数学思想与方法01任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。
A. 进位制的发明
B. 四棱锥台体积公式
C. 圆面积公式
D. 球体积公式
2. 欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主
要源泉。
A. 几何
B. 代数与数论
C. 数论及几何学
D. 几何与代数
3. 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，
无疑是使用了（）的方法。
A. 几何测量
B. 代数计算
C. 占卜
D. 天文测量
4. 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。
A. 爱奥尼亚学派
B. 毕达哥拉斯学派
C. 亚历山大学派
D. 柏拉图学派
5. 数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。
A. 五千年前
B. 春秋战国时期
C. 六七千年前
D. 新石器时代
6. 在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的
代数学几乎都是用（）表示。
A. 符号，符号
B. 文字，文字
C. 文字，符号
D. 符号，文字
7. 古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长
度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
A. 100亿年
B. 10亿年
C. 1亿年
D. 1000亿年
8.
巴比伦人是最早将数学应用于（）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程
A. 商业
B. 农业
C. 运输
D. 工程
9. 《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
A. 西汉末年
B. 汉朝
C. 战国时期
D. 商朝
10. 根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）
中演绎出的结论。
A. 最终原理
B. 一般原理
C. 自然命题
D. 初始原理
02任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 《几何原本》就是用（）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已
成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
A. 代数
B. 统计
C. 分析
D. 逻辑
2. 《九章算术》确定了中国古代数学的框架，不仅以（）归纳体系、（）内容、（）方
法为特点影响我国数学成就的建立，而且在培养和造就我国数学家方面起到了促进作用。
A. 封闭的、算法化的、演绎化的
B. 封闭的、逻辑化的、模型化的
C. 开放的、逻辑化的、演绎化的
D. 开放的、算法化的、模型化的
3. 《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点。《九章算术》亦有其不容
忽视的缺点：没有任何（）数学概念的定义，也没有给出任何（）。
A. 代数概念,推导和证明
B. 集合概念,推导和证明
C. 数学概念,推导和证明
D. 几何概念,推导和证明
4. 欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作,它的著名的平行公设是（）。
A. 过两点能作且只能作一直线
B. 线段(有限直线)可以无限地延长
C. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直
线经无限延长后在这一侧一定相交
D. 以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆
5. 《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容：
（）。
A. 定义、公理、公设、命题
B. 定义、公式、公设、命题
C. 定义、公理、公设、推论
D. 定理、公理、公设、命题
6. 《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，它的内容十分丰富，全书采用（）
的形式，与生产、生活实践密切相关。
A. 推论形式
B. 问题形式
C. 证明形式
D. 叙述形式
7. 《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，成书于
（）左右。
A. 公元一世纪
B. 公元前一世纪
C. 300A.C.
D. 300B.C.
8. 《九章算术》的叙述方式以（）为主，先给出若干例题，再给出解法；《几何原本》的叙
述方以（）为主，先给出公理，再通过逻辑推出其他命题。
A. 化归，推论
B. 归纳,演绎
C. 反驳，演绎
D. 计算，证明
9. 《几何原本》的理论体系并不是完美无缺的,比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义
来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在（）中起什么作用。
A. 计算算法
B. 模型方法
C. 几何作图
D. 逻辑推理
10. 《九章算术》是我国古代的一本数学名著。“算”是指（），“术”是指（）。
A. 算法、证明
B. 算法、技术
C. 算筹、技术
D. 算筹、解题方法
03任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 从16世纪开始，自然科学研究的中心问题是运动，科学家们相信对各种运动过程和各种变化
着的量之间的依赖关系的研究可以用数学来描述。因此，作为运动着的量的一般性质及各个数量之间存在着相依而变的规律，科学家们引出了数学的一个基本概念（）。
A. 微分
B. 积分
C. 导数
D. 函数
2. 初等数学都是以（）为其研究对象，运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物
和现象，对于运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。
A. 数量和图形
B. 不变的数量和固定的图形
C. 变化的数字和固定的图形
D. 不变的数量和变化的图形
3. 就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定数学到随机数
学等是数学思想方法的几次重要突破。代数形成解决了具有复杂（）的问题，变量数学创立刻划了（）的事物与现象，随机数学出现揭示了（）背后所蕴涵的规律。
A. 代数关系、几何问题、统计现象
B. 映射关系、对应关系、随机现象
C. 数量关系，运动与变化、统计现象
D. 数量关系，运动与变化，随机现象
4. 代数不但讨论正整数、正分数和零，而且讨论负数、虚数和复数。其特点是用（）来表示
各种数
A. 字母符号
B. 数字记号
C. 图示符号
D. 箭头符号
5. 第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争
论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。而这场争论是指（）。
A. 无穷小量是零
B. 无穷小量究竟是不是零
C. 无穷大量究竟是很大的数
D. 无穷大量究竟是不是有限
6. 算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种（），并依据问题的
条件列出用（）表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。
A. 未知数据，未知数据
B. 已知数据，未知数据
C. 已知数据，未知数据
D. 已知数据，已知数据
7. 人们在社会实践活动常常遇到两类截然不同的现象，一类是确定性现象；另一类是随机现象。
随机现象并不是杂乱无章的现象，当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性。于是，一种专门适用于分析随机现象的数学工具——（）诞生了。
A. 分形数学与模糊数学
B. 概率理论与数理统计
C. 群论与数论
D. 希尔伯特空间与集合论
8. 变量数学产生的数学基础应该是（），标志是（）。
A. 线性代数、几何学
B. 概率统计、微积分
C. 解析几何、微积分
D. 数论初步、几何学
9. 第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，
自（）的发现起，到公元前370年左右，以（）的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派。
A.
