这个表提供的信息为：
1，局域网是192。168。203的IP段，你的IP地址是128，网关设置为2，如果你访问的网络是任意网络（0.0.0.0），你将从网关192.168.203.2这个出口出去。
2，内部循环网络是规定为127.0.0.0的网段，你的内部地址是127.0.0.1，如果你ping localhost，讲返回127.0.0.1的ping通信息，表明你的物理网卡和硬件设备正常。
3，如果你访问的网络是自己的网段（192.168.203.0），你将从自己的接口192.168.203.128出去，不经过网关。
4，发起广播的接口也是由自己出去。注：ip地址最后一位是255的，都是广播地址，关于广播这里不详述，建议查看相关资料
5，多播和组播，你不用理会一般用不到。
6，你的默认网关是192.168.203.2.如果有其他网关，你访问网络将先从这个网关出去.
综合谱图解析 1.某未知物分子式为C5H12O,它的质谱、红外光谱以及核磁共振谱如图，它的紫外吸收光谱在200 nm以上没有吸收，试确定该化合物结构。并解释质谱中m/z 57和31的来源。
2?待鉴定的化合物（I ）和（II ）它们的分子式均为C 8H 12O 4。它们的质谱、红外 光谱和核磁共振谱见图。也测定了它们的紫外吸收光谱数据：（I ）入max 223nm , S 4100; （II ）入max 219nm 2300,试确定这两个化合物。 未之物（I ）的谱图 127 100-1 - 10 10 曲 凹 M 亠亲) ? 册 -J P 科 J S W
未之物（II）的谱图
3、某未知物的分子式为C 9H 10O 2，紫外光谱数据表明：该物入max 在26 4、262 I? 257、252nm （&maxIOI 、158、147、194、153）;红外、核磁数据如图所示，试 0 LOtMio. sopoiggg 翌g 嚴效 却31卿］卿丄电00 uyo iw mo 推断其结构，并说明理 由。 ! \ \ 「 1 CCh 1 I J —' 1 1 _■ ____ __ _ ,B . _ ，- T J.亠」亠亠」亠 | * --------------- U 5>0 4. 0 d/ppm
4.某未知物C ii H i6的UV 、IR 、中NMR 、MS 谱图及13C NMR 数据如下，推导 未知物结构。 序号 S c ( ppm ) 碳原子个数 序号 S c ( ppm ) 碳原子个数 1 143.0 1 6 32.0 1 2 128.5 2 7 31.5 1 3 128.0 2 8 22.5 1 4 125.5 1 9 10.0 1 5 36.0 1 MS(E[] 100 so 30D A/tnn 350 血 >0624*68<)2 4 內 OS n 2 2 98765^43211 0SU 'H bMRfCDCI^
四大谱图基本原理及图谱解析 一.质谱 1.基本原理： 用来测量质谱的仪器称为质谱仪，可以分成三个部分：离子化器、质量分析器与侦测器。其基本原理是使试样中的成分在离子化器中发生电离，生成不同荷质比的带正电荷离子，经加速电场的作用，形成离子束，进入质量分析器。在质量分析器中，再利用电场或磁场使不同质荷比的离子在空间上或时间上分离，或是透过过滤的方式，将它们分别聚焦到侦测器而得到质谱图，从而获得质量与浓度(或分压)相关的图谱。 在质谱计的离子源中有机化合物的分子被离子化。丢失一个电子形成带一个正电荷的奇电子离子(M+·)叫分子离子。它还会发生一些化学键的断裂生成各种 碎片离子。带正电荷离子的运动轨迹：经整理可写成： 式中：m／e为质荷比是离子质量与所带电荷数之比；近年来常用m／z表示质荷比；z表示带一个至多个电荷。由于大多数离子只带一个电荷，故m／z就可以看作离子的质量数。 质谱的基本公式表明： （1）当磁场强度(H)和加速电压(V)一定时，离子的质荷比与其在磁场中运动半径的平方成正比(m／z ∝r2m)，质荷比(m／z)越大的离子在磁场中运动的轨道半径(rm)也越大。这就是磁场的重要作用，即对不同质荷比离子的色散作用。 （2）当加速电压(V)一定以及离子运动的轨道半径(即收集器的位置)一定时，离子的质荷比(m／z)与磁场强度的平方成正比(m／z∝H2)改变H即所谓的磁场扫描，磁场由小到大改变，则由小质荷比到大质荷比的离子依次通过收集狭缝，分别被收集、检出和记录下来。 （3）若磁场强度(H)和离子的轨道半径(rm)一定时，离子的质荷比(m／z)与加速电压(V)成反比(m／z∝1／V)，表明加速电压越高，仪器所能测量的质量范
注：上机作业文件夹以自己的班级姓名学号命名，文件夹包括如下上机报告和Matlab程序。上机报告模板如下：
