《数列》全章复习与巩固 编稿：张林娟 审稿：孙永钊
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；
4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】
【要点梳理】 知识点一：等差数列
1. 判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：1n n a a d +-=（常数）?{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈?是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）?{}n a 是等差数列；
④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（,A B 为常数）?{}n a 是等差数列.
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。 2. 等差数列的通项公式及前n 项和 通项公式：()1=+1n a a n d
要点诠释：
① 该公式可改写为：1= +n a d n a d ?
当d ＝0时，n a 是关于n 的常函数；当d ≠0时，n a 是关于n 的一次函数；点(n n a )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
②通项公式的推广．．
：()+n m a a n m d =－ 前n 项和公式：()()111+=+=2
2
n n n n n a a S na d
要点诠释：
① 该公式可改写为：21=+22n d d S n a n ?
? ??
?
当d ＝0时，n S 是关于n 的正比例函数；当d ≠0时，n S 是关于n 的二次函数（无常数项）．
② 在应用()
1+=2
n n n a a S 时，注意相关性质的应用。
3. 等差数列有关性质
（1）若*()m n p q m n p q +=+∈N 、、、，则m n p q a a a a +=+； 特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a +=； （2）若a b c ，，成等差数列，则+=2a c b ；
（3）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列； （4）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ：
①当n 为奇数时，12
n n S n a +=?；12
n S S a +-=奇偶；
1
1
S n S n +=
-奇偶
； ②当n 为偶数时，122
2n n n a a S n ++??
?=? ? ???；12S S dn -=偶奇；212
n n a S S a +=奇偶. （5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则
m n m n
S S S m n m n
+-=
-+（*m n m n ∈≠N 、，且）； （6）等差数列{}n a 中，若*m n p q
m n p q m n p q +=+∈≠≠N （、、、，且，），则p q
m n S S S S m n p q
--=--； （7）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2'd k d =.
4. 等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中
① 若1a ＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组1
0n n a a +≥??
≤?来确定n ；
② 若1a ＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组1
0n n a a +≤??
≥?来确定n ，也可由前n 项和
公式21()22
n d d
S n a n =
+-来确定n . 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 知识点二 ：等比数列
1. 判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：
1
n n
a q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N *）{}n a ?是等比数列； （2）通项公式法：n n a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ?是等比数列；
（3）中项公式法：2
12n n n a a a ++=?（120n n n a a a ++??≠，
*n N ∈）{}n a ?是等比数列. 2. 等比数列的通项公式及前n 项和 通项公式：111(*0)n n a a q n a q -=?∈?≠N ， 要点诠释：
① 该公式可改写为：1n
n a a q q
=
? 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；1q = 时，是常数函数；
② 推广：n m n m a a q -=?.
前n 项和公式：111(1)(1)(1)
11n n n na q S a a q
a q q q q =??
=--?=≠?--?
要点诠释：
①在求等比数列前n 项和时，要注意区分1q =和1q ≠
②当1q ≠时，等比数列的两个求和公式，共涉及1a 、n 、q 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
3. 等比数列的主要性质：
（1）若*()m n p q m n p q +=+∈N 、、、，则m n p q a a a a ?=?； 特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ?=；
（2）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列；
（3）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列； （4）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇；
（5）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列；
（6）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a ≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n
a a （a ＞0且a ≠1）为等比数列；
（7）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)2
1
(*)n n n
n V a q n -=∈N .
知识点三：常见的数列通项公式求法
1. 已知数列的前几项：
已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式.
2. 已知等差数列或等比数列：
3. 已知数列的递推关系式：
①形如()1=+ n n a a d d +∈R ，该数列为等差数列．．．．
，利用公式法求数列的通项公式； ②形如()1=0n n a q a q +≠，该数列为等比数列．．．．，利用公式法求数列的通项公式. ③形如()1=+ 01n n a q a d d q q +?∈≠≠R 且，，构造公比为q 的等比数列+
-1n d a q ?
?
????
