量子力学中的对称性和角动量
§3.1 引言
从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？ 从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。
为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。
运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。
经典力学中，Hamiltonian 决定了体系的运动规律，看H 是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。----守恒量。
{}
{}0
,H u ,=+??=H u H u t
u dt du 不显含时间，则和如--表示u 是一个运动常数。 量子力学中， 运动方程为[]H F dt
dF
i ,=
，其中力学量为算符[]0,=H F --二者具有共同的本征函数。 Wigner-Weyl 实现：态的对称性直接反映了H 的对称性。
§3.2 转动态的定义和转动算符 §3.2A 转动态的定义
在经典物理中，转动后坐标的变化为
()()p R p r R r ?θ?θ,',,'==
如果n 为z 轴，转动角为θ，则
z z y x y y x x p p z z p p p y x y p p p y x x ==+=+=-=-=',',cos sin ',cos sin ',
sin cos ',sin cos 'θθθθθθθθ-------????
?
???????
?
?-=????? ??z y x z y x 10
0cos sin 0sin cos '''θθ
θθ 在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数()r ψ，将它绕空间n 轴（z 轴）转动一个角
度θ，此操作为作用在波函数上的算符()θ,n R ，则()
()()r r n R ',ψψθ=。 转动态的定义：
.
'',ψψψψψR r right R r r R left ====所以，---转动态。
物理上对转动态的要求：如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致（在下面
举几个例子说明），则可称之为转动态。 在坐标系中，()r ψ为标量函数，存在()()
r r ψψ=''
和()()
r R r Rr r 1
','-==ψψ。
现在，证明上式满足转动态的要求。
转动前，平均位置()()r x r dr x x ψψψψ?==*
转动后，平均位置
()()()()()()()θ
θψθθψψψψψψψsin cos sin cos ''''''''?''*
**y x r y x r dr r x r dr r x r dr x
x -=-====???
3.2B 算符的转动
令()θ,n R 为转动算符。()
()()()
r R r r n R 1
',-==ψψψθ， 转动前后，物理上要求几率守恒，即保持态归一化：
ψψψψψψψψR R R R
+====??''1，则1??=+R R 。 即转动算符R 为幺正算符，转动变换是一个幺正变换。
物理过程：转动前后平均值不变。 任一算符F 的平均值为：
.?'?''?''?'???+++++======R F R F
F R F R R R F R R R R F R R F
F 转动后，新算符ψψψψψψψψψψ
量子力学中，可观察量的转动。
θθsin ?cos ?'?y x x
+=即变换使坐标转过角度θ，同时使体系的可观察量转过角度为θ-。
3.2C 态的无限小转动---求转动算符的具体形式 态的无限小转动，绕z 周的转角δθ为无限小，则
y x y y x x +=-=δθδθ','
（1）自旋为0的粒子波函数，
()()()()()()()???
? ????-??=??? ??-=???? ?
????? ????-??+=???
?
??
??-??+=-+==-y x x y i L z y x L i z y x y x x y i i z y x y x x y
z y x z x y y x r R r z z ?z ,,?1,,1,,,,,,'1，方向的轨道角动量算符定义ψδθψδθψδθψδθδθψψψ
推广到任意轴n 的微小转动，有
()()().?1,??1'n L i n R
r n L
i r ?-=??
? ?
??-=δθθψδθψ
无穷小转动算符为，
2009-10-14上课内容
（2）自旋为1/2的粒子的波函数。此时，波函数为二分量，记????
??=???? ??=-10,01212
1χχ，则体
系波函数为，()()()()()()()2
1221121211001-+=????
??+????
??=???? ??=ψχψχψψψψψr r r r r r r 。 绕z 轴转动，证明波函数为()()
r R i r z 121'-ψ??
?
