平面向量总复习题
一、选择题
1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案：B
2.当|a |＝|b |≠0且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等
解析：∵（a ＋b ）2（a －b ）＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2
＝0，∴（a ＋b ）⊥（a －b ）． 答案：B
3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a ，b 满足|a |＞|b |且a 与b 同向，则a ＞b ；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋| b |
A.①②③
B.⑤
C.③⑤
D.①⑤
解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误； ②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误； ③两向量不能比较大小，故命题③错误； ④0与任意向量平行，故命题④错误； ⑤命题⑤正确. 答案：B
4.下列四式中不能．．化简为PQ 的是（ ） A.)(BQ PA AB ++ B.)()(QC BA PC AB -++ C.CQ QP QC +- D.BQ AB PA -+
解析：A 选项中，PQ AQ PA PA AQ AQ BQ AB =+=+=+,
B 选项中，AB AB BA AB -=+＝0，PQ CQ P
C QC PC =+=-，PQ ＋0＝PQ C 选项中，QC QC CQ QC -=+＝0，－QP ＋0＝PQ ＋0＝PQ ．
D 选项中，PQ BQ PB PB AB PA ≠-=+,，（∵PQ BQ PB =+） 答案：D
5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于（ ） A.0 B.2＋2
C.2
D.22
解析：∵AC BC AB =+，∴a ＋b ＝c ，∴a ＋b ＋c ＝2c ，∴|2c |＝22.
答案：D
6.如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中不正确．．．的是
A.FA DA FD =+
B.EF DE FD ++＝0
C.EC DA DE =+
D.FD DE DA =+
答案：D
7.已知a ，b 为非零向量，|a ＋b |＝|a －b |成立的充要条件是 A.a ∥b B.a ，b 有共同的起点 C.a 与b 的长度相等 D.a ⊥b
解析：|a ＋b |＝|a －b |?|a ＋b |2＝| a －b |2?（a ＋b ）2＝（a －b ）2?a 2
＋2a 2b ＋b 2?a 2－2 a 2b ＋b 2
?a 2b ＝0?a ⊥b
答案：D
8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是
①|a |2
＝a 2
；②
a
b
a b a =?2；③（a 2b ）2＝a 22b 2；④（a －b ）2＝a 2－2a 2b ＋b 2；⑤若a 2b ＝0，则a ＝0或b ＝0
A.①②③
B.①④
C.②④
D.②⑤
解析：②
a
b
a b a b a a b a ≠==?||cos ||||cos ||||22αα ③（a 2b ）2
＝（| a ||b |cos α）2
＝| a |2
|b |2
cos 2
α，a 2
2b 2
＝| a |2
2|b |2
,∴(a 2b )
2
≠a 22b 2
⑤若a 2b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b 且a ≠0，b ≠0. 答案：B
9.若点P 分有向线段21P P 成定比为3∶1，则点P 1分有向线段P P
2所成的比为
A.－3
4 B.－
3
2 C.－
2
1 D.－
2
3
解析：∵
34
11
2-=P
P P P ，则点P 1分有向线段P P 2所成的比为－34.
答案：A
10.已知点A （x ，5）关于点C （1，y ）的对称点是B （－2，－3），则点P （x ，y ）到原点的距离是
A.4
B.13
C.15
D.17
解析：由中点坐标公式可得
y x =-=-2
3
5,122，解得x ＝4，y ＝1， 再由两点间距离公式得1714222
2=+=
+y x .
答案：D
11.将点（a ，b ）按向量a ＝（h ，k ）平移后，得到点的坐标为 A.（a －h ，b ＋k ） B.（a －h ，b －k ） C.（a ＋h ，b －k ） D.（a ＋h ，b ＋k ）
解析：设平移后点的坐标为（x ′，y ′），则根据平移公式可得???=-'=-'k b y h a x ，∴?
??+='+='k b y h
a x
答案：D
12.点A （2，0），B （4，2），若|AB |＝2|AC |，则点C 坐标为
A.（－1，1）
B.（－1，1）或（5，－1）
C.（－1，1）或（1，3）
D.无数多个
解析：由题意|AB |＝222)24(2
2=+-，
∴|AC |＝
22
|
|=AB . 故点C 分布在以点A 为圆心，半径为2的圆上，故点C 坐标有无数多个. 答案：D
13.将曲线f （x ，y ）＝0按向量a ＝（h ，k ）平移后，得到的曲线的方程为 A.f （x －h ，y ＋k ）＝0 B.f （x －h ，y －k ）＝0 C.f （x ＋h ，y －k ）＝0 D.f （x ＋h ，y ＋k ）＝0
解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x ′，y ′），则根据平移公式可得???=-'=-'k y y h
x x ，
∴?