，利用公式法求解；
④形如()1=+ n n a a f n +，通过累加法．．．
（迭加法）求数列的通项；
⑤形如()1=g n n a n a +?，通过累乘法．．．
（迭乘法）求数列的通项. ⑥形如()1,0n n n pa a =p q pa +q +≠，两边取倒数，构造公差为q
p 的等差数列1n a ??????
，利用公式法求通项.
4. 已知n S ，求n a ： 利用n a 与n S 的关系，即11,(1),(2)
n n n S n a S S n -=?=?
-≥?，
，可求得数列的通项公式.
5. 已知12n =)a a a f(n ，求n a ：
利用作商法，即(1),(1)(),(2).(1)n f n a f n n f n =??
=?≥?
-?
求数列的通项公式.
知识点四：常见的数列求和方法
1. 公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和。 2. 分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：=2+34n n a n .
3. 裂项法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若1
()()
n a An B An C =++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则1111()()()n a An B An C C B An B An C =
=-++-++，如a n = 1(1)n n +11
1
n n =-
+ 4. 错位相减法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n a b c =?, 其中 {}n b 是公差d ≠0等差数列，{}n c 是公比q ≠1等比数列，如()=213n n a n ?.
一般步骤：
112211n n n n n S b c b c b c b c --=++?++，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++
所以有11231(1)()n n n n q S b c c c c d b c +-=+++??-
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 知识点五、通项n a 与前n 项和n S 的关系：
任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =++
+；
11
(1)(2)
n n n S n a S S n -=??=?
-≥??
要点诠释：
由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，
（2）求出当n ≥2时的n a ，
（3）如果令n ≥2时得出的n a 中的n =1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
知识点六：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量. 【典型例题】
类型一：等差、等比数列概念及其性质
例1. 已知等差数列{}n a ，25n S =, 2100n S =, 则3n S =（ ） A.125 B.175 C.225 D.250
【思路点拨】本题是关于等差数列的求值问题，故用常用的基本量法或者等差数列的性质解决即可。难点在于项数n 不确定，在解题过程中不妨采用合适的方法加以回避。
【答案】C 【解析】
方法一：利用等差数列的性质 ∵{}n a 为等差数列，
∴n S ,2n n S S -,32n n S S -成等差数列，即2322()()n n n n n S S S S S -=+- ∴32(10025)25(100)n S -=+-， 解得3225n S =, ∴选C.
方法二：特殊值法
令1n =，由题意可得1125n S S a ===,2212100n S S a a ==+=, ∴275a =，2150d a a =-=， ∴3313(31)
32252
n S S a d ?-==+=, ∴选C.
方法三：基本量法 1(1)252n n n S na d -=+
=，212(21)
21002
n n n S na d -=+= 两式相减可得1(31)
752n n na d -+=， ∴313(31)
37532252
n n n S na d -=+=?=. ∴选C.
【总结升华】三种解法各有各的特点，注意认真体会每一种解法，灵活应用. 本题还有其他的方法解析，在这里不再一一介绍，同学们有时间可仔细研究。
举一反三：
【变式】已知等比数列{}n b ，48n S =, 260n S =, 则3n S =（ ） A.75 B.2880 C.5
4
D.63
【答案】D
例2． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【思路点拨】这是关于等差数列的求值问题，采用基本量法解决即可. 注意奇数项的首项为1a ，公差为2d 22；偶数项首项为2a ，公差为2d .
【答案】5
【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，则 ()1
1111211123542
65=2=5.6++2322=.
65276+22
a d a d a d d
a d ??+?=????????????，解得，
所以该数列的公差是5. 【总结升华】
1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。方程思想在数列中很重要.
2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键. 举一反三：
【变式1】已知三个数成等比数列，其积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.
【答案】设这三个数为
a
q
、a 、aq ， 由题知216a a aq q
??=，解得6a =， 又∵
6
q
，64+，6q 构成等差数列， ∴6
2(64)6q q
?+=
+，即231030q q -+=， 解得3q =或1
3
q =，
∴这三个数为2，6，18或18，6，2. 【高清课堂：数列综合381084 例1】
【变式2】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，
222b a -=，333b a -=.
（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.
