初一数学专题讲解

初一数学专题讲解

第1讲数轴中的数形结合思想【链接方法】

数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想──数形结合思想.华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．

利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：

1.运用数轴直观地表示有理数(rational number)；

2.运用数轴形象地解释相反数(opposite number)；

3.运用数轴准确地比较有理数的大小；

4.运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题.

【挑战例题】

【例1】(1) (第17届江苏省竞赛题)数轴上有A、B两点,如果点A对应的数是-2,且A、B两点的距离为3,?那么点B对应的数是________.

(2) (第15届江苏省竞赛题)在数轴上,点A、B分别表示-1

3

和

1

5

,则线段AB的

中点所表示的数是________.

【例2】(第12届“希望杯”邀请赛试题)如图,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C?所表示的数最接近的整数是( ).

A.-1

B.0

C.1

D.2

【例3】比较a与1

a

的大小.

F

D

C

【例4】(1)工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？

(2)如果工作台由5个改为6个,那么工具箱应如何放置能使6?个操作机器的人取工具所走的路程之和最短?

(3)当流水线上有n个工作台时,怎样放置工具箱最适宜?

【提升能力】

1. (2003年河南省竞赛题)如图,A、B、C、D、E为数轴上的五个点,且AB=BC=CD=DE,则图中与P?点表示的数比较接近的一个数是( ).

A.-1

B.1

C.3

D.5

2.（2013年山东省菏泽市中考题）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是

a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（）

A．点A的左边B．点A与点B之间

C．点B与点C之间D．点B与点C之间或点C的右边

3. (第15届江苏省竞赛题)如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、

B、C、D对应的数分别是整数a,b,c,d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是( ).

A.A点

B.B点

C.C点

D.D点

4. (第18届江苏省竞赛题)数a、b、c、d所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示,那么a+c与b+d的大小关系是( ).

A.a+c

B.a+c=b+d

C.a+c>b+d

D.不确定的

C O

（第3题）（第4题）

5．（2007年江苏省镇江市中考题）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①33=x ；②15=x ；③108104x x <；④20082007x x <．其中，正确的结论的序号是（ ） A ．①、③ B ．②、③ C ．①、②、③ D ．①、②、④ 6.在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3,则a-3=________. 7.a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则

1a b -、1c b -、1

a c

-中最大的是________.

（第7题） （第8题）

8.如图,工作流程线上A 、B 、C 、D 处各有1名工人,且AB=BC=CD=1,现在工作流程线上 安放一个工具箱,使4个人到工具箱的距离之和为最短,?则工具箱的安放位置是__________.

9. 已知a 、b 为有理数，且a >0，0

10. (山东省竞赛题)已知数轴上表示负有理数m 的点是点M,那么在数轴上与点M 相距│m │个单位的点中,与原点距离较远的点对应的数是________.

11．（2005年江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该 圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上的数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．

（1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =______；

（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周为正整数）n n (圈后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是______（用含n 的代数式表示）．

c

a

b

B 3

10

5

12. (北京市“迎春杯”竞赛题)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和.

13.已知两数a 、b,如果a 比b 大,试判断│a │与│b │的大小.

14.电子跳蚤落在数轴上的某点K 0,第一步从K 0向左跳1个单位到K 1,第二步由K 1向右跳 2个单位到K 2,第三步由K 2向左跳3个单位到K 3,第四步由K 3向右跳4个单位到K 4…,?按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是19.94,?试求电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数 .

第2讲 绝对值中的分类讨论思想

【链接方法】

1.若x m =（m ＞0），则x m =±.

2.若a ＞0，则

1a a =；若a ＜0，则1a

a

=-. 3．灵活运用绝对值基本性质:

①2

2

2

0;;;a a a a ab a b ===?≥②③④

)0(≠=b b

a b a

；⑤a b +≤a b +.

4.绝对值的非负性的应用：

①若0a b +=，则0a b ==；②2

0a b +=，则0a b ==.

