//a α//a b
点线面位置关系总复习
知识梳理
一、直线与平面平行 1.判定方法
（1）定义法：直线与平面无公共点。 （2）判定定理：
（3）其他方法：
//a αβ
β
?
2.性质定理：//a a b
α
βαβ??=
二、平面与平面平行 1.判定方法
（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b P
β
β
αα???= //αβ
（3）其他方法：
a a αβ
⊥⊥ //αβ;
////a γ
βγ
//αβ
2.性质定理：//a b
αβ
γαγβ?=?=
三、直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 （2）判定方法 ① 用定义.
//a b a b αα??//a α//a b
//a b
② 判定定理:a b a c
b c A b c αα
⊥⊥?=?? a α⊥
③ 推论:
//a a b
α⊥ b α⊥
（3）性质 ①a b αα
⊥? a b ⊥ ②
a b αα
⊥⊥
四、平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。 （2）判定定理a a αβ
?⊥ αβ⊥
（3）性质
①性质定理l
a a l
αβαβα
⊥?=?⊥ αβ⊥
② l P P A A αβαβα
β⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈
3 l P PA αβαβαβ
⊥?=∈⊥ PA α?
“转化思想”
面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直
●求二面角
1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.
2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角
的平面角
例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角
定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
例1：在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．
例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；
②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；
③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；
④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；
⑤ BD1与平面BC1D 所成的角的大小是___________；
例3：已知空间内一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 两两夹角为60°，试求OA 与平面BOC 所成的角的大小．
● 求线线距离
说明：求异面直线距离的方法有：
(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．
(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面α，则b 与α距离就是a 、b 距离．（线面转化法）．
也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．
(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．
(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解． 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．
例：在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离。
● 线面平行（包括线面距离）
1111ABCD A BC D -111//B AD BC D 平面平面例：已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ?上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明
● 面面平行（包括面面距离） 例1：已知正方体 ，求证
例2：在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离．
● 面面垂直
例1：已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC⊥平面PBD。
例2：已知直线PA垂直于?O所在的平面，A为垂足，AB为?O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC⊥平面PBC。
课后作业：
一、选择题
1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()
A.平行
B.相交
C.异面
D.垂直
2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()
A.若m?β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
3.(改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC()
A.是非等腰的直角三角形
B.是等腰直角三角形
C.是等边三角形
D.不是A、B、C所述的三角形
,,12345,O PA ABCD M N AB PC MN PAD MN CD
PDA MN PCD
⊥⊥⊥∠=⊥如图，已知矩形所在平面。分别是的中点。（）求证：面（）求证：（）若求证：
面4.把等腰直角△ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B —AD —C ，则BD 与平面ABC 所成角的正切值为 ( ) A.2 B.
22 C.1 D.3
3
5.如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ACB 所在平面，那么( )
A.P A ＝PB >PC
B.P A ＝PB C.P A ＝PB ＝PC D.P A ≠PB ≠PC 二、填空题： 6. 正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ， 则动点P 的轨迹的周长为 . 7. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β； ④m ⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： . 三、解答题 11.如图(1)，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，如图(2)，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连接BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱 BC 的中点. (1)求证：AE ⊥BD ； (2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ； (3)判断DE 能否垂直于平面ABC ？并说明理由. 12. 12.如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD ＝λ(0<λ<1). (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ 13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD . (1)求证：DP ⊥平面EPC ； (2)问在EP 上是否存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP 的值. 参考答案 ● 求二面角 分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 解： 在RtΔSAC 中，SA=1，SC=2， ∴∠ECA=30?， 在RtΔDEC 中，∠DEC=90?， ∴∠EDC=60?， ∴ 所求的二面角为60?。 ● 求线线距离 解法1：（直接法）如图： 取BC 的中点P ，连结PD 、1PB 分别交AC 、1BC 于M 、N 两点， 易证：MN DB //1，AC DB ⊥1，11BC DB ⊥． ∴MN 为异面直线AC 与 1BC 的公垂线段，易证：a DB MN 33 311==． 小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大． 解法2：（转化法）如图： ∵//AC 平面B C A 11， ∴AC 与1BC 的距离等于AC 与平面B C A 11的距离， 在1OBO Rt ?中，作斜边上的高OE ，则OE 长为所求距离， ∵ a OB 22= ，a OO =1， ∴ a B O 231=，∴a B O