分别用函数ode45和ode15s计算求解，分别画出图形，图形分别标注标题。 4、求解微分方程 =y - y + y t ,1 )0( ,1 + '= 先求解析解，在[0,1]上作图； 再用ode45求数值解(作图的图形用“o”表示)，在同一副图中作图进行比较，用不同的颜色表示。 三. 上机方法与步骤 给出相应的问题分析及求解方法，并写出Matlab程序，并有上机程序显示截图。 题1：直接用命令dsolve求解出微分方程的通解。 Matlab程序： dsolve('D3y-D2y-3*Dy+2*y','x')
题2：将微分方程组改写为 5cos2exp(2) 5cos2exp(2) (0)2,(0)0 dx t t x y xt dy t t x y dt x y ? =+--- ? ? ? =-+-+- ? ? == ? ? ? ，再用命令dsolve求解微分方 程的通解。 Matlab程序： 建立如下： [x,y]=dsolve('Dx=5*cos(t)+2*exp(-2*t)-x-y','Dy=-5*cos(t)+2*exp(-2*t)+x-y','x(0)=2,y(0) =0','t') x=simple(x) y=simple(y) 题3：由于所给的微分方程为一阶微分方程，则直接用函数ode45和ode15s求解微分方程的数值解，具体程序如下： （1）Matlab程序： 建立M文件，如下： function dy=fun2(t,y); dy=zeros(2,1);
2013/12/2四大图谱综合解析[解] 从分子式CHO，求得不饱和度为零，故未知物应为512饱和脂肪族化合物。 1 某未知物分子式为CHO，它的质谱、红外光谱以及核磁共振谱如图，512未知物的红外光谱是在CCl溶液中测定的，样品的CCl稀溶液它的紫外吸收光谱在200 nm以上没有吸收，试确定该化合物结构。44-1的红外光谱在3640cm处有1尖峰，这是游离O H基的特征吸收峰。样品的CCl4浓溶液在3360cm-1处有1宽峰，但当溶液稀释后复又消失，说明存在着分子间氢键。未知物核磁共振谱中δ4. 1处的宽峰，经重水交换后消失。上述事实确定，未知物分子中存在着羟基。未知物核磁共振谱中δ0.9处的单峰，积分值相当3个质子，可看成是连在同一碳原子上的3个甲基。δ3.2处的单峰，积分值相当2个质子，对应1个亚甲基，看来该次甲基在分子中位于特丁基和羟基之间。质谱中从分子离子峰失去质量31（－CHOH）部分而形成基2峰m/e57的事实为上述看法提供了证据，因此，未知物的结构CH是3CCl稀溶液的红外光谱, CCl浓溶液44 CHOH C HC在3360cm-1处有1宽峰23 CH3 2. 某未知物，它的质谱、红外光谱以及核磁共振谱如图，它的根据这一结构式，未知物质谱中的主要碎片离子得到了如下紫外吸收光谱在210nm以上没有吸收，确定此未知物。解释。CH CH3+3.+ +C CH HCOH CHOH C HC3223 m/e31CH CH33 m/e88m/e57-2H -CH-H-CH33m/e29 CH m/e73CHC23+ m/e41 [解] 在未知物的质谱图中最高质荷比131处有1个丰度很小的峰，应从分子量减去这一部分，剩下的质量数是44，仅足以组为分子离子峰，即未知物的分子量为131。由于分子量为奇数，所以未成1个最简单的叔胺基。知物分子含奇数个氮原子。根据未知物的光谱数据中无伯或仲胺、腈、CH3N酞胺、硝基化合物或杂芳环化合物的特征，可假定氮原子以叔胺形式存CH3在。红外光谱中在1748 cm-1处有一强羰基吸收带，在1235 cm-1附近有1典型正好核磁共振谱中δ2. 20处的单峰(6H )，相当于2个连到氮原子上的宽强C－O－C伸缩振动吸收带，可见未知物分子中含有酯基。1040 的甲基。因此，未知物的结构为:-1cm处的吸收带则进一步指出未知物可能是伯醇乙酸酯。O核磁共振谱中δ1.95处的单峰(3H），相当1个甲基。从它的化学位移来CH3N看，很可能与羰基相邻。对于这一点，质谱中，m/e43的碎片离子CHCHCHOC223CH(CHC=O)提供了有力的证据。在核磁共振谱中有2个等面积(2H)的三重33峰，并且它们的裂距相等，相当于AA’XX'系统。有理由认为它们是2个此外，质谱中的基峰m /e 58是胺的特征碎片离子峰，它是由氮原子相连的亚甲－CH－CH，其中去屏蔽较大的亚甲基与酯基上的氧原子22的β位上的碳碳键断裂而生成的。结合其它光谱信息，可定出这个相连。碎片为至此，可知未知物具有下述的部分结构：CHO3NCH2CHCHCHOCCH32231 2013/12/23.某未知物CH的UV、IR、1H NMR、MS谱图及13C NMR数据如下，推[解] 1. 从分子式CH，计算不饱和度Ω＝4；11161116导未知物结构。 2. 结构式推导未知物碳谱数据UV：240～275 nm 吸收带具有精细结构，表明化合物为芳烃；序号δc序号δc碳原子碳原子IR :：695、740 cm-1 表明分子中含有单取代苯环；（ppm）个数（ppm）个数MS ：m/z 148为分子离子峰，其合理丢失一个碎片，得到m/z 91的苄基离子；1143.01632.01 313C NMR：在（40～10）ppm 的高场区有5个sp杂化碳原子；2128.52731.51 1H NMR：积分高度比表明分子中有1个CH和4个－CH－，其中（1.4～1.2）3128.02822.5132 ppm为2个CH的重叠峰；4125.51910.012因此，此化合物应含有一个苯环和一个CH的烷基。511536.01 1H NMR 谱中各峰裂分情况分析，取代基为正戊基，即化合物的结构为：23