??-
=ψδθσ。 物理过程：在转动态下自旋、位置、动量与原来态满足经典关系，即
ψψ-ψψ=ψψy x x
δθ'?' ()()()2
1
22
11'
''''-+=ψχψχψr r r ，
当转动角度无限小时，把自旋的变化等同于位置的变化规律，则自旋的三个方向的分量为
χδθχδθχχδθδθχχχχδθδθχχχχ???
??-=??
??
?
??-+=????
?
??-+=????? ???????
??-=????? ??= z z y x z y x S i i i 10000010100000000
10001
01
''''
此处，定义???
?
?
??-=0000000i i S z
从上面的讨论可知，轨道部分波函数变为，()()r n L
i r ψδθψ???
? ???-= ?1'， 则总波函数为
()()()()()()丢掉二阶项。
---ψ??
? ??+-=ψ???
??-??? ??-=+=ψ-r S L i r S i L i r r r z z z z δθδθδθχψχψ111'''''212211
则任意轴无限小角度转动算符，()()
n
S L i n R ?+-=δθδθ1,，
其中粒子的总角动量算符可以写为S L J +=
3.2D 态的有限角度转动
绕n 轴无限小角度转动算符为()
n
J i n R ?-
=δθδθ1,，
其中0??→?=
∞→m m
θ
δθ。
绕n 轴转过有限角度，
()()
?
?
?
???-=??? ???-=?
?
?
???-==∞→∞→∞→n J i n J m i n J m i n R n R m
m m
m m
m θθθδθθ exp exp lim 1lim ,lim ,
三维空间中的有限转动，()γβα,,。αβγR R R R =
3.3 角动量的一般性质
角动量算符的三个分量z y x j j j ,,，满足下列对易关系：
[]z
y
x
j i j j =,
定义角动量平方算符为2
222z y x j j j J ++= 定义角动量的升降算符，
()()()z y x y x x y y x y x y x y x j j j j j j j i j j ij j ij j j j ij j j ++=-++=-+=?±=-+±2
222
证明对易关系：
[][][]z
z
i
j j j j j j j j 2,,,,0,2
=±==-
+
±
±
因为，[
]
0,2
=z j j ，二者的共同本征态为jm ，有
()jm j jm j jm j j jm j z =+=,122
证明升降算符的物理意义。
()()()1111.1-=----=+=---+=+---++++jm jm j jm j m jm j j jm jm j jm j m jm j j m j jm j z z z 的本征态，本征值为
的意义：为
()jj
j j jj j j jj j jj j jj j j j j j j j j j j j j j jj j j z z z z z z z y x 222222222210
+=++=++=+-=++===+-+--++？的本征值
(
)()2
2
2
2
2
2
100
l l j j jl j j j jl jl j j jl jl j j jl jl j j z z
+-+=+-====-+-+
---反方向作用，用
由此可得，j l -=。
(),...
2
3
,1,21,0,...3,2,1,02,,,=→===--==-j n n
j n l j j l jj j jl n
个。共，对于每一个固定的12,,1,...1,m j +-+--=j j j j j
证明：()()111±±-±=
±jm m m j j jm j
()
()()()()1
11111
22
2222---+==--+=+-=-=--+-jm m m j j jm j c m m j j jm j j j jm jm j j jm jm c jm j z z
2009年10月16日星期五上课
为什么重要的是2j ？标记任意转动下的态，要用2
j 的本征态。因为[
]
0,2
=R j ，任意转动
算符R 可以用z y x j j j ,,组合而成，所以只要[]
0,2
=x j j 。
[证明过程]：因为
[][][][][][][][]
()()[][]0,,0,0
,,,,,,,,2
2
222222
===+++-=+++=+=++=y
x
y x x y x y y x y
z y z y y x z x z x x z y z x z z y x
z j j j j j j j j i j j j j i j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j
j j 所以，[]0,2
=R j 。
将2
j 的本征态标记为j j j j j λ=2
,，经转动R 后，转动态为j R 。
j R 的物理意义：()j R j Rj j R j j λ==22。表明，转动态的全体j R 形成一个不变子
空间。该子空间用本征值j λ标记。转动时，态只能在子空间内变化，其中任何态不会因为转动带到子空间之外。
算符2
j 的重要意义：将态空间按其本征值j λ自动地分解为转动不变子空间。则关于转动时态的变化问题，就只需在各个不变子空间中加以讨论。
转动子空间为2
j 的简并空间，还需一个算符[
]
0,,2
=z z j j j （好量子数）才能解除简并。 记为jm m jm j jm jm j jm z j ==,2
λ。 [证明]：从前面的内容可知，()2
1 +=j j j λ。
利用升降算符y x ij j j ±=±，则-++-+-=++=j j j j j j j j j z z z z 2
2
2
。
现设jm 为z j j ,2
的共同本征态，则jm m jm j jm jm j z j ==,2λ。且[]
0,2
=±j j
则()()jm j m jm j j j jm j jm j jm j j jm j j z j ±±±±±±±±=±=== 1,22λ。 从本征态jm 出发，得到z j j ,2
的一系列本征态：
,...
