面直线A 1 E与MF所成角的大小。 专题二线面垂直性质的应用 1 已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的异于A，B的任意一点，过A作
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度． .用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 4．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断 解析：∵a·b＝4×1＋0＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b，∴α⊥β. 答案：B 面面垂直. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E (0,1，12)，DB 1→＝(1,1,1)，DE → ＝(0,1，12 )，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则x ＋y ＋z ＝0且y ＋1 2z ＝0，令z ＝－2，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)， 由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD . 图3－2－12 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，E ? ? ???0，1，12，DB 1→＝(1，1，1)，DE →＝ ? ? ???0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝ 1，x ＝1，∴n 1＝(1，1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1，0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD . 例3：如图3－2－12，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直 一、二面角 二面角βα--l ，若α的一个法向量为m ，β的一个法向量为n ，则| |||,cos n m ?>= <，二面角的 大小为>
[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D -AF -E的余弦值． 图1-4 [2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． [2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD； (2)求二面角B -AD -E的大小．
证明面面垂直以二面交线上任意一点为垂足向二面各引一条与交线垂直的直线,如果两直垂直则二面也垂直 1.建立坐标系，最实用，但是麻烦，计算量大 2.先证一个平面里的一条直线与另一个面垂直，那么这两个平面垂直 2 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 2 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂
证明面面平行的方法 证明面面平行的方法利用向量方法判断空间位置关系,其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理,将可建立一种简单的程序化的解题模式.定理1设MA→、MB→不共线,PQ→=xMA→+yMB→(x,y∈R),则①P∈平面MAB PQ平面MAB;②P平面MAB PQ∥平面MAB.定理2设向量AB→、AC→不共线,DE→、DF→垂直于同一平面的两个平面互相平行 这个是错误的，比如立方体相邻三个面，两两垂直，显然不符合你说的平行条件，证明面面平行可以用垂直于同一直线来证，但垂直于同一平面是错的 2 1,线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行与或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2 2，(最白痴的一个)平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2 3，通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的 这些方法前面都要通过其他方法证明，一步步才能证到这儿，譬如方法1，要先证明线面垂直，所以你也得知道线面垂直的证法有哪些。学立体几何，重要的是空间感，没事多揣摩揣摩比划比划，把每个定理的内容用图形表示出来，并记在脑子中，这样考试的时候才能看到
图和题就会知道用什么定理了，熟记并熟练掌握哪些定理的运用才行。还有像这样比较好，证明每个东西都有哪些方法，有几种途径，那么做题的时候想不起来用哪个就可以根据题目条件一步步排除，并选择对的方法，一般老师上课都会总结的。还是好好听课吧~~ 3 判定： 平面平行的判定一如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 平面平行的判定二垂直于同一条直线的两个平面平行。 性质： 平面平行的性质一如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 平面平行的性质二如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。 这五个条件?哪五个? 判定一中：两条相交的直线是可以确定一个平面的，所以“两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。” 判定二中。如果一个直线垂直与一个平面，那么直线垂直于平面内的所有直线，则有垂直于同一条直线的两个平面平行。 4 线线平行证2条线成倍数就行，倍数属于R线面平行找面的法向量，它的法向量与线平行就OK面面平行先找两个面的法向量，只要2个