解析解与数值解精确解和近似解 默认分类2011-01-19 12:51:37 阅读93 评论0 字号：大中小 订阅 在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：解析解和数值解。 解析解(analytical solution)就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题. 所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques、analytic methods〉，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相依变量。因此，解析解也被称为闭式解（closed-form solution）数值解(numerical solution)是采用某种计算方法,如有限元的方法, 数值逼近,插值的方法, 得到的解.别人只能利用数值计算的结果, 而不能随意给出自变量并求出计算值. 当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的过程中，首先会将原方程式加以简化，以利后来的数值分析。例如，会先将微分符号改为差分符号等。然后再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值〈discrete values〉，不似解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的动作，所以可以想见正确性将不如解析法来的好。 解析解一般可以理解为通过已经有的方法，是对应的问题在这个解决域上，进行变换演绎得到解的一种结果，变换过程也会有增根或漏根。数值解是将问题化解为比较多的子域，然后用比较简单的已知函数来逼近需求函数的相关问题。解析法要求基本功比较强，对概念理解非常有利，仅适合简单形式问题；数值解比较简单，要求运算量大，适合工程实际中的复杂问题。 解析解是解的形式可以表达为一个显式函数的表达式的解；而数值解其解的形式不能表达为显式函数，只能通过数值计算的方式求解，得到的是一系列离散的数值，不能表达为一个明确的函数的形式。对于大多数问题是得不到解析解的，只能得到数值解。能得到解析解的只是一小部分问题，而且通常有比较严格的限制条件。解析解能够很直观的体现各参数之间的关系，对于定性分析是很重要的。对于得不到解析解的问题，进行数值计算得到数值解，对于工程应用很重要。 精确解和近似解 所谓精确解和近似解，是从算法上决定的。一般的力学模型都是有一定的使用和假设条件的，主要是看在求解有关的问题时，计算的结果与模型的真实值的误差是否为零，如果为零，则是精确解法，如算法本身不能保证得到真实值，则是近似解法，与其是否是解析解无关，与
13C-NMR谱图解析 13C-NMR谱图解析流程 1.分于式的确定 2.由宽带去偶语的谱线数L与分子式中破原子数m比较，判断分子的对称性. 若L=m，每一个碳原子的化学位移都不相同，表示分子没有对称性;若L 基团类型Qc/ppm 烷0-60 炔60-90 烯，芳香环90-160 羰基160 4.组合可能的结构式 在谱线归属明确的基础上，列出所有的结构单元，并合理地组合成一个或几个可能的工作结构。 5.确定结构式 用全部光谱材料和化学位移经验计算公式验证并确定惟一的或 可能性最大的结构式，或与标准谱图和数据表进行核对。经常使用的标准谱图和数据表有: 经验计算参数 1.烷烃及其衍生物的化学位移 一般烷烃灸值可用Lindeman-Adams经验公式近似地计算： ∑ Qc5.2 =nA - + 式中:一2.5为甲烷碳的化学位移九值;A为附加位移参数，列于下表，为具有某同一附加参数的碳原子数。 表2 注:1(3).1(4)为分别与三级碳、四级碳相连的一级碳;2(3)为与三级碳相连的二级碳，依此类推。 取代烷烃的Qc为烷烃的取代基效应位移参数的加和。表4一6给出各种取代基的位移参数 2013/12/2 利用MATLAB求解常微分方程数值解 目录 1. 内容简介 (1) 2. Euler Method(欧拉法)求解 (1) 2.1. 显式Euler法和隐式Euler法 (2) 2.2. 