2,1,,1,2...,,...,,,...,2
2--++--++
m m m m m jm j jm j jm jm j jm j ---必有上限和下限。
计算平均值，22222222 m m jm j jm jm j jm jm j jm j y
x ≥?++=λ 现令，0,0min max ==-+jm j jm j
()()()()min
2
max min min
2
min
2
max 2max max max 2max 211jm m m jm
j j j j
jm j jm m m jm j j j j jm j z z
z z -=+-=+=++=-
+
+-
因为±j 不改变2
j 的本征值，所以()()11min min max max -=+m m m m 。 则()1,min max min max -=-=m m m m 。
因为min max m m >，所以j m m ≡-=min max 。j m m j =?≥max 2
2 λ。
因为z j 是角动量算符z 方向上的投影，所以m 的最大值j m =max 以上可知，()2
1 +=j j j λ。
表明，对于同一个j ，张成2
j 的12+j 维简并空间。
§3.7 对称性和守恒律
3.7A 可观察量和不可观察量
有限转动算符()αβγR
?是幺正算符，不对应于可观察量。但它的无限小生成元（角动量算符J
?）为可观察量。 ()z
J i z J i e R z θθθ
-==-1? 态ψ在在旋转()θz R ?作用下不变，即它具有绕z 轴的旋转对称性，(
)ψψθδ
i z
e R -=?。
[旋转不变]：1=-δ
i e
(
)ψψθψθδi z z
e J i R -=??
? ??-=?ex p ? 。旋转前后相差一个相因子，不影响波函数的物理
结果。
起点：0=θ
终点
：ψψππθδi z e J i -=??
? ??-
?=?2ex p 2
若，ψψπψπψψδ
=??
? ??-=??? ??-?=?=- m i J i m J e
z
z i 2ex p ?2ex p ?1 上式中，12=-π
i e 要求m 为整数
若，ψψπψπψψδ
-=??
? ??-=??? ??-?=?-=- m i J i m J e
z z i 2ex p ?2ex p ?1 上式中，,2
1
1±=?-=-m e i π
m 为半整数。
2009-10-21上课内容
[从特殊到一般]：体系在某个变换Q
?下具有对称性，即ψψψQ =→' (1) 保持几率不变，ψψψψψψ==+Q Q ''，11-++=?=Q Q Q Q ，说明Q 是一个
幺正算符。
(2) 保持运动规律不变，'?'ψψH
t
i
=??，设Q 不显含时间，则
ψψψψψψψQ H t Qi Q H H
t
Qi Q t i t i ??'?'=??=??=??=??