B.
C.
D.
10. 代数学形成过程经历了漫长过程：（）。
A. 文字代数，简写代数，图标代数
B. 文字代数，简写代数，符号代数
C. 文字代数，符号代数，简写代数
D. 符号代数，文字代数，简写代数
04任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。因此，数学的统一
性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构：（）,然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构。可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。
A. 集合、几何结构和群结构
B. 代数结构、几何结构和群结构
C. 代数结构、序结构和拓扑结构
D. 代数结构、序结构和群结构
2. 哥德尔不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变
化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。它证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是（）的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。
A. 自洽
B. 自足
C. 自主
D. 逻辑
3. 公理方法就是从（）出发，按照一定的规定（逻辑规则）定义出其他所有的概念，推导出
其他一切命题的一种演绎方法。
A. 初始概念和公理
B. 定理和概念
C. 公理和推理
D. 定理和命题
4. 第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先
是逻辑的（），促使了数理逻辑这门学科诞生，其中，十九世纪七十年代康托尔创立的（）是产生危机的直接来源。
A. 理论化集合论
B. 数学化集合论
C. 数学化数论
D. 数学化超穷数理论
5. 公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：（），用它们建构起来的理论体系典范分别
对应的是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
A. 形式公理化阶段、实质公理化阶段和纯形式公理化阶段
B. 纯形式公理化阶段、形式公理化阶段和实质公理化阶段
C. 实质公理化阶段、纯形式公理化阶段和形式公理化阶段
D. 实质公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段
6. 罗素悖论引发了数学的第三次危机，它的一个通俗解释就是理发师悖论：在某个城市中有一
位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”现在的问题是：如果理发师的胡子长了，他能给自己刮脸吗？（）
A. 能
B. 不能
C. 无结果
7. 为避免数学以后再出现类似问题，数学家对集合论的严格性以及数学中的概念构成法和数学
论证方法进行逻辑上、哲学上的思考，其目的是力图为整个数学奠定一个坚实的基础。随着对数学基础的深入研究，在数学界产生了数学基础研究的三大学派：（）。
A. 几何学派、抽象学派、现实学派
B. 集合主义、抽象主义、形式主义
C. 抽象主义、现实主义、直觉主义
D. 逻辑主义、直觉主义、形式主义
8. 三段论是演绎推理的主要形式，由（）三部分组成。
A. 小前提、大前提、结论
B. 大前提、小前提、结论
C. 大前提、小推理、结论
D. 前提、推理、结论
9. 自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究对象是否具有（），
定量研究揭示研究对象具有某种特征的（）。
A. 某种特征数量状态
B. 某种特征实际状态
C. 内在关系数量状态
D. 内在关系实际状态
10. 哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们：真与可证是两个概念，
（）。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。
A. 可证的一定是真的，但真的不一定可证
B. 可证的一定是真的，但真的不一定可证
C. 可证的一定是真的，但真的不一定可证
D. 可证的一定是真的，但真的不一定可证
05任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 强抽象就是指通过把—些（）加入到某一概念中而形成（）的抽象过程。
A. 新特征新概念
B. 特征概念
C. 非特征因素新概念
D. 新特征原始概念
2. 弱抽象又称“概念扩张式抽象”，是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型
更为一般的概念或理论。这时，原型成为新的概念或理论的（）。
A. 特例
B. 依据
C. 猜测
D. 证明