??-'=-'=k y y h
x x
又f （x ，y ）＝0，∴f （x ′－h ，y ′－k ）＝0
即f （x －h ，y －k ）为平移后曲线方程.
答案：B
14.设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是M （－1，2），则|PQ |等于（ ） A.42 B.25
C.5
D.210
解析：由题意设P （x ，0），Q （0，y ），由中点坐标公式可得2x ＝－1，2
y
＝2 解得x ＝－2，y ＝4，
∴|PQ |＝52204)2(2
2==
+-.
答案：B
15.下列命题中，正确的是 A.|a 2b |＝| a |2|b |
B.若a ⊥（b －c ），则a 2b ＝a 2c
C.a 2
＞|a |
D.a （b 2c ）＝（a 2b ）c
解析：A ．a 2b ＝|a ||b |cos α，|a 2b |＝|a ||b ||cos α|≠| a ||b | B.若a ＝0，则a 2b ＝a 2c ，
若b －c ＝0，即b ＝c ，a 2b ＝a 2c ；
若a ≠0，且b －c ≠0，由a ⊥（b －c ），得a 2（b －c ）＝0. ∴a 2b －a 2c ＝0，∴a 2b ＝a 2c ，故B 正确.
C.若|a |＝0或1，则a 2
＝|a |. D.向量的数量积不满足结合律. 答案：B
16.函数y ＝4sin2x 的图象可以由y ＝4sin （2x －3
π
）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是
A.向左平移6π个单位
B.向右平移6π
个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π
个单位
解析：∵用x －6π替换掉函数y ＝4sin2x 中的x 可得y ＝4sin2（x －6
π
）＝4sin （2x
－
3
π
）， 故可将原函数图象向左平移
6
π
个单位得到. 答案：A
17.已知m ，n 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2m ＋n 和b ＝－3m ＋2n 的夹角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：∵m 2n ＝|m ||n |cos60°＝
2
1， ∴|a |＝7)(22
=
+n m ，|b |＝7)23(2=+-n m
∴a 2b ＝（2 m ＋n ）（－3m ＋2 n ）＝－6 m 2＋2 n 2
＋m 2n ＝－6＋2＋
21＝－2
7 ∴cos α＝2
1
||||-=?b a b a ，∴α＝120°
答案：C
18.将函数y ＝2
2x
的图象按a 平移后，函数解析式为y ＝12
12-x －1，则a 等于（ ）
A.（－2，1）
B.（2，－1）
C.（1，－1）
D.（－1，1） 解析：y ＝12
12
-x －1，即y ＋1＝)2(2
1
2
-x
∴用x －2，y ＋1分别替换了原函数解析式中的x ，y 即??
?=+'=-'y y x x 12，∴???-=-'=-'12
y y x x 即???-==1
2k h
∴a ＝（2，－1） 答案：B
19.在直角三角形中，A 、B 为锐角，则sin A 2sin B
A.有最大值
21
和最小值0 B.有最大值2
1
，但无最小值
C.既无最大值，也无最小值
D.有最大值1，但无最小值 解析：∵△ABC 为直角三角形，∴B ＝2
π
－A ∴sin A 2sin B ＝sin A 2sin （2
π
－A ）＝sin A 2cos A ＝21sin2A
当A ＝B ＝
4
π
时，有最大值21，但无最小值.
答案：B
20.α、β是锐角三角形的三个内角，则 A.cos α＞sin β且cos β＞sin α B.cos α＜sin β且cos β＜sin α C.cos α＞sin β且cos β＜sin α D.cos α＜sin β且cos β＞sin α
解析：∵α、β是锐角三角形两内角，
∴α＋β＞
2π，∴2π＞α＞2
π
－β＞0， ∴sin α＞sin （2
π
－β）
即sin α＞cos β，同理sin β＞cos α 答案：B
21.在△ABC 中，sin A ＜sin B 是A ＜B 的
A.充分不必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 解析：由正弦定理可得
B b A a sin sin =，∴B
A
b a sin sin = 由sin A ＜sin B 可得a ＜b
根据三角形小边对小角可得A ＜B ，反之由A ＜B 也可推得sin A ＜sin B 故sin A ＜sin B 是A ＜B 的充要条件. 答案：C
22.在△ABC 中，tan A 2tan B ＞1，则△ABC 为
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
解析：∵tan A 2tan B ＞1＞0，又∵A 、B 不可能同时为钝角，∴tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan （A ＋B ）＝
B
A B
A tan tan 1tan tan -?＜0，
∴90°＜A ＋B ＜180°，∴0°＜C ＜90°， ∴△ABC 为锐角三角形. 答案：A
23.在△ABC 中，A 、B 、C 相应对边分别为a 、b 、c ，则a cos B ＋b cos A 等于 A.2cos C B.2sin C C.