和ψψψψψψH Q Q t
i H Q t
Qi H t i ???=??=??=??可得体系在Q 变换下保持不变性的条件为，[]0,=-≡HQ QH H Q 。
考虑无限小变换，F i Q
?1?ε-=，式中ε为无限小变换的参量，由于1=+
Q Q ，则()()()()
++
+
=?=+-+=-+F F o F
F i F i F
i ??0??1?1?12εεεε，即F ?是一个厄密算符，对应于一个可观察量。
[][]
0?,?0?,?,?1=?=-=H F H Q F
i Q ε，即F ?是运动中的一个守恒量。 量子力学中的一个对称性变换往往对应于一个可观察量的守恒性。
3.7B 空间的均匀性及动量守恒
把体系沿着x 方向平移一无限小距离ε，用算符()εx
D ?标记变换操作。若体系具有空间平移
不变形，则
()[]0?,?=H D
x
ε。 将平移操作算符作用到一个态上，
()()()()()()()()x
i P x P i x x x x x D x x x
x x ??=??
? ??-=??-≈-==→ ??1?'ψεψεψεψψεψψ，由定义可知[]
0?,?=H P x ，即动量守恒。
3.7C 时间的均匀性与能量守恒
把体系的态()t ψ在时间上平移一无限小量τ，用算符()τD
?标记操作， ()()()()()()()()()()()()()t t
i t H
t H i t t i i t t t t t t t t D
t t ψψψτψτψτψτ
ψτψτψψτψψ??=??? ??
-=???
? ????? ????-=??? ????+=??+≈++==→ ??111?' 若体系的演化具有时间不变性，则()[]
0?,?=H D
τ。体系能量守恒。
§3.8 空间反演和宇称 3.8A 量子态和算符的宇称
空间反演：r r
-→。反演算符记为∏
?，存在x x -∏=∏??。 作用一次，
()()()x x x x x -=-=∏
=→ψψψψψ?' 连续作用两次，
()()()1??''22=∏?==∏
=→x x x x x ψψψψψ。 因为对称性算符均为幺正算符，∏=∏?=∏∏+
+
1，则其也是厄密算符（真实的物理量）。 作为厄密算符，其本征值为1±。
在经典力学中不存在宇称这个力学量，因为没有能使r r
-→的突变。 [证明]：设其本征值为λ，则11,222
±=?=?==∏
=∏λλλλλλλλλ。
偶宇称态：()()x x even even ψψ=-，本征值为1。 奇宇称态：()()x x odd odd ψψ-=-，本征值为-1。
[例]在中心场中运动的粒子，πφφθπθ+→-→→?-→,,r r r r
， 其宇称本征值为()l
1-=∏。
如何判断Hamiltonian 具有宇称对称性？ 在空间反演变换下，算符x ，p ，J 的变换？
量子力学中的算符分为奇宇称和偶宇称。（算符的宇称变换） 例子：体系Hamiltonian 具有空间反演对称性，即[]0,=∏H 。
本征方程，n n n n n E E E E E H λ=∏=。证明：矩阵元0=n n E x E
3.8B 宇称守恒定律
（1）量子态具有宇称量子数?±1经典物理中的“自然界中存在基本的左右对称性”。
（2）量子力学中，哈密顿量H
?支配系统的运动规律。[]
0?,?=∏H 保证了H ?中不包含赝标量项。x P ?为标量，而S P ?为赝标量。
S P S P x P x P ?-=∏?∏?=∏?∏
--11??,??
（3）多粒子体系的总宇称。
()
()∏∏-=-f
k i
j
N k
k l
N j
j l P P 11--宇称守恒定律。
3.8C 宇称不守恒的发现
1956年，杨振宁和李政道根据当时粒子物理研究中一个关于荷电K 介子的衰变问题（τθ-之谜），怀疑宇称不守恒定律不一定是普遍正确的。
2009-10-23上课内容
§3.9 时间反演对称性
1932年，Wigner 在量子力学中引进了时间反演（运动的可逆性）。 无自旋粒子的运动方程，()()t H
t t
i ψψ?=??