3. 例如，“等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→三角形”这是一个（）过程。
A. 强抽象
B. 弱抽象
C. 浅层抽象
D. 深层抽象
4. 概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从
而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个（）。
A. 种概念
B. 子集概念
C. 空集概念
D. 属概念
5. 例如，“菱形→等边四边形→平行四边形→四边形”这是一个（）过程。
A. 强抽象
B. 弱抽象
C. 浅层抽象
D. 深层抽象
6. 人们在思维中，抽象过程是通过一系列的（）的思维操作实现的。
A. 比较、区分和舍弃
B. 区分、舍弃和收括
C. 比较、区分、舍弃和收括
D. 比较、区分、增加和收括
7. 抽象是对同类事物抽取其（）的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。
A. 一般
B. 特殊
C. 异同
D. 共同
8. 一个概括过程包括等几个主要环节。
A. 比较、区分和扩张
B. 区分、扩张和分析
C. 比较、概括、扩张和分析
D. 比较、区分、扩张和分析
9. 概括就是把同类事物的（）联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思
维方法。
A. 不同属性
B. 共同属性
C. 本质属性
D. 非本质属性
10. 抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概
念与表述原来的对象的概念之间不一定有（）。
A. 种属关系
B. 非种属关系
C. 一般关系
D. 固有关系
06任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 猜想就是根据事物的现象，对其本质属性进行（），或者是根据一类事物中的个别事物的
属性对该类事物的共同属性进行（），这样的思维方法叫做猜想。
A. 论证、论证
B. 推测、论证
C. 论证、论证
D. 推测、推测
2. 归纳猜想的思维步骤为：（）。
A. 猜想—特例—归纳
B. 归纳—特例—猜想
C. 特例—归纳—猜想
D. 特例—猜想—归纳
3. 人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的
一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（）。
A. 类比猜想
B. 类比法
C. 猜想法
D. 类比证实法
4. 反例反驳的理论依据是形式逻辑的（）。
A. 矛盾律
B. 同一律
C. 统一律
D. 悖论
5. 数学猜想具有两个明显的特点：（）与（）。
A. 科学性、假想性
B. 科学性、推测性
C. 预测性、推测性
D. 预测性、假想性
6. 完全归纳法是根据对某类事物中的（）的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论
的推理方法。
A. 部分对象
B. 特征
C. 每一对象
D. 原因
7. 反驳反例是用（）否定（）的一种思维形式。
A. 一般、特殊
B. 一个矛盾、另一个矛盾
C. 特殊、特殊
D. 特殊、一般
8. 所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的（）的分析，作出关于该类事物的一般性结论
的推理方法。
A. 全部对象
B. 部分对象
C. 特征
D. 原因
9. 归纳法是通过对一些（）情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。
A. 一般的、普遍的
B. 个别的、特殊的
C. 个别的、强化的
D. 一般的、特殊的
10. 人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思
想方法称为（）。
A. 猜想证实法
B. 猜想法
C. 归纳猜想法
D. 归纳法
07任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 三段论：“偶数能被2整除，是偶数，所以能被2整除”。
A. “是偶数”是小前提
B. “是偶数”是结论
C. “能被2整除”是小前提
D. “能被2整除”是大前提
2. 三段论：“因为3258的各位数字之和能被3整除，所以3258能被3整除”。
A. “3258能被3整除”是小前提
B. “3258能被3整除”是大前提
C. “3258的各位数字之和能被3整除”是大前提
D. “各位数字之和能被3整除的数都能被3整除”是省略的大前提
3. 在化归过程中应遵循以下几个原则：（）。
A. 一般化原则、熟悉化原则、和谐化原则
B. 简单化原则、归一化原则、和谐化原则
C. 简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则
D. 简单化原则、熟悉化原则、统一化原则
4. 数学公理发展有三个阶段：欧氏空间、各种几何空间、（）。
A. 具体空间
B.
