北师大版高中数学必修五模块测试卷

必修五模块测试卷

（150分，120分钟）

一、选择题(每题5分，共60分）

1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 2

2A ＝c

c

b 2+，则△ABC 是()

A.直角三角形

B.等腰三角形或直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于() A.135B.100C.95D.80

3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于() A.

23B.33C.43D.6

3 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 2

5-?n －

5

1

，则实数t 的值为() A.4B.5C.

54D.5

1 5.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是

3km ，那么x 的值为()

A.3

B.23

C.3或23

D.3

6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则() A.

44S a =66S a B.44S a ＞66S a C.44S a ＜66S a D.44S a

≤6

6S a

7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝

2

1

x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为() A.a n ＝n 2

＋1B.a n ＝n 2

C.a n ＝n ＋1

D.a n ＝n

8.设函数f (x )＝???????≥-.0,1,0,13

2

＜x x

x x 若f (a )

A.(－1，＋∞)

B.(－∞，－1)

C.(3，＋∞)

D.(0,1) 9.已知a >0，b >0，则a 1＋b

1

＋2ab 的最小值是() A.2B.22C.4D.5

10.已知目标函数z =2x +y 中变量x ,y 满足条件??

?

??≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则()

A.z max =12,z min =3

B.z max =12,无最小值

C.z min =3,无最大值

D.z 无最大值,也无最小值

11.如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则

)1()2(f f ＋)

3()

4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)

2013()

2014(f f ＝() A.4018B.1006C.2010D.2014

12.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab )>1，则c 的取值范围是()

A.0

B.1

C.c >8

D.08 二、填空题（每题4分，共16分）

13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B = .

14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝???

?

??+???? ?

?+y y x x 11的最小值为 . 15.两个等差数列的前n 项和之比为

1

210

5-+n n ，则它们的第7项之比为 .

16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝3

1

S n (n ≥1)，则a n ＝ .

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)

17.已知向量m ＝??

? ??21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；

(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.

18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11

144421---n b b b Λ=n b n a )1(+(n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;

19.如图1,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)

点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船 发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C

点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船 到达D 点需要多长时间？图1

20.解关于x 的不等式ax 2

－2≥2x －ax (a ∈R ).

21.已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；

(2)将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n

最小值.

22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t ，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210t 时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.

参考答案及点拨

一、1.A 点拨：因为cos 2

2A ＝c c b 2+及2cos 2

2A －1＝cos A ，所以cos A ＝c

b .而

cos A =bc

a c

b 2222-+，∴b 2+a 2=

c 2

，则△ABC 是直角三角形.故选A.

2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝

2

14

3a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×3

23??

? ??＝135. 3.B 点拨：(3b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A

?3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，又sin B ≠0，所以cosA ＝

3

3

.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝

51t －51，a 2＝S 2－S 1＝5

4

t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知2

54??? ??t ＝??

?

??-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5. 5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理得x 2

－33x

＋6＝0，解得x ＝3或23.

6.B 点拨：由题意得公比q >0，当q ＝1时，有

44S a －66S a ＝41－6

1

>0，即44S a >66S a ； 当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()6

1511)1(q

a q q a --＝q 3

(1－q )()()

642111q q q ---?＝231q q +611q q --?>0，所以44S a >6

6

S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝2

1

a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝

2

1()1212

---+-n n n n a a a a ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.

∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0， 即a n －a n －1＝1(n ≥2).

∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n (n ∈N +).

8.A 点拨：不等式f (a )

??,1,0a a

a ＜＜解得a ≥0或－1

f (a )

9.C 点拨：依题意得

a 1＋

b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab ?1＝4，当且仅当a 1＝b

1

，

且

ab

1

=ab 时，取等号，故应选C. 10.C

11.D 点拨：由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，

)

()

1(n f n f +＝f (1)＝2，所以

)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)

2013()

2014(f f ＝2×1007＝2014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b )，即b ＝2a .又因为a ，b ，ab

成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2

.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab )＝log c 8>1＝log c c ，有1

二、13.60°点拨：依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝2

1

，又0°

14.425点拨：z ＝???

? ??+

??? ??

+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0

2??

?

??+y x ＝41.设f (t )＝t ＋t 2，t ∈??? ??41,0，设41≥

t 2>t 1>0，则f (t 1)－f (t 2)＝???? ??+

112t t －???? ?