。 假设H
?不含时间，对运动方程进行操作， ()()()()()t x H t x t i t x H t x t i -=-??-=--??,?,,?,**ψψψψ
---()t x -,*
ψ为反演后满足方程的解。
作时间反演操作，()()t x t x -→,,*
ψ
ψ。考察二者之间的关系。
在时间反演下，时间反演算符T ?，使得βββααα~~,~T T =→=→。 T
?为反幺正算符，存在()
反线性算符--+=+=βαβααβαβT C T C C C T ???,
~~*2
*
1
2
1*
乘积形式：K U T
???=，为幺正算符和复共轭算符的乘积。 ()()
(
)
反线性算符--+=+=+=+βαβαβαβαT C T C K U C K U C C C K U C C T ?????????*2
*1*2*
1
2
121
[算符在T
?作用下的性质]： （1） Hamiltonian 是时间反演不变的；T H H T H T H T H
????,?????1==→- （2） 位置算符；x
T x T x
?????1
=→-----实算符 （3） 动量和角动量； J T J T J
p T p T p
??????????11-=→-=→-----虚算符
（4） 自旋算符；σ
σσ
?????1
-=→-T T ，类比角动量。 ()m j jm T
m j --=+1?
§3.4 两个角动量的耦合， C-G 系数 两个角动量耦合的多种方式：
（a ） 自旋与轨道角动量耦合：j s l =+； （b ） 两个自旋耦合：S s s =+21； （c ） 两个轨道耦合：L l l =+21；
（d ） 耦合后的自旋与轨道进一步耦合：J L S =+；
（e ） 先合成轨道，再合成：22211121,,l s j l s j J j j +=+==+；
采用何种耦合方式，需具体分析，各种相互作用的强弱。
在实际计算中，在一级近似下，以上各种方式均可作为理想的数学问题处理。
两个不同表示空间中的1j 和2j ，它们耦合为J 的角动量，可以严格地写成：
21j I I j J ?+?=
其中，I 为空间中的恒等算符，两个空间是独立的，可以有不同的维数 （例如自旋空间是2维Hilbert 空间，轨道表示空间是无限维的，指定l ，其子空间是2l+1维）。
问题：两种表示之间的幺正变换的矩阵元为C-G 系数（矢量耦合系数）。
直乘空间的基：由两个子空间的基直乘而得，记为
22112121;m j m j m m j j ?=
不同空间中的1j 和2j 是对易的（无相互作用），显然
()()2
12122121221212
22212122
21211212112121211212121;;;1;;;;1;m m j j m m m j j j m m j j j j m m j j j m m j j m m m j j j m m j j j j m m j j j z z =---+==---+=
其中，2211,,,m j m j 都是好量子数。
发生相互作用后，两个角动量耦合，基为jm j j ;21，好量子数为21,,,j j j J 。
()()()()jm
j j m m jm j j J jm
j j j j jm j j J jm
j j j j jm j j j jm
j j j j jm j j j z ;1;;1;;1;;1;2121212
212
212222122212112121 +=+=+=+=
为何21,m m 不再是好量子数，因为[
][
]
0,,0,22
12
≠≠z z j J j J 。 由
()()y
x y x ij j j ij j j j j j j j j j j j j J 2221111
2212
22121212,±=±=?+?++=+?+=±±-----[
]
0,2
=z J J 。
实现两种基之间的幺正变换，利用完备性关系
1,;,;12
21212121=∑∑
m m m m j j m m j j ，得到
∑∑=12
;,;,;;212121212121m m jm j j m m j j m m j j jm j j
上式中，jm j j m m j j ;,;212121正是两种基之间的幺正变换的矩阵元（即CG 系数）。
2009-10-28 上课内容
CG 系数的性质：
（1）3个磁量子数间存在简单代数关系：21m m m +=（证明），因为z z z j j J 21+=，所以
(
)()(
)
0;;0;;;;0;2121212121212121212121212121=--?≠=--=--?