三维空间
C. 一般意义上的空间
D. 二维空间
5. 演绎推理是以一个（）一般性判断（或再加上一个特殊的判断）为前提，推出一个作为结
论的判断的推理形式。
A. 个别的或特殊的
B. 一般的或特殊的
C. 个别的或普遍的
D. 一般的或普遍的
6. 化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类（）的问题中，
最终获得原问题的解答的一种手段和方法。
A. 已经能解决或者比较容易解决
B. 可以解决或比较容易解决
C. 具有特定因素
D. 具有普遍特征
7. 古希腊欧几里得的《几何原本》是人们所建立的第一个公理体系，由于它具有特定的研究对
象，其公理以人们的直观经验为基础反映为认为公理是自明的，所以称为（）的公理体系。
A. 抽象
B. 形式化
C. 具体
D. 特殊化
8. 演绎推理的根本特点是（）。
A. 前提为真，结论为假
B. 前提为假，结论必真
C. 前提为真，结论必真
D. 前提为真，结论可能是真
9. 化归方法包括三个要素：（）。
A. 化归目标、化归策略和化归途径
B. 化归对象、化归目标和化归原则
C. 化归对象、化归策略和化归原则
D. 化归对象、化归目标和化归途径
10. 化归的途径：（）。
A. 分解、组合、变形
B. 分解、组合、恒等变形
C. 分解、归纳、恒等变形
D. 分解、归纳、变形
08任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 在古代的游戏与赌博活动中就有（）的雏形，但是作为一门学科则产生于17世纪中期前后，
它的起源与一个所谓的点数问题有关。
A. 概率思想
B. 统计方法
C. 组合方法
D. 分类思想
2. 算法具有下列特点：（）、（）、（）。
A. 有限性、确定性、有效性
B. 无限性、确定性、有效性
C. 有限性、确定性、有限性
D. 无限性、确定性、有限性
3. 所谓计算是指根据已知数量通过（）求得未知数。计算是一种重要的数学方法，任何一门
科学所采用的定量分析都离不开计算。
A. 数学试验
B. 数学推论
C. 数学方法
D. 数学证明
4. 算术与代数的解题方法基本思想的区别:算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许
未知的量参与运算；算术方法的关键之处是（），而代数方法的关键之处是（）。
A. 计算、等式
B. 列算法、列步骤
C. 列算式、列方程
D. 列算式、列方法
5. 算法大致可以分为（）和（）两大类。
A. 单项式算法、指数型算法
B. 多项式算法、指数型算法
C. 多项式算法、对数型算法
D. 单项式算法、对数型算法
6. 学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段（）、（）、（）。
A. 潜意识阶段、明朗化阶段、了解阶段
B. 了解阶段、理解阶段、深刻理解阶段
C.
潜意识阶段、理解阶段、深刻理解阶段
D. 潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段
7. 代数解题方法的基本思想是，①首先依据问题的条件组成内含（）的代数式，并按等量关
系列出方程，②然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
A. 字母
B. 数据
C. 已知数和未知数
D. 数据和符号
8. 计算工具的发展:①经历了（）；②手摇计算机、对数计算尺等机械式计算工具；电动式计
算机；③机电式计算机；。④集成电路计算机、大规模集成电路计算机几个主要阶段。
A. 算盘
B. 古代的计算工具
C. 尺规
D. 绳子
9. 算法是由一组（）组成的一个过程。一个算法实质上就是解决一类问题的一个处方。
A. 合理公式
B. 有限规则
C. 有限数据
D. 合理推论
10. 在计算机时代，（）已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。
A. 计算方法
B. 逻辑推论
C. 数据分析
D. 虚拟试验
09任务_0001
试卷总分：100 测试时间：0
单项选择题
一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。）
1. 数学建模的基本步骤：弄清实际问题、（）、建模、求解、检验。
A. 化简问题
B. 寻找条件
C. 建立对应关系
D. 深化问题
2. 数学学科的新发展——分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其（）。
A. 结构更加明朗
B. 结构与原先一样
C. 结构更加模糊
D. 结构与原先不同
3. 根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶段，
可相应地将小学数学思想方法教学设计成（）、（）、（）三个阶段。
A. 多次孕育、初步理解、简单应用
B. 思考、求解、应用
C. 多次分析、初步理解、简单应用
D. 多次分析、简化求解、深化应用
中学解题数学思想方法与解题方法 第一部分：数学思想方法 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识,而数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。数学思想与数学方法是数学知识中莫基性成分,是学生获得数学能力必不可少的。 一、函数与方程思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。 所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。 所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 二、数形结合思想 数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。 数形结合思想研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面由数思形，由形思数数形结合，用形解决数的问题。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。 三、分类与整合思想 分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。 1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 2)从具体出发，选取适当的分类标准；划分只是手段，分类研究才是目的
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 初中数学解题思想方法 数学解题思想方法有配方法、换元法、判别式法、待定系数法、消元法。以上是解题技 巧上的思想方法，比它们更具有普遍意义的思想方法有转化与化简思想方法、数学结合思想方法、归纳猜想、分类讨论、函数与方程思想等。在数学解题过程中我们要养成灵活运用数学思想方法的意义和习惯。 联想在解题中起着重要的作用，从自己的大脑知识仓库中找出与要解题目接 很相似 的原理、方法或结论，变通使用这些知识使问题得以解决。 一、配方法：是指将代数式通过配凑等途径，得到完全平方式或立方式，它广泛应用于 初中数学的各个方面，代数式的化简求值、解方程（组）、求最值等方面。 例1、求5245422 2-+-++y x y xy x 的最小值。 例2、设a ，b 为实数，求b a b ab a 222--++的最小值。 例3、在直角坐标中，有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6），已知b ax y +=上横 坐标为0，1，2的点分别为D 、E 、F ，试求：222CF BE AD ++的最小值。 例4、已知x ，y ，z 是实数，且 0))((4)2=----z y y x x z （，求y z x 2+的值。 例5．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）（2012） A ．18-. B ．0. C ．1. D ． 98. 例6 .