2
b
a + D.c
解析：由正弦定理得：
B
b
A a sin sin =＝2R 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B
∴a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R cos A sin B ＝2R sin （A ＋B ）＝2R sin C ＝c 答案：D
24.在△ABC 中，已知cos A ＝
135，sin B ＝5
3
，则cos C 等于 A.6516 B.6556 C.6516或65
56 D.－
65
16 解析：由sin B ＝5
3
，得
cos B ＝±B 2sin 1-＝±5
4
但当cos B ＝－5
4
，cos A ＋cos B ＜0，C 无解
∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ） ＝－（cos A cos B －sin A sin B ） ＝sin A sin B －cos B cos A ＝
131225453-265
16
135=
答案：A
25.在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2
，则A 的取值范围是（ ） A.90°＜A ＜180° B.45°＜A ＜90°
C.60°＜A ＜90°
D.0°＜A ＜90°
解析：∵a 2＜b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2
＞0，
∴cos A ＝bc
a c
b 22
22-+＞0，∴A ＜90°，
又∵a 边最大，∴A 角最大
∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A ＞180°， ∴A ＞60°，∴60°＜A ＜90° 答案：C
26.已知点A 分BC 的比为2，下列结论错误的是 A.B 分AC 的比为－3
2 B.C 分BA 的比为－
3 C.A 分CB 的比为2
D.C 分AB 的比为－
3
1 解析：数形结合可得C 选项错误. 答案：C
27.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为 A.23
B.3
C.23或3
D.23或43
解析：sin C ＝
2
3
230sin 32=
?， ∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30° ∴S △ABC ＝2
1
AB 2AC 2sin A ＝23或3. 答案：C
28.在△ABC 中，若sin B 2sin C ＝cos 2
2A
，则△ABC 是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析：∵sin B 2sin C ＝
2
cos 1A
+ 又cos A ＝cos ［180°－（B ＋C ）］＝－cos （B ＋C ）＝－（cos B cos C －sin B sin C ） ∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1 ∴cos （B －C ）＝1，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰三角形. 答案：A 二、解答题
1.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋k e 2，CB ＝e 1＋3 e 2，CD ＝2e 1
－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.
分析：由于A 、B 、D 三点共线，因此存在实数λ，使AB ＝λBD ，而BD ＝CD －CB ＝e 1－4e 2，将AB 、BD 的e 1、e 2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于λ、k 的方程组，便可求得k 的值.
解：BD ＝CD －CB ＝（2 e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2，
∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB ＝λBD ，∴2 e 1＋k e 2＝λ（e 1－4e 2） 于是可得?
?
?-==λλ
42k ，解得k ＝－8.
评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线
的区别和联系.
2.已知a 、b 是两个非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求t 的值；
（2）求证b ⊥（a ＋t b ）.
分析：利用|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2
进行转换，可讨论有关|a ＋t b |的最小值问题，若能算得b 2（a ＋t b ）＝0，则证明了b ⊥（a ＋t b ）.
（1）解：设a 与b 的夹角为θ
则|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2
＝a 2＋2a 2t b ＋t 2b 2
＝|a |2＋2t |a ||b |cos θ＋t 2|b |2
＝|b |2t 2＋（2|a ||b |cos θ）t ＋|a |2
＝|b |2
（t ＋
|
|||b a cos θ）2＋|a |2sin 2
θ ∴当t ＝－
|
|||b a cos θ＝－22||||cos ||||b b
a b b a ?-=θ时，|a ＋t b |有最小值.
（2）证明：b 2（a ＋t b ）＝b 2（a －2||b b a ?2b ）＝a 2b －2
||b b
a ?2
b 2b ＝a 2b －a 2b ＝0
∴b ⊥（a ＋t b ）.