梯形公式和改进Euler法 (3) 2.3. Euler法实用性 (4) 3. Runge-Kutta Method(龙格库塔法)求解 (5) 3.1. Runge-Kutta基本原理 (5) 3.2. MATLAB中使用Runge-Kutta法的函数 (7) 4. 使用MATLAB求解常微分方程 (7) 4.1. 使用ode45函数求解非刚性常微分方程 (8) 4.2. 刚性常微分方程 (9) 5. 总结 (9) 参考文献 (11) 附录 (12) 1. 显式Euler法数值求解 (12) 2. 改进Euler法数值求解 (12) 3. 四阶四级Runge-Kutta法数值求解 (13) 4.使用ode45求解 (14) 1.内容简介 把《高等工程数学》看了一遍，增加对数学内容的了解，对其中数值解法比较感兴趣，这大概是因为在其它各方面的学习和研究中经常会遇到数值解法的问题。理解模型然后列出微分方程，却对着方程无从下手，无法得出精确结果实在是让人难受的一件事情。 实际问题中更多遇到的是利用数值法求解偏微分方程问题，但考虑到先从常微分方程下手更为简单有效率，所以本文只研究常微分方程的数值解法。把一个工程实际问题弄出精确结果远比弄清楚各种细枝末节更有意思，因此文章中不追求非常严格地证明，而是偏向如何利用工具实际求解出常微分方程的数值解，力求将课程上所学的知识真正地运用到实际方程的求解中去，在以后遇到微分方程的时候能够熟练运用MATLAB得到能够在工程上运用的结果。 文中求解过程中用到MATLAB进行数值求解，主要目的是弄清楚各个函数本质上是如何对常微分方程进行求解的，对各种方法进行MATLAB编程求解，并将求得的数值解与精确解对比，其中源程序在附录中。最后考察MATLAB中各个函数的适用范围，当遇到实际工程问题时能够正确地得到问题的数值解。 2.Euler Method(欧拉法)求解 Euler法求解常微分方程主要包括3种形式，即显式Euler法、隐式Euler法、梯形公式法，本节内容分别介绍这3种方法的具体内容，并在最后对3种方法精度进行对比，讨论Euler法的实用性。 本节考虑实际初值问题 使用解析法，对方程两边同乘以得到下式 微 分方程数值解及其应用 绪论 自然界中的许多事物的运动和变化规律都可以用微分方程来描述，因此对工程和科学技术中的实际问题的研究中, 常常需要求解微分方程．但往往只有少数较简单和典型的微分方程可求出其解析解，在大多数情况下,只能用近似法求解，数值解法是一类重要的近似方法．本文主要讨论一阶常微分方程的初值问题的数值解法，探讨这些算法在处理来自生活实际问题中的应用，并结合MATLAB 软件，动手编程予以解决． １ 微分方程的初值问题[1] 1.1 预备知识 在对生活实际问题的研究中，通常需要考虑一阶微分方程的初值问题 00(,)()dy f x y dx y x y ?=???=? （1） 这里(),f x y 是矩形区域R ：00,x x a y y b -≤-≤上的连续函数． 对初值问题（1）需要考虑以下问题：方程是否一定有解呢?若有解，有多少个解呢?下面给出相关的概念与定理． 定义1 Lipschitz 条件[1][2]：矩形区域R ：00,x x a y y b -≤-≤上的连续函数(),f x y 若满足：存在常数0L >，使得不等式()()1212,,f x y f x y L y y -≤-对所有()()12,,,x y x y R ∈都成立，则称(),f x y 在R 上关于y 满足Lipschitz 条件. 定理 1 解的存在唯一性定理[1][3]：设f 在区域()}{,,D x y a x b y R =≤≤∈上连续，关于y 满足Lipschitz 条件，则对任意的[]00,,∈∈x a b y R ，常微分方程初值问题（1）当[],x a b ∈时存在唯一的连续解()y x ． 该定理保证若一个函数(),f x y 关于y 满足Lipschitz 条件，它所对应的微分方程的初值问题就有唯一解.在解的存在唯一性得到保证的前提下，自然要考虑方程的求 3 待鉴定的化合物（I）和（II）它们的分子式均为C8H12O4。它们的质谱、红外光谱和核磁共振谱见图。也测定了它们的紫外吸收光谱数据：(I)λmax223nm，δ4100；（II）λmax219nm，δ2300，试确定这两个化合物。 未之物（I）的质谱 未之物（II）质谱 化合物（I）的红外光谱 化合物（II）的红外光谱 化合物（I）的核磁共振谱 化合物（II）的核磁共振谱 [解] 由于未知物（I）和（II）的分子式均为C8H12O4，所以它们的不饱和度也都是3，因此它们均不含有苯环。（I）和（II）的红外光谱呈现烯烃特征吸收，未知物（I）：3080cm-1，(υ=C-H)，1650cm-1(υ=C-C) 未知物（II）：:3060cm-1 (υ=C-H)，1645cm-1(υ=C-C) 与此同时两者的红外光谱在1730cm-1以及1150～1300 cm-1之间均具有很强的吸收带，说明（I)和(II)的分子中均具有酯基； (I)的核磁共振谱在δ6.8处有1单峰，（II）在δ6.2处也有1单峰，它们的积分值均相当2个质子。