2019-2020年高三一模（数学）含答案
参考公式：1.样本数据12,,
,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。 2.柱体、椎体的体积公式：1,3
V Sh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。 一、填空题：（5分×14=70分）
1.
函数y 的定义域是 .
2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位）
，则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,
0,
1,x y x y x -+≥??+≥??≤?
则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 .
5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元
素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .
6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3
π，以,a b 为邻边
作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .
7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .
8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若t a n 21t a n A c B b
+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22221(0,0)x
y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .
10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=?，若24a =，则9a = .
11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。下列命题：
①若,,||,||,l m l m ααββ??则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ?=则||l m ； ③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.
12.已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 .
13. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ?=,则△ABC 面积的最大值是 .
14.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看
作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0,()
2
,0,x x x x f x x e
?++
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.
15.（本题满分14分）
已知函数()2sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的最小正周期为π，且()4f π
=（1）求,ω?的值；（2）若6()(0)25
f α
απ=-<<，求cos2α的值。
16. （本题满分14分）
如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是
BC 和11B C 的中点.
（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥1B ABC -的体积。
17. （本题满分14分）
如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最
大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的
圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才
能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.
18. （本题满分16分）
在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两焦
点的距离之和为（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =.求过O 、A 、B 三点的圆的方程.
19. （本题满分16分）
将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789a a a a a a a a
a
已知表中的第一列数125,,,
a a a 构成一个等差数列，记为{}n
b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n
c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．
中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{}|(1),n M n n c n N λ*=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围.
20. （本题满分16分）
已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值；
（2）求证：()f x ≥0恒成立的充要条件是1a =；
（3）若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有1212
11|()()|4|
|f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.
南京市2011届高三第一次模拟考试 数学附加题 2011.01
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.
A.选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A 、
B ），过
C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线A
D ，垂足为
D ，AD 交半圆于点E.求证：CB=CE.
B. 选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y ++=在矩阵14a M b ??=?
???对应的变换作用下得到直线:40m x y --=，求实数,a b 的值.
C. 选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C ：10cos ρθ=和直线:3cos 4sin 300l ρθρθ--=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.
D.选修4-5:不等式选讲
解不等式|24|4||x x -<-.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -
中，190,30,1,O O ACB BAC BC A A ∠=∠==，M 是1CC 的中点.
（1）求证：11A B AM ⊥;
（2）求二面角B AM C --的平面角的大小.
23.已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131n n S n S n ++≤.