评述：对|a ＋t b |变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2
的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的.
3.如图所示，OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为边的平行四边形，又BM ＝
3
1
BC ，CN ＝3
1
CD ，试用a ，b 表示MN ON OM ,,.
解：OB OA BA -=＝a －b
∵6
1
6131===
BA BC BM （a －b ） ∴BM OB OM +==b +61（a －b ）＝61a ＋6
5
b
又由OD ＝a ＋b ，得
32326121==+=
OD OD OD ON a ＋3
2
b 32(=-=OM ON MN a ＋32b ）－（61a ＋65b ）＝21a －6
1
b
评述：由于a ，b 不共线，因此a ，b 构成平行四边形OADB 所在平面的一组基底，用它
们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a ，b 表示的向量连同a ，b 设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.
4.已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足2222||||||||CA OB BC OA +=+2||OC =
2||AB +．
求证：O 点是△ABC 的垂心
证明：设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则BC ＝c －b ，CA ＝a －c ，AB ＝b －a . ∵|OA |2
＋|BC |2
＝|OB |2
＋|CA |2
＝|OC |2
＋|AB |2
∴a 2＋（c －b ）2＝b 2＋（a －c ）2＝c 2＋（b －a ）2
即c 2b ＝a 2c ＝b 2a ，
故AB 2OC ＝（b －a ）2c ＝b 2c －a 2c ＝0
BC 2OA ＝（c －b ）2a ＝c 2a －b 2a ＝0
∴AB ⊥OC ，BC ⊥OA ， ∴点O 是△ABC 的垂心.
5.如图所示，圆O 内两弦AB 、CD 垂直相交于P 点，求证：PO PD PC PB PA 2=+++. 证明：设M 、N 分别为圆O 的两弦AB 、CD 的中点，连OM 、ON ，则OM ⊥AB ，ON ⊥CD . ∵PN PD PC PM PB PA 2,2=+=+ 而AB ⊥CD ，∴四边形MPNO 为矩形
∴PO PN PM =+，
∴PO PD PC PB PA 2=+++
6.已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标.
解：设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得AD ⊥BC ，且B 、D 、C 共线，
∴?????=?DB
CD BC AD //0 ∴?
?
?=+---+=--?+-0)1)(3()2)(3(0
)3,6()1,2(y x y x y x
∴??
?=+---+=+---0
)1)(3()2)(3(0
)1(3)2(6y x y x y x
∴??
?=+-=-+0120
32y x y x
解得??
?==1
1
y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）
7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边，且2(sin A －sin B )，sin A －sin C ，2（sin B －sin C ）成等比数列.
求证：2b ＝a ＋c .
证明：要证2b ＝a ＋c ，由正弦定理只要证： sin B －sin A ＝sin C －sin B 即可：
由已知可得：（sin A －sin C ）2
－4（sin A －sin B ） （sin B －sin C ）＝0，且sin A ≠sin B ，构造方程：
（sin A －sin B ）x 2
－（sin A －sin C ）x ＋（sin B －sin C ）＝0，且x ＝1是方程的根
Δ＝（sin A －sin C ）2
－4（sin A －sin B ）2（sin B －sin C ）＝0，∴方程有两相等实根
由韦达定理可知：
B
A C
B sin sin sin sin --＝1
∴sin B －sin C ＝sin A －sin B ，故结论得证.
8.设i ，j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，且AB ＝4i ＋2j ，
AC ＝3i ＋4j ，证明△ABC 是直角三角形，并求它的面积.
解：AB AC BC -=＝（3i ＋4j ）－（4i ＋2j ）＝－i ＋2j 又i ⊥j ，∴i 2j ＝0
∵AB 2BC ＝（4i ＋2j ）（－i ＋2j ）＝－4i 2＋6i 2j ＋4j 2
＝0，∴AB ⊥BC ∴△ABC 是直角三角形， ∴S ＝
21AB |2|BC |＝2
1
32535＝5 9.已知△ABC 中三内角满足A ＋C ＝2B ，
B
C A cos 2
cos 1cos 1-
=+，求cos 2C A -的值. 解：由A ＋C ＝2B ，可得B ＝60°，A ＋C ＝120° 设
2
C
A -＝α，则A －C ＝2α， ∴A ＝60°＋α，C ＝60°－α， ∴
)
60cos(1
)60cos(1cos 1cos 1αα-?++?=+C A B
cos 24
3cos cos sin 43cos 41cos sin 2
3cos 211
sin 23cos 211
222-
=-=
-=++
-=
αα
ααααααα 将B =60°代入得
224
3
cos cos 2-=-
αα
∴22cos 2
α＋cos α－
2
2
3＝0 ∴（2cos α－2）（22cos α＋3）＝0 ∴22cos α＋3＞0
∴cos α＝
2
2 即cos
2
2
2=-C A 10.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：C
B A c b a sin )
sin(222-=-
证明：∵a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，
C
B c b sin sin =，
C ＝π－（A ＋B ） ∴C A
B A c b c b a sin cos sin 21cos 21222-=-=-
C B A C A B B A C
A
B B A
C A B C sin )sin(sin cos sin cos sin sin cos sin 2)sin(sin cos sin 2sin -=
-=-+=
-=
故原等式成立.