显然，它们都是受到去屏蔽作用影响的等同的烯烃质子。另外，(I)和(II )在δ4. 2处的四重峰以及在δ1.25处的三重峰，此两峰的总积分值均相当10个质子，可解释为是2个连到酯基上的乙基。因此(I)和(II)分子中均存在2个酯基。这一点，与它们分子式中都含有4个氧原子的事实一致。 几何异构体顺丁烯二酸二乙酯(马来酸二乙酯)和反丁烯二酸二乙酯（富马酸二乙酯)与上述分析结果一致。现在需要确定化合物([)和(II)分别相当于其中的哪一个。 COOEt COOEt COOEt EtOOC 顺丁烯二酸二乙酯反丁烯二酸二乙酯 利用紫外吸收光谱所提供的信息，上述问题可以得到完满解决。由于富马酸二乙酯分子的共平面性很好，在立体化学上它属于反式结构。而在顺丁烯二酸二乙酯中，由于2个乙酯基在空间的相互作用，因而降低了分子的共平面性，使共轭作用受到影响，从而使紫外吸收波长变短。 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ??????-=? ?????-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用 该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所 以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ρ(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 数学应用软件作业6-用Matlab 求解微分方程(组)的解析解和数值解 注：上机作业文件夹以自己的班级姓名学号命名，文件夹包括如下上机报告和Matlab程序。 上机报告模板如下： 佛山科学技术学院 上机报告 课程名称数学应用软件 上机项目用Matlab求解微分方程(组)的解析解和数值解 专业班级姓名学号 一. 上机目的 1.了解求微分方程（组）的解的知识。 2.学习Matlab中求微分方程的各种解的函数，如 dsolve命令、ode45函数等等，其中注意把方程化为新的方程的形式。 3.掌握用matlab编写程序解决求解微分方程的问 题。 二. 上机内容 1、求高阶线性齐次方程：y’’’-y’’-3y’+2y=0。 2、求常微分方程组 2 210cos,2 24,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt = - = ? +-== ?? ? ?++== ?? 3、求解 分别用函数ode45和ode15s计算求解，分别画出图形，图形分别标注标题。 4、求解微分方程 ,1 )0( ,1 '= + + - =y t y y 先求解析解，在[0,1]上作图； 再用ode45求数值解(作图的图形用“o”表示)，在同一副图中作图进行比较，用不同的颜色表示。 三. 上机方法与步骤 给出相应的问题分析及求解方法，并写出Matlab 程序，并有上机程序显示截图。 题1：直接用命令dsolve求解出微分方程的通解。 Matlab程序： dsolve('D3y-D2y-3*Dy+2*y','x') 题2：将微分方程组改写为 5cos2exp(2) 5cos2exp(2) (0)2,(0)0 dx t t x y xt dy t t x y dt x y ? =+--- ? ? ? =-+-+- ? ? == ? ? ? ， 再用命令dsolve求解微分方程的通解。 Matlab程序： 建立timu2.m如下： [x,y]=dsolve('Dx=5*cos(t)+2*exp(-2*t)-x-y','Dy=-5*cos(t)+2*exp(-2*t)+x-y ','x(0)=2,y(0)=0','t') x=simple(x) y=simple(y) 第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截 微分方程数值解 4.1 当常微分方程能解析求解时，可利用Matlab符号工具箱中的功能找到精确解. 见下例 求解方程,,,. 键入： yyy，，,20 syms x y %定义符号变量diff_equ= ‘D2y+2*Dy-y=0’; %D2y表示,,,Dy= y,yy=dsolve (diff_equ, ‘x’) %定义x为自变量 y=cl*exp ((2^(1/2)- 1)*x+c2*exp (-(2^(1/2)+1)*x) %表达式中含c1与c2，表示通解. %初始条件为y (0)=0,,y(0)=1时，按如下方式调用 y=dsolve (diff_equ, ‘y (0)=0’, ‘Dy (0)=1’, ‘x’) y=1/4*2^(1/2)*exp ((2^(1/2)-1)*x)— 1/4*2^(1/2)*exp (-(2^(1/2)+1)*x) %画出函数y=y (x)的图形 ezplot (y,[-2,2]) 图形具体形式请上机试之. 