【答案】（1
）1(2n n a -=
或1(2n n a -= （2）13
a =
例3．等差数列{}n a 中，113a =,311S S =，则它的前_____项和最大，最大项的值是____. 【思路点拨】等差数列的首项1a >0，公差d 必然是负数，这样前n 项和有最大值. 取得
最大值时的项为数列中最后一个正数（或0），它处于正负相间的位置，满足+1
00.n n a a ≥??
≤?，
【答案】7，49
【解析】设公差为d , 由题意得111110
3112
a d a ?+=+
d ，得=2d , ∴{}n a 是首项为正数的递减数列，n S 有最大值. 又311S S =, ∴()45101178113++
++=4+==0a a a a a a S S -，
∴7800.a a ，><
所以7S 为最大值，即7S =7×13+
()76
22
??=49. 【总结升华】等差数列的前n 项和公式是一个二次的函数，当0d <时，函数有最大值. 举一反三：
【变式】若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足*12()n n n+n+b =a a a n ??∈N ，{}n b 的前n 项和用n S 表示，若{}n a 中满足512380a a =>，试问n 多大时，n S 取得最大值，证明你的结论.
【答案】∵512380a a =>， ∴()55387a a d =+，解得556
5
a d =>0 ∴176
05
d a d <=-
，， 故{}n a 是首项为正的递减数列.
则有111(1)00n n a a n d a a nd +=+-≥??=+≤?,即76
(1)05
760
5
d n d d nd ?-+-≥????-+≤??
解得：1515≤n ≤161
5
，∴n =16，即16a >0，17a <0
即：121617180a a a a a >>?>>>>>? 于是121417180b b b b b >>?>>>>>??
而15151617··0b a a a =<， 161617
18··0b a a a => ∴1413114151516S S S S S S S >>?>><，， 又15a =-180d a >=
，9
5
d <0， ∴1518151615160a a b b b b <∴<+>，
，即 ∴1614S S >，故n S 中16S 最大.
例4．设n n S T ，分别为等差数列{}n a ，{b n }的前n 项和，满足
71427n n S n T n +=+，求1111
a b . 【思路点拨】用好等差数列中n S 与n a 的一个关系： ()2121n n S n a +=+是解好本题的一个关键.
【答案】111143
a b = 【解析】
方法一：12111111212111111212112121
()
2721142212421273()2
a a a a a a S
b b b b T b b ++?+======+?++
方法二：设()(71),(427)0n n S k n n T k n n k =+=+≠， ∴()()111110117111107101148a S S k k k =-=?+-?+= ()()111110 T T 11411271041027111b k k k =-=?+-?+= ∴
11111484
1113
a k
b k ==. 【总结升华】等差数列的中项在前n 项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n 项和与通项公式的联系.
举一反三：
【变式】等差数列{}n a 中，n S =50，123430a a a a +++=，32110n n n n a a a a ---+++=，求项数n .
【解析】123430
(1)a a a a +++=， 32110
(2)n n n n a a a a ---+++=，
由（1）+（2）得:114()40()10n n a a a a +=?+=， 1()10
501022
n n n a a n S n +?=
?=?=. 类型二：n a 与n S 的关系式的综合运用
例5. 已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2
1056n n
n S a a =++，且1315a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 的通项n a .
【思路点拨】已知n n S a 与的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为n a 的递推关系式
【答案】=53n a n
【解析】∵2
1056n n
n S a a =++， ①
∴21111056a a a =++，解之得1a =2或1a =3.
又2
1111056(2)n n n S a a n ---=++≥， ②
由①-②得22
1110()5()n n n n n a a a a a --=-+-，即11()(5)0n n n n a a a a --+--=
∵()11052n n n n a a a a n --+∴-=≥＞，.
当1a =3时，3a =13，15a =73，1315a a a ，，不成等比数列 ∴1a ≠3；
当1a =2时，3a =12，15a =72，有23115=a a a ， ∴1a =2，∴=53n a n .
【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是
1
1(1)(2)n n
n a n a S S n -=?=?-≥?，尤其注意首项与其他各项的关系.
举一反三：
【变式1】已知数列{n a }的前n 项和公式为32=2n n n n
S -，求数列{n a }的通项公式.
