一个十分重要的函数的图象与性质应用
新课标高一数学在“基本不等式
ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x
x y 1
+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识.那么在高三第一轮复
习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言,我们务必要系统介绍学习
x
b
ax y +
=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x
b
ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y ＝ax 和x=０（y
轴）的直线为渐近线的双曲线．
首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x
b
的值比较,当x 很大很大的时候,
x
b
的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是ａx 的值；当x 的值很小很小,几乎为０的时候，ax 的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是x b 的值.从而,函数x b
ax y +=（ab ≠０）表示
的图象是以y=ａx 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇
函数，它的图象应该关于原点成中心对称．
由于函数形式比较抽象,系数都是字母,因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．
例1．若函数x
x y 3
233+=
是双曲线，求实半轴a,虚半轴ｂ,半焦距c ，渐近线及其焦点,并验证双曲线
的定义.
分析：画图,曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3
3
=
和ｘ=０两条直线;由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3,3），A 1(－3，－3)； ∴ a=OA ＝32，
由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b
=ｔan30o，
得b=2 ， c=22b a +=4， ∴ F 1(2，32）F 2(—２,-32）。为了验证函数的图象是双曲线,在曲线上任意取一点Ｐ(x ，
x
x 3
233+）满足3421=-PF PF 即可；
34)323
23
2()323232()323
23
()2()32323
(
)2(222221=++--+
=++++--+
+-=-x x x x x x x x x x PF PF
所以，函数x
x y 3
233+=
表示的曲线是双曲线. (在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的.）
2.2五种表现形式
表现 1：函数x
b
ax y +
= （a>0，ｂ〉0)的双曲线大概图象如下：
渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在
???-
-∞a b ,(和),+∞???a
b
上函数分别是单调递增的，在???????-0,a b 和???
??a b ,0上函数分别是单调递减的;在x ＝a b -处有极大值，在x=
a
b
处有极小值；值域是
(][)
+∞-∞-,22
,ab ab .
表现 2:函数x
b
ax y += (a 〈0,b ＜0)的双曲线大概图象如下：
渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在??
?-
-∞a b ,(和),+∞???a b 上函数分别是单调递减的,在???????-0,a b 和??
?
??a b ,0上函数分别是单调递增的；在x ＝a b -
处有极小值,在x=a
b
处有极大值;值域是(][)
+∞-∞-,22,ab ab ．
表现1图
表现 3:函数x
b
ax y +
= （a 〉0，ｂ<０）的双曲线大概图象如右:
此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x
b
a y -
='>0,所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R 。
表现 4：函数x
b
ax y +
= (ａ〈０，b>0）的双曲线图象如右：
此时,渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2
x b
a y -
='〈0,所以,函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R ． 特别，后面两个函数的单调性很“单纯”
引起重视，在高考中也多次应用,注意总结.
表现 5:函数 x
b
y = （x ≠0) 是等轴双曲线,轴、y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数
2、3应用举例与重点推广
这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域,或比较大小,或求最值等．
例2．已知ｘ〉y 〉0 ， xy=１ ，求y
x y x -+2
2的最小值及此时x 、y 的值
解：∵ｘ>y>０ ，∴ｘ—y ＞0， 又 xy=1，
∴y x y x -+22=
222
)(2)(2≥-+-=-+-y
x y x y x xy y x ； 解混合式????
?????
-=-=y x y x xy y x 210
得：???????-=+=226226y x
所以当：???
????-=+=22
6226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22。
例３．求y=2
10
1122+---x x x （x ≥0）
解：令ｘ+2=ｔ 则 x=t-2 代入得 34
2-+
-=t
t y 由 x ≥0得t ≥2，而34
2-+
-=t
t y 在[)+∞,2上是减函数的，所以ｙ≤—5，值域为(]5,-∞- 例１1．已知2)(-?-=a a x x f (1)若a ＞０,求()f x 的单调区间
(2)若当[]0,1x ∈时,恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围
解：()2f x x x a =--=???
????≤-+--≥---a x a a x a x a a x ,24)2(,24)2(2
222
当a ＞0时,()f x 的单调递增区间为(,)(,)2
a
a -∞-∞和，单调递减区间为,2a a ??????
。
（2）(i)当0x =时,显然()f x <0成立，此时，a R ∈ （ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x -＜a <2+x x
， 令 (](]22
(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x =-
∈=+∈ 则1
22()1g x x =+〉０，∴()g x 在要求区间内是单调递增,可知[]max ()(1)1g x g ==-
122
()1h x x
=-＜0,∴()h x 在要求区间内是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h ==
此时a 的范围是(-1，3）
综合i 、ii 得:a 的范围是(—1，3）
从上面几个例子可以看出，形如n mx c bx ax y +++=2 或c
bx ax n
mx y +++=2
(m ≠0,ａ≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求,尤
其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候,更要利用这个函数的单调性来解决了。
重点推广：到此我们来看看函数b
ax d
cx y ++= （ａd ≠b ｃ，a ≠0)究竟是什么样的图象
与性质呢？
它可以通过变形化为)
()(a
b x a a b
c a
d a b x c y +-+
+=，继续
化为2
))((a
bc ad a b x a c y -=+-，因此，函数b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象是可以从2
a bc ad xy -=的图象通
过平移而来的,从而b
ax d
cx y ++=（ad ≠bc ，ａ≠0)的图象
也是等轴双曲线,渐近线是a b x -=,a
c
y =的两条直线,
在),(a b --∞和),(+∞-a b 两个区间上都具有相同的单调性,2
a bc
ad ->0时都是单调递减，
2
a bc ad -<0时都是单调递增．这个函数与函数x b
ax y +
= （a 〉0，b>0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样,作为高三复习时候的基本函数，
要熟练理解和应用,．
例4.已知正项数列{}n a 满足a 1