【挑战例题】

【例1】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点之间的距离为8，求这两个数.

【例2】(山东省竞赛题)如果是非零有理数，且0=++c b a ，那么

abc

abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )． A ．0 B ． 1或一l C ．2或一2 D ．0或一2

【例3】(1)(北京市“迎春杯”竞赛题)已知321===c b a ，，，且c b a >>， 那么c b a -+＝ ．

【例4】(“五羊杯”竞赛题)已知12--b ?ab 与互为相反数，试求代数式：

1111

(1)(1)(2)(2)

(2012)(2012)

ab a b a b a b ++++

++++++的值．

思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出b a 、的值．

【例5】有3个x 的值使等式21x a --=成立，则a 的值为 . 变式：关于x 的方程||x+3|-1|=a 有三个解，则a 的值为 1

【提升能力】

1.x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1

c b a 、、

2.若ab ab =，则必有（ ）

A 、a>0,b<0

B 、a<0,b<0

C 、ab>0

D 、0≥ab 3．设0=++c b a ，0>abc ，则

c

b

a b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 4. 当b= 时，5-12-b 有最大值，最大值是 .

5.若1999a -与2000b +互为相反数，则2011()a b += .

6.已知abc ＜0，a b c ++＞0，且a b c ab bc ca

x a b c ab bc ca

=

+++++，则 322013ax bx cx +++= .

7．若为有理数，那么，下列判断中：

(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有22)(b a -=．正确的是 (填序号).

8．(江苏省竞赛题)设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且

c b a ≤≤，则a c c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ．

9.使等式232x a --=成立的x 的值有3个，则a 的值为 . 10.若5=x ，3=y ，且x y y x -=-，求xy 的值． 11.若2=a ，5=b ，且0>ab ，求=-b a ？

12.已知2=a ，4=b ，且0>+b a ，求b a 32+的值． 13．有理数c b a 、、均不为零，且0=++c b a ，设b

a c a

c b c

b a x ++

++

+=

，

试求代数式19

991914x x ++的值．

14．若c b a 、、为整数，且199

19

=-+-a

c b a ，求c b b a a c -+-+-的值．

b a 、

第9讲 二元一次方程组

知识点一

1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解

练习题

1、指出下列方程那些是二元一次方程？并说明理由。 （1）3x+y=z+1 ( ) (2) x(y+1)=6 ( ) (3) 2x(3-x)=x 2-3(x 2+y) ( )

2、下列方程中，是二元一次方程的有（ ） ①

1225=-n m ② a z y -=-61147 ③ 312=-+b

a ④ mn+m=7 ⑤ x+y=6 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列方程中，是二元一次方程组的是 （ ）

① ??

?=+=-7

232z y y x ② ????

?-=-=+1241

x

y y x ③ ??

?=-=--5

12)4(3y x x x ④ ??

??

?=

+=-21

32132y x y x

A 、①②③

B 、②③

C 、③④

D 、①②

知识点二

代入消元法解二元一次方程组：

（1） 基本思路：未知数又多变少。

（2） 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知

数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤：

1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未

知数（例如y ）用含另一个未知数（例如x ）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”

2、 将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”。

3、 解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”。

4、 把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”

5、 把x 、y 的值用｛联立起来即“联”

练习题

（1）??

?=+=-1

3y x y x （2）??

?=+=-83120

34y x y x

（3）??

?=+=-1464534y x y x （4）??

?=-=+1235

4y x y x

（5）??

?=+=+1

32645y x y x （6）??

?=+=-17

327

23y x y x

知识点三

加减消元法解二元一次方程组

（5） 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边

分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（6） 用加减消元法解二元一次方程组的解

1、 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那

么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，

即“加减”。

3、 解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。

4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数

的值即“回代”。

5、 把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。

练习题

（1）23321y x x y =-??

+=? （2）??

?-=-=+4

23

57y x y x

（3） 23

3418x y

x y ?=?