在方程无法获得解析解的情况下，可方便地获得数值解. 下面的例子说明用Matlab求 数值解的方法及应注意的问题. [例1] 求解范德堡（vander pol）方程 2dxdx2,,，,,(1)0xx 2dtdt 求解高阶方程，必须等价地变换为一阶微分方程组，对本例，通过定义两个新的变量， 实现这一变换 yxydxdt1,2/,, 则令 dydty1/2, 2dydtyyy2/(11)*21,,,, 编写求解程序分为两部分，第一部分为待求解的方程，存盘的文件名为,待求 解方程 的函数名.m,，第二部分为求解主程序，本例中取名为main1.m. 首先编写待求解方程的文件. 文件存盘名为“vdpol.m”. M, function yprime=vdpol(,)ty yprime (1)=y (2); ; (1(1)^2)*(2)(1),,yyy mu=2 yprime=[yprime (1);yprime (2)]; yprime (2)=mu*说明函数 yprime=vdpol中. 定义为自变量，的形式取决于求解方程的阶数，本(,)tyyt 例中，,为解向量，为导数向量. yprime， y(2)yyyy,[(1),(2)],(1)(1)(1),y yprime,,，函数返回vander pol方程的导数列向量. 因为所求结果为方程数 值解，(2)(1),y 所以各向量维数只有在主程序求解时定下精度后才能确定. 主程序定名为main1.m，你可用你所喜欢的其它名子，但vdpol.m除外. clear functions %调试程序时，放置这一语句是必要的. 它清除前边已编译的存在于内存中的 废弃程序[]=ode23 (‘vdpol’,[0,30],[1,0]); ty, y1=y (:,1); %解曲线. 11 某一未知化合物的质谱、红外光谱和核磁共振谱见图2-16. 2-1'l和2 18。也测定了它的紫外光谱数据：在200nm以上没有吸收。试确定该化合物的结构。 质谱数据 [解] 根据M+1=7.8, M+2=0.5，从Beynon表找出有关式子，然后排除含有奇数个氮原子的式子(因为未知物的分子量为偶数)，剩余的列出： C5H14N2 72 和C 6H 14O 也较为接近。考虑到未知物的紫外光谱在200 nm 以上没有吸收，核磁共振谱在芳环特征吸收区域中也没有吸收峰等事实，说明未知物是脂肪族化合物。根据这一点，上述三个式子只有C 6H 14O 可以作为未知物的分子式。从分子式可知该化合物不饱和度为零。 在未知物的红外光谱中，没有羰基或羟基的特征吸收，但分子式中又含有氧原子，故未知物为醚的可能性很大。在1130cm -1~ 1110 cm -1之间有一个带有裂分的吸收带，可以认为是C —O —C 的伸缩振动吸收。 另一方面，核磁共振谱中除了在δ1. 15处的双峰和δ3.75处的对称七重峰(它们的积分比为6:1)以外没有其它峰，这非常明确地指出了未知物存在着2个对称的异丙基。对于这一点，红外光谱中的1380 cm -1和1370 cm -1处的双峰，提供了另一个证据。 根据上述分析得到的信息，未知物的结构式可立即确定为： CH H 3C H 3C O CH CH 3CH 3 按照这个结构式，未知物质谱中的主要碎片离子可以得到满意的解释： CH H 3C H 3C O CH 3 CH 3 +· C H H 3C CH 3 O C H CH 3 ++ 基峰 m/z 45 CH H 3C H 3C CH H 3C H 3C O H C CH 3 +++O CH CH 3 CH 3 ·m/z 43 m/z 87 +·CH 3 CH 3CH=OH 12 某一未知化合物，其分子式为C 10H 10O 。已测定它的紫外吸收光谱、红外光谱(KBr 压片)以及核磁共振谱，见图确定该化合物结构。 数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 21 12(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-= -=≥= 证明： （1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +??=+-= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 212211021 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相 对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063.071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 求解方程数值解的两种常用方法（C语言实现） 本文介绍了两种求解方程数值解的常用方法：二分法和牛顿迭代法。