【解析】323==122n
n n n n S -??
???
，则 当n =1时, 1a =1S =1
2；
当n ≥2时, 1=n n n a S S --=-1
331122n
n ??
?????????? ?
???
??
????????=1
1322n ??? ???
, 又n =1时,
12(32)0=1
2
=1a , 满足上式. ∴1
1322
n n a -=?（）.
【变式2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1
(1)(*)3
n n S a n N =-∈.
（1）求12,a a ；
（2）求证：数列{}n a 是等比数列。 【解析】
（1）由111(1)3S a =-，得111
(1)3a a =-，
∴11
2
a =-，
又221(1)3S a =-，即1221
(1)3
a a a +=-，得214a =。
（2）证明：当2n ≥时，1n n n a S S -=-111
(1)(1)33
n n a a -=---，
得
112n n a a -=-，又211
2
a a =-， 所以{}n a 为首项为12-，公比为1
2
-的等比数列。
类型三：特殊数列的求和
例6. 求数列1，22343456,,(0)a a a a a a a a a a ++++++≠，，
的前n 项和n S . 【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求
和. 本题含参数a ，注意讨论.
【解析】
（1）当1a ≠时，1
22
...n n n n a a a a
--=+++1121(1)1()11n n n n a a a a a a
----==---
3251211
...(1)()()()1n n n S a a a a a a a a
--??∴=
-+-+-++-??- 21242222121(1...)(1...)111(1)(
)111(1)(1)(1)(1)
n n n n n n a a a a a a a a
a a a a a a a a a a --+??=
++++-++++??-??--=-??---??--=
-+ （2）当1a =时，1
(1)2
n S n n =+；
（3）当1a =-，原数列为1，0，1，0，1，0……，
若n 为偶数，令2n k =（*k N ∈），则21010...102n k n
S S k ==++++++==
； 若n 为奇数，令21n k =-（*k N ∈），则21
1010 (1012)
n k n S S +==+++++++=. 【总结升华】分类讨论a 和n 的奇偶是本例化简的关键. 举一反三：
【变式1】求数列2222
1111
{(1)(1)...(1)()}23(1)n n -?--?+的前n 项和。 【答案】
22222222222
213111...23(1)1324(1)(1)1...23(1)12(1)111()21
n n a n n n n n n n n n n ---=??
+??-+=??+=
+=-+
所以可以得到：11(1)212(1)
n n S n n =-
=++。 【变式2】求和：122221*()n n n n n n n S a a b a b a b ab b n N ----=++++++∈
【答案】=0a 或=0b 时，()n n n S b a = 当=a b 时，(1)n n S n a =+； 当a b ≠时，11
n n n a b S a b
++-=-
类型四：求数列的通项公式
例7．写出数列：15-，310，517-，7
26
，… 的一个通项公式.
【思路点拨】观察该数列，各项是由三部分构成：符号、分子和分母. 不妨把它看成三
个数列，分别求其通项.
【答案】通项公式为：221
(1)(1)1
n
n n a n -=-++.
【解析】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n -表示；
数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；
数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,231+, 241+,251+,…可用2(1)1n ++表示；
所以该数列的通项公式可写为221
(1)(1)1
n n n a n -=-++.
【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式。如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】数列：1-，85，157-，24
9，……的一个通项公式是（ ）
A.2(1)21
n
n n n
a n +=-+ B.(3)(1)21n n n n a n +=-+
C.2(1)1(1)21
n
n n a n +-=-- D.(2)
(1)21n n n n a n +=-+
【答案】采用验证排除法，令1n =,则A 、B 、C 皆被排除，故选D. 【变式2】给出数表：
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
… … … …
（1）前m 行共有几个数？
（2）第m 行的第一个数和最后一个数各是多少？ （3）求第m 行的各数之和； （4）数100是第几行的第几个数？ 【答案】 （1）1
(1)2
m m +；
（2）1(1)12m m -+，1
(1)2m m +；
（3）21
(1)2
m m +；
（4）第14行的第9个数。
例8．已知数列{}n a 中，11a =，12
13
n n a a +=+，求n a .