??+=? （4）56

3640

x y x y +=??

--=?

第10讲 二元一次方程解法综合练习

综合训练： 一.填空题

1.在方程32y x =--中,若2x =,则_____y =.若2y =,则______x =;

2.若方程23x y -=写成用含x 的式子表示y 的形式:_________________;写成用含y 的式子表示x 的形式:___________________________;

3. 已知??

?==1

2

y x 是方程2x +ay=5的解，则 a= .

4.二元一次方程343x my mx ny -=+=和有一个公共解1

1x y =??=-?,则

m=______,n=_____;

5.已知2|2|(3)0a b b -++-=,那么______ab = 二选择题

1.对于方程组5

322(1),(2),(3),(4)161021x y x y x x y x xy x y x y y +=?+===????

????

-==-+=--=?????

,是二元

一次方程组的为( )

A.(1)和(2)

B.(3)和(4)

C.(1)和(3)

D.(2)和(4)

2.若25x y =??=?是方程22kx y -=的一个解,则k 等于( )

858 (6)

.5

3

3

A B C D -

3.方程组341112

38x y x y =??

?-=??的解为( )

1

214

2 (43)

33

2

8

x x x x A B C D y y y y ?

==???==?????

???==????==????

4.已知,a b 满足方程组28

27a b a b +=??+=?,则a b -的值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

2、若3122

x m y m =+??

=-?，是方程组1034=-y x 的一组解，求m 的值。

3、已知等式(2A －7B)x+(3A －8B)=8x+10，对一切实数x 都成立，求A 、B 的值。

拓展训练： 解下列方程：

（1）??

?-=-+=-85)1(21)2(3y x x y （2）?????=+=

18

433

2y x y x

（7）????

?=+-+=-+-0

4235

132423512y x y x （8）????

?=+--=++-5

7326

231

732623y x y x y x y x

第11讲 实际问题与二元一次方程组

一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案

二、典型例题讲解

题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题

1、 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖

5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套

【变式】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

题型二、列二元一次方程组解决行程问题

1、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？

2、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏

由甲地漂流到乙地需要多长时间？

【变式】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

题型三、列二元一次方程解决商品问题

3、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20

件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B 商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。

【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

（注：获利 = 售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；

题型四、列二元一次方程组解决工程问题

4、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水

引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修

0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.

题型五：列二元一次方程组解决增长问题

5、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，

这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？

【变式】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

第十二讲直线、射线、线段

要点：直线、射线、线段的区别与联系

1.直线、射线、线段之间的联系

（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．

（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．

2．三者的区别如下表

要点诠释：

（1）联系与区别可表示如下：

（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”【典型例题】

类型一、有关概念

1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．

【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.

类型二、有关作图

2．如图(1)所示，已知线段a ，b(a ＞b)，画一条线段，使它等于2a-2b ．

【变式1】下列说法正确的有 ( )

①射线与其反向延长线成一条直线； ②直线a 、b 相交于点m ； ③两直线相交于两个交点； ④直线A 与直线B 相交于点M

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．4个 【变式2】下列说法中，正确的个数有( )

①已知线段a ，b 且a-b ＝c ，则c 的值不是正的就是负的； ②已知平面内的任意三点A ，B ，C 则AB+BC ≥AC ； ③延长AB 到C ，使BC ＝AB ，则AC ＝2AB ；

④直线上的顺次三点D 、E 、F ，则DE+EF ＝DF ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

类型三、个（条）数或长度的计算

3. 根据题意，完成下列填空．

如图所示，1l 与2l 是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线3l ，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线4l ，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，

6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．

【变式1】平面上有n个点，最多可以确定条直线

【变式2】一条直线有n个点，最多可以确定条线段，条射线

【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?

类型四、路程最短问题

4.如图所示，某公司员工分别住A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区?

【变式】如图，从A到B最短的路线是（）

A．A-G-E-B B．A-C-E-B

C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B