=--m m m jm j j m m j j jm j j m m j j m m m jm j j j j J m m j j jm j j j j J z z z z z z ；
（2）2121j j j j j +≤≤-。
说明：从角动量的矢量相加法则可知，21min 21max ,j j j j j j -=+= 证明如下：设系统的两个角动量为21,j j ，总角动量为21j j J +=。 因为21,j j 作用在不同对象上的算符，所以对易，[]0,21=j j 。
z z j j j j 22
2121,,,的共同本征态记为22112121,;m j m j m m j j ?≡。
对于确定的21,j j ，11m j 有()121+j 个，22m j 有()122+j 个。 二者张成2
22
1,j j 的()()121221++j j 维简并空间。
耦合后，总转动的基jm j j ;21对于一个确定的j 张成()12+j 维的不可约子空间，总维数为
()
()[]()[]{}()()()()()
1212112122
1
1221212121212
12
1++=+--+++++-=
+=∑+-=j j j j j j j j j j j N j j j j j
（3）CG 系数（取为实数）构成幺正矩阵。
jm j j m m j j m m j j jm j j ;;;;212121212121=，
则幺正矩阵为正交矩阵，行与列的正交条件，'
'2
1212121212121212121'
'21212121212122112211'';;'';;;;;'';;;m m m m j
j
m m m m j m m j j m m j j m m j j jm j j jm j j m m j j jm j j m m j j jm j j m m j j δδδδ====∑∑∑
'
'2121212121212121''2121212121212
12
12
1'
';;'
';;;;'';;;;mm jj m m m m mm jj m m m j j j jm j j m j j j m m j j m m j j jm j j m j j j m m j j jm j j m m j j δδδδ==
==∑
∑∑
取特例，令21','m m m j j +==，则有态的归一化条件
1;;;;21212
2121212
1==∑
jm j j jm j j jm
j j m m j j m m
（4）()jm j j m m j j jm j j m m j j j
j j ;;1;;12121221212121
-+-=
（5）几个常用的CG 系数。
§3.5 转动算符的矩阵表示 D 函数
有限转动算符在基jm 中的矩阵()()1212+?+j j 表示，记矩阵元为
()(
)
jm J n i jm R D j m
m ??
? ???-=?ex p '?' θ--D 函数，Wigner 函数。 这里，j 是确定的，因为[
]
0,2
=R J 。
D 矩阵称为，转动算符R 的()12+j 维不可约表示。 性质：
（1） 无转动，0=θ，I D =； （2） R 是幺正的，则D 是幺正的；
（3） D 矩阵的乘法。两个连续的转动为一个转动，则
()()()()()()2
1
'''
2
'1
'
''R R D R D R D j m
m m j m
m j m m =∑；
（4） D 矩阵元的物理意义。（要作用到态上才看得出意义）
()()()()
()()()的振幅。
态作用后产生的态对是'???'?''?''
''
jm jm R D R
D R D jm jm R D jm jm jm R D j m
m m j m
m m ∑∑==
（5） 计算D 矩阵，采用欧拉角表示一般的转动。
()
(
)()()()
()(
)的依赖关系简单。
对αγββαβγβγαγβα--===-+-
---jm e
jm d d e
jm e
e e
jm D y z y z J i
j m m j m m m m i
J i
J i
J i j m m
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[举例]：1,2
,212===
y y y J j σσ ，易证 ()()()()()()()????
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??=-2cos 2sin 2sin 2cos 212sin 2cos '212sin 2cos 2!3122!4122112!412!31221212!412!3122121!312112121'34
24
43
32
244
33
22
3
3
22
ββββββσβββσβββσβββσβσβσβσβ
σβσβσβσββββd
m i m d
i i i i i i i i i i J i J i J i e
y j m
m y y y y y y y y y y y y y J i
y
一般公式()
()βj m m d '（此处不证明）。（6）-(9)中的内容在群论中可以找到。 （6） D 矩阵元与球谐函数的关系。
（7） 磁量子数翻转的对称性。 （8） D 矩阵的耦合规则。