已知a<0,动点11(,),(1,0),,A a a B A B AB a a +-定点则两点距离的最小值为 二、换元思想方法 根据问题的特征或关系适当引进辅助的元素，替换原问题中的数、字母或式子，从而使 原问题得以解决，这种通过引用变量替换来解决问题的思想方法叫做换元思想方法，它是数学解题的一种基本思想方法，有着广泛的应用。 例722011 例8、已知12433++=a ，求 32133a a a ++的值。 （其中0402≥-≠mq ，n m ） 高中数学解题基本方法--换元法 高中数学解题基本方法--换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和α∈[0,]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。 3.已知数列 a 中，a＝－1，a??a＝a－a，则数列通项a＝___________。 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程＝3的解是_______________。 6.不等式log 2－1 ??log 2－2 〈2的解集是_______________。 【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋； 2小题：设x＋1＝t t≥1 ，则f t ＝log[- t-1 ＋4]，所以值域为－∞,log4]； 、论述题 1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列岀关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列岀方程，然后通过对方程进行恒等变换求岀未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。 解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在 一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。 在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所 1. 论述社会科学数学化的主要原因。解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面： 第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它岀现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现 象经过量化后可以进行数值处理。 2. 论述数学的三次危机对数学发展的作用。 解答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数, 导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。 由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映岀矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 1. 分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？ (1)封闭的演绎体系 因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念(除原 蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。始概念)也基本上是符合逻辑上 高中数学解题基本方法--参数法 参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。 2. （理）直线 x t y t =-- =+ ? ? ? ?? 22 32 上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。 （文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。 3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为 ____________________。 4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。 5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”) 6. 椭圆x2 16 ＋ y2 4 ＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。 A. 3 B. 11 C. 10 D. 22 【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z； 2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已 知曲线为椭圆，a＝1，c＝1 1 + k ，所以e＝－ 1 k k k 2+； 3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线； 4小题：设三条侧棱x、y、z，则1 2 xy＝6、 1 2 yz＝4、 1 2 xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。 5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减； 谈谈我对我国小学数学教育的看法 九年义务教育改革的核心是实施素质教育，数学作为一门基础自然学科，如何实施素质教育这正是当前广大数学教师非常关注的新课题。实施素质教育是我国社会主义现代化建设和迎接国际竞争的迫切需要。我们要在21世纪激烈的国际竞争中处于战略主动地位，就必须优先发展教育，必须实施素质教育，唯有如此才能实现发展教育的根本任务，提高全民整体索质，从而实现社会的快速发展。素质教育关系着一个国家和民族的未来。小学是义务教育的奠基工程，而小学数学则是基础教育的一门重要学科。如何在小学数学教学中全面贯彻落实素质教育，发挥整体育人功能，这是每位教育工作者都应认真思考的问题。本文就小学数学素质教育谈几点认识。 一、学习素质理论，统一思想认识 由于我国的基础教育在“应试教育”的轨道上运行多年，人们在思想观念、政策导向、管理体制乃至教育的内容与方法等诸多方面，都形成了一整套固定的模式，因此，要实现从应试教育向素质教育的转轨，决非轻而易举的事。随着社会的进步和发展，以及教育体制持续不断的改进，大家认识到素质教育是一种旨在谋求学生身心发展的教育，是一种承认差异，重视个性的教育，是确认学生主体，从学生个体实际出发的教育，是一种根据社会需要，给学生的素质发展以价值导向与限定的教育，同时又是一种重知识，又不唯知识，以提高民族素质为最终目的的教育。 二、素质教育是数学教学改革的主旋律 围绕素质教育的实施这一主题，数学教学改革应重视如下几个方面： 1．重视非智力因素，培养学生的个性品质。 一般来说，非智力因素可以转化学习动机，成为学生学习的内驱力；还可以对学生的学习起到调节、强化作用。智力和非智力因素是学生统一的心理活动过程和 高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。 一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关 一、简答题 1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。 解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。 在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。 二、论述题 1. 论述社会科学数学化的主要原因。 解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。 2. 论述数学的三次危机对数学发展的作用。 解答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。 由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 2. 