【思路点拨】把1213n n a a +=+整理成12
3(3)3
n n a a +-=-，构造等比数列{3}n a -.
【解析】
法一：设12
()()3n n a A a A ++=+，解得3A =-
即原式化为12
(3)(3)3
n n a a +-=-
设3n n b a =-，则数列{}n b 为等比数列，且1132b a =-=- ∴122
3(2)()33()33
n n n n n b a a -=-=-??=-?
法二：∵12
13n n a a +-= ①
12
1(2)3n n a a n --=≥ ②
由①－②得：112
()3
n n n n a a a a +--=-
设1n n n b a a +=-，则数列{}n b 为等比数列 ∴11222
()()333n n n n n b a a -+=-=?=
∴22
1()33n n n a a +-= ∴233()3
n n a =-?
法三：21213a a =+，2322221()1333a a =+=++，32432222
1()()13333a a =+=+++，……，
112
2
2
1()13
3
3
n n n a a --=+=
=+++， ∴2
33()3
n n a =-?
【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列.
举一反三：
【变式1】 数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则
32b =-，1012b =，则8a =（ ）
A ．0
B ．3
C ． 8
D ．11
【答案】B
由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法
21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-+
+-=-+-+-++++=?==
【变式2】在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=1n
n
a na +，求a n . 【答案】11111,1n n n n n n n a na a n na a a a +++=∴==++，∴111
n n
n a a +-= ∴
21
11
1a a -= 32
11
2a a -= ……
1
11(1)(2)n n n n a a --=-≥ 将以上各式叠加，得1
11
12(1)(1)(2)2
n n
n n n a a -=+++-=
-≥ ∴
11(1)(2)2
n n
n n a =+-≥ 又n=1时，1
1
11(11)12
a +-== ∴*2
2
()2
n a n N n n =
∈-+ 类型六：应用题
例9．某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少1
5.第一个月
的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加1
4
.
(1) 设n 个月内的总投入为n a 万元，总收入为n b 万元，写出n a ，n b ；
(2) 问经过几个月后商场开始扭亏为盈.
【思路点拨】构建数学模型：各月的月投入构成以80为首项、14
1
=55
为公比的等比数列，总投入n a 是该数列的前n 项和；各月的月收入是以40为首项、15
1+=44
为公比的等比数
列，总收入n b 总是该数列的前n 项和.
【解析】 (1)由题意，得
2
1
4144445808080808040014555515
n
n n n a -??- ?
??????
??
????=+?+?+
+?=?=-?? ? ? ?
?????
??
??????-.
2
1
55540404040444n n b -????
??
=+?+?+
+? ? ? ?
????
??
51544016015414
n
n ??- ?
??????=?=-?? ???????-.
(2)由题意，令a n
.
设54n
t ??= ???，则1512(1)t t ??
-<- ???，即2t 2－7t ＋5>0.
∵t >1，∴解得t >52，即5542n
??
> ???.
取n ＝4，则4
551255421282??
??=?< ? ???
??；
取n ＝5，则5
556255425122??
??=?> ? ???
?? ∴第5月开始扭亏为盈．
【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.
举一反三：
【变式】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材存量.
（1）写出n a 的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于7
9a ,如果
19
72
b a =
，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取lg 20.30=）. 【答案】
（1）依题意，第一年森林木材存量为a ， 1年后该地区森林木材存量为：15
4
a a
b =-，
2年后该地区森林木材存量为：221555
()(1)444a a b a b =-=-+，
3年后该地区森林木材存量为：32325555
()[()1]4444a a b a b =-=-++，
4年后该地区森林木材存量为：4324355555
()[()()1]44444
a a
b a b =-=-+++，
… …
n 年后该地区森林木材存量为：125555
()[()()...1]4444
n n n n a a b --=-++++
（2）若1972b a =
时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于7
9
a ， 即 55197
()4[()1]44729n n a a a --?<，
解得554n >（），即5lg lg54
n >，
∴lg 51lg 2
7lg 52lg 213lg 2
n ->
==--，
∴8n =.
答：经过8年该地区就开始水土流失.