均用C语言实现，仅供参考。 源代码如下： #include { printf("重新选择初值区间！\n"); return 0; } else { x=root(x1,x2); printf("A root of equation is %f.\n",x); return 0; } } 运行结果如下： 源代码如下： #include 数值分析试题 填空题(2 0 >2') 1. 3 2 2 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2 A,X 2 1 3 位有效数字。 2. 若f(x)=x7—x3+ 1 ,贝U f[2 0,21,22,2 3,24,2 5,2 6,2 7]= _J __________________________ , 012345678 f[2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ]= _________ 0 ___________ 。 3. 设，11 A|— 5 ,H X|— 3 , II AX|| _15_ 0 4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足| ' (x)| <1 ，则使用 该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a, b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到_2—阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式：如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式。 n 7. 拉格朗日插值公式中f(xj的系数a i(x)的特点是：a i(x) _J _____________________ ;所 i 0 以当系数a i(x)满足__________ a i(x)>1 __________________ ，计算时不会放大f(xj 的误差。 8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取」4 ________ 位有效数字。 9. 对任意初始向量X0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx k)+g(k=0,1,…) 收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<1 ____________________ 。 1、某未知物分子式为C5H12O，它的质谱、红外光谱以及核磁共振谱如图，它的紫外吸收光谱在200 nm以上没有吸收，试确定该化合物结构。 1 : 2 : 9 [解] 从分子式C5H12O，求得不饱和度为零，故未知物应为饱和脂肪族化合物。 未知物的红外光谱是在CCl4溶液中测定的，样品的CCl4稀溶液的红外光谱在3640cm-1处有1尖峰，这是游离O H基的特征吸收峰。样品的CCl4浓溶液在3360cm-1处有1宽峰，但当溶液稀释后复又消失，说明存在着分子间氢键。未知物核磁共振谱中δ4. 1处的宽峰，经重水交换后消失。上述事实确定，未知物分 子中存在着羟基。 未知物核磁共振谱中δ0.9处的单峰，积分值相当3个质子，可看成是连在同一碳原子上的3个甲基。δ3.2处的单峰，积分值相当2个质子，对应1个亚甲基，看来该次甲基在分子中位于特丁基和羟基之间。 质谱中从分子离子峰失去质量31（－CH 2OH ）部分而形成基峰m/e57的事实为上述看法提供了证据，因此，未知物的结构是 C CH 3 H 3C CH 3 CH 2OH 根据这一结构式，未知物质谱中的主要碎片离子得到了如下解释。 C CH 3 H 3C CH 3 CH 2OH +. C + CH 3 CH 3 H 3C CH 2 OH +m/e31m/e88 m/e57 -2H -CH 3 -CH 3-H CH 3 C CH 2 + m/e29 m/e73 m/e41 2、某未知物，它的质谱、红外光谱以及核磁共振谱如图，它的紫外吸收光谱在210nm 以上没有吸收，确定此未知物。 2 2 6 3 [解] 在未知物的质谱图中最高质荷比131处有1个丰度很小的峰，应为分子离子峰，即未知物的分子量为131。由于分子量为奇数，所以未知物分子含奇数个氮原子。根据未知物的光谱数据亚无伯或仲胺、腈、酞胺、硝基化合物或杂芳环化合物的特征，可假定氮原子以叔胺形式存在。 