11.在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c 为最大边，若ac cos A ＋bc cos B ＜4S ，其中S 为△ABC 的面积.
求证：△ABC 为锐角三角形.
证明：由余弦定理及三角形面积公式ac cos A ＋bc cos B ＜4S
即ac 2bc a c b 2222-+＋bc 2ac
b c a 22
22-+＜2ab sin C ＜2ac
∴a 2
（b 2
＋c 2
－a 2
）＋b 2
（a 2
＋c 2
－b 2
）＜4a 2b 2
即（a 2＋b 2）c 2＜a 4＋2a 22b 2＋b 4＝（a 2＋b 2）2
， ∴c 2＜a 2＋b 2
，
∵cos C ＝ab
c b a 22
22-+＞0，∴C 为锐角
又c 为最大边，故C 为最大角， ∴△ABC 为锐角三角形. 12.在△ABC 中，sin A ＝
C
B C
B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.
解：由正弦定理、余弦定理可得：
ab
c b a ca b a c c
b a 222
22222-++
-++=
∴b
c b a c b a c 222
22222-++-+＝b ＋c
∴b （a 2
－b 2
）＋c （a 2
－c 2
）＝bc （b ＋c ）
∴（b ＋c ）a 2＝（b 3＋c 3
）＋bc （b ＋c ）， ∴a 2＝b 2＋c 2
，
∴△ABC 是直角三角形.
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
第7章 平面向量习题 练习7.1.1 1、填空题 （1）只有大小，没有方向的量叫做 ；既有大小，又有方向的量叫做 ； （2）向量的大小叫做向量的 ，模为零的向量叫做 ，模为1的向量叫做 ； （3）方向相同或相反的两个非零向量互相 ，平行向量又叫 ，规定： 与任何一个向量平行； （4）当向量a 与向量b 的模相等，且方向相同时，称向量a 与向量b ； （5）与非零向量a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量a 的 ； 2、选择题 （1）下列说法正确的是（ ） A ．若|a |=0，则a =0 B ．若|a |=|b |，则a =b C ．若|a |=|b |，则a 与b 是平行向量 D ．若a ∥b ，则a =b （2）下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或 相反；③向量AB u u u r 与向量CD u u u r 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c .那么a ∥c 正确的命题个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.0 参考答案： 1、（1）数量；向量（2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量 （4）相等（5）负向量 2、（1）A （2）B 练习7.1.2 1、选择题 （1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（ ） A ．AB=DC u u u r u u u r B ．AD+AB=A C u u u r u u u r u u u r C ．AB +AD=B D u u u r u u u r u u u r D ．AD+CB=0u u u r u u u r r （2）化简：AB+BC CD u u u r u u u r u u u r =（ ） A ．AC u u u r B ．AD u u u r C ．B D u u u r D ．0r 2、作图题：如图所示，已知向量a 与b ，求a +b A D C B a b
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析： 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2 (4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分） 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 平面向量应用举例练习题 一、选择题 1．一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为53N ，则两个力的合力的大小为( ) A ．103N B ．0N C ．56N D.56 2N 2．河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10m/s B ．226m/s C ．46m/s D ．12m/s 3．(2010·山东日照一中)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2 的值为( ) A.2 3 B ．－23 C.56 D ．－56 4．已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( ) A ．lg2 B ．lg5 C ．1 D ．2 5．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与 △ABC 的面积之比是( ) A.1 3 B.12 C.2 3 D.3 4 6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( ) A ．(－2,4) B ．(－30,25) C ．(10，－5) D ．(5，－10) 7．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC → 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23 b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ， i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时高中数学平面向量doc
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