?+222t t ＝212121)

2)((t t t t t t --. 因为

4

1

≥t 2>t 1>0， 所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<

16

1

.则t 1·t 2－2<0. 所以f (t 1)－f (t 2)>0.即f (t 1)>f (t 2).∴f (t )＝t ＋

t 2在??? ??41,0上单调递减，故当t ＝4

1时f (t )＝t ＋

t 2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值4

25

. 15.3∶1点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则

n n T S ＝1

2105-+n n ，而77b a

＝

13

1131b b a a ++＝1313T S ＝113210

135-?+?＝3. 16.21,114,233n n n -=??

???≥ ????

?

点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)?

n n a a 1+＝3

4

(n ≥2)?n ≥2时，数列{a n }是以

3

4

为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 22

34-??

? ???n .

令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1?a 2＝31，∴a n ＝312

34-?

?

?

???n (n ≥2).

故???

??≥??

? ???=-.2,3431,112n n n ， 三、17.解：(1)因为m ∥n ， 所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－

2

3

＝0. 所以

22cos 1A -＋23sin2A －2

3＝0.

即

23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ??? ?

?

-62πA ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －

6π∈??

? ??-611

,6ππ， 故2A －

6π＝2π，即A ＝3

π. (2)由余弦定理，得4＝b 2

＋c 2

－bc ， 又S △ABC ＝

2

1

bc sin A ＝43bc ，

而b 2

＋c 2

≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝

2

1

bc sin A ＝43bc ≤43×4＝3.

当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝

3

π

，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n +1=2a n +1(n ∈N *

),∴a n +1+1=2(a n +1).

∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n

.

即a n =2n －1(n ∈N *

). (2)证明：∵1

14-b 124-b …14-n b =()n b

n a 1+.

∴n

b b b n -+++)(214

Λ=n nb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①

2［(b 1+b 2+…+b n +b n +1)－(n +1)］=(n +1)b n +1.②

②－①，得2(b n +1－1)=(n +1)b n +1－nb n ,即(n －1)b n +1－nb n +2=0,③ ∴nb n +2－(n +1)b n +1+2=0.④

④－③，得nb n +2－2nb n +1+nb n =0,即b n +2－2b n +1+b n =0,∴b n +2－b n +1=b n +1－b n (n ∈N *

).∴{b n }是等差数列.

19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB 中，由正弦定理得，

DAB DB ∠sin ＝ADB

AB

∠sin .

∴DB ＝

ADB

DAB AB ∠∠?sin sin ＝???+105sin 45sin )33(5＝???+?????+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝

2

13)

13(35++＝103(海里).

又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，

BC ＝203海里，

在△DBC 中，由余弦定理得

CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×

2

1

＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝

30

30

＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.

20.解:原不等式可化为ax 2

＋(a －2)x －2≥0?(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0?x ≤－1. (2)当a ＞0时， 原不等式化为??? ??-

a x 2(x ＋1)≥0?x ≥a

2

或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为??

?

?

?

-

a x 2(x ＋1)≤0. ①当

a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a 2

＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1；

③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a

2

≤x ≤－1.

综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为??

???

?-a

2,1；

当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为??

????-1,2

a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；

当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪??

????+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2， 又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ， 从而S n ＝

2

)

9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列的公比为q ，则q ＝

12b b ＝2

1， 所以T n ＝2

112114-????

??????? ??-n ＝8??????????? ??-n 211.令f (n )=n

??? ??21.

因为f (n )＝n

??

?

??21是关于自然数n 的减函数，

所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.

又S m ＝2)9(m m -＝－2

2921??

? ??-m ＋881，

当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，

即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，

若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n

22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x (x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则

y 1＝

x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1800＝x

900

＋9x ＋10809≥2

x x 9900?＋10809＝10989， 当且仅当9x ＝

x

900

，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则

y 2＝

x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1800×0.90＝x

900＋9x ＋9729(x ≥35). 令f (x )＝x ＋x

100

(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则

f (x 1)－f (x 2)＝???? ??+11100x x －???? ?

?+22100x x ＝212121)

100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，

所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

x

100

在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10069.7. 此时y 2<10989，所以该厂应该接受此优惠条件.