红外光谱中在1748 cm -1处有一强羰基吸收带，在1235 cm -1附近有1典型的宽强C －O －C 伸缩振动吸收带，可见未知物分子中含有酯基。1040 cm -1处的吸收带则进一步指出未知物可能是伯醇乙酸酯。 核磁共振谱中δ1.95处的单峰(3H ），相当1个甲基。从它的化学位移来看，很可能与羰基相邻。对于这一点，质谱中，m/e43的碎片离子(CH 3C=O)提供了有力的证据。在核磁共振谱中有2个等面积(2H)的三重峰，并且它们的裂距相等，相当于AA ’XX'系统。有理由认为它们是2个相连的亚甲－CH 2－CH 2，其中去屏蔽较大的亚甲基与酯基上的氧原子相连。 至此，可知未知物具有下述的部分结构： CH 2 CH 2 O C O CH 3 从分子量减去这一部分，剩下的质量数是44，仅足以组成1个最简单的叔胺基 CH 3CH 3 N ，正好核磁共振谱中δ2. 20处的单峰(6H )，相当于2个连到氮原子 上的甲基。因此，未知物的结构为 CH 2 CH 2 O C O CH 3 CH 3CH 3 N 此外，质谱中的基峰m /e 58是胺的特征碎片离子峰，它是由氮原子的β位上的碳碳键断裂而生成的。结合其它光谱信息，可定出这个碎片为 CH 2 CH 3CH 3 N 3、待鉴定的化合物（I ）和（II ）它们的分子式均为C 8H 12O 4。它们的质谱、红外光谱和核磁共振谱见图。也测定了它们的紫外吸收光谱数据：(I)λmax 223nm ，四大图谱综合解析
四大图谱综合解析
1 某未知物分子式为C5 H12 O，它的质谱、红外光谱以及核磁共振谱如图，
它的紫外吸收光谱在200 nm以上没有吸收，试确定该化合物结构。
CCl4稀溶液的红外光谱, CCl4浓溶液 在3360cm-1处有1宽峰
[解] 从分子式C5H12O，求得不饱和度为零，故未知物应为 饱和脂肪族化合物。 未知物的红外光谱是在CCl4溶液中测定的，样品的CCl4稀溶液 的红外光谱在3640cm-1处有 1尖峰，这是游离 O H基的特征吸收 峰。样品的CCl4浓溶液在 3360cm-1处有 1宽峰，但当溶液稀释 后复又消失，说明存在着分子间氢键。未知物核磁共振谱中δ4. 1处的宽峰，经重水交换后消失。上述事实确定，未知物分子 中存在着羟基。 未知物核磁共振谱中δ0.9处的单峰，积分值相当3个质子，可 看成是连在同一碳原子上的3个甲基。δ3.2处的单峰，积分值 相当2个质子，对应1个亚甲基，看来该次甲基在分子中位于特 丁基和羟基之间。 质谱中从分子离子峰失去质量31（－ CH2 OH）部分而形成基 峰m/e57的事实为上述看法提供了证据，因此，未知物的结构 CH3 是
H3C
C
CH3
CH2OH
根据这一结构式，未知物质谱中的主要碎片离子得到了如下 解释。
CH 3
2. 某未知物，它的质谱、红外光谱以及核磁共振谱如图，它的 紫外吸收光谱在210nm以上没有吸收，确定此未知物。
CH2
+ OH m/e31 -2H
+ . CH2OH
H3C
CH3
H3C
C
CH 3
C+
CH3
m/e88 -CH3 m/e29 m/e73
m/e57 -CH3 -H CH 3 C + CH 2
m/e41
[解] 在未知物的质谱图中最高质荷比131处有1个丰度很小的峰，应 为分子离子峰，即未知物的分子量为131。由于分子量为奇数，所以未 知物分子含奇数个氮原子。根据未知物的光谱数据中无伯或仲胺、腈、 酞胺、硝基化合物或杂芳环化合物的特征，可假定氮原子以叔胺形式存 在。 红外光谱中在1748 cm-1处有一强羰基吸收带，在1235 cm-1附近有1典型 的宽强C－O－C伸缩振动吸收带，可见未知物分子中含有酯基。1040 cm-1处的吸收带则进一步指出未知物可能是伯醇乙酸酯。 核磁共振谱中δ1.95处的单峰(3H），相当1个甲基。从它的化学位移来 看，很可能与羰基相邻。对于这一点，质谱中，m/e43的碎片离子 (CH3C=O)提供了有力的证据。在核磁共振谱中有2个等面积(2H)的三重 峰，并且它们的裂距相等，相当于AA’XX'系统。有理由认为它们是2个 相连的亚甲－CH2－CH2，其中去屏蔽较大的亚甲基与酯基上的氧原子 相连。 至此，可知未知物具有下述的部分结构：
O CH 2 CH 2 O C CH 3
从分子量减去这一部分，剩下的质量数是 44，仅足以组 成1个最简单的叔胺基。
CH 3 CH3 N
正好核磁共振谱中δ2. 20处的单峰(6H )，相当于2个连到氮原子上 的甲基。因此，未知物的结构为:
CH3 CH3 O N CH2 CH2 O C CH3
此外，质谱中的基峰m /e 58是胺的特征碎片离子峰，它是由氮原子 的β位上的碳碳键断裂而生成的。结合其它光谱信息，可定出这个 碎片为
CH3 CH3 N CH 2
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