分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 解答：（1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。 （2）算法化的内容 《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一 数学思想与方法作业参考解答（2） 高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上； 初中数学思想之整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想 【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式 四．几何与图形中的整体思想 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b 2 )2＋（ 3 2 b）2； a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1 2 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2； x2＋1 2 x ＝(x＋ 1 x )2－2＝(x－ 1 x )2＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25，则 a 3 ＋a 5 ＝_______。 2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 数学思想与方法整理全网最全资料，一抄在手所向无 敌 一、填空题 1古代数学大致可以分为两种不同的类型，一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。 2、在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表着作是古希腊欧 几里得（《几何原本》） 3、《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。 4、推动数学发展的原因主要有两个：（1）（实践的需要，（2）理论的需要）数学思想方法的几次突破 就是这两种需要的结果。5、变量数学产生的数学基 础是（解析几何），标志是 （微积分） 6、（数学基础知识和数学 思想方法）是数学教学的两 条主线。 7、随机现象的特点是（在 一定条件下，看你发生某种 结果，也困难不发生某种结 果。 8、等腰三角形的抽象过程， 就是把一个新的特征（两边 相等）加入到三角形概念中 去，使三角形概念得到强 化。 9、学生理解或掌握数学思 想方法的过程有如下三个 主要阶段，（潜意识阶段、 明朗化阶段、深刻理解阶 段） 10、数学的统一性是客观世 界统一性额反映，是数学中 各个分支固有的内在联系 的体现，它表现为（数学的 各个分支相互渗透和相互 结合）的趋势。 11、强抽象就是指通过（把 一些新特征加入到某一概 念中去而形成新概念的抽 象过程。 12、菱形概念的抽象过程就 是把一个新的特征（一组邻 边相等）加入到平行四边形 概念中去，使平行四边形概 念得到了强化。 13、演绎法与（归纳法）被 认为是理性思维中两种最 重要的推理方法。 14、所谓类比是指（由一类 事物所具有的某种属性，可 以推测与其类似的事物也 具有该属性的一种推理方 法）常称这种方法为类比 法，也称类比推理、 15、反例反驳的理论依据是 形式逻辑的（矛盾律） 16、猜想具有两个显着特 点：（具有一定的科学性、 具有一定的推测性） 第2 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范 ［题1］ (2006年赣卷第5题) 对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A. f (0)＋f (2)< 2f (1) B. f (0)＋f (2)≤2 f (1) C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1) D. f (0)＋f (2)>2f (1) ［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目. 其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论. ［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件. (ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件. 综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C. ［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0. ［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. ［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1). 满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0 选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C. ［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3 4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. ［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合 条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1) 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 初中数学解题思维方法大全 还在为初中数学解题而烦恼？还在为数学低分而烦躁？那是你没有全面理解初中数学 的解题思维和解题方法。暑假不出门，了解，助你在新学期解决数学难题。 一、选择题的解法 1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。 2、特殊值法：特殊值淘汰法有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关， 在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然 后淘汰错误的，保留正确的。 3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既 采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这 样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义， 又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求 解题思路，使问题得到解决。 二、常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数 含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数 学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之 间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊 与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不 同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要 的解题策略。q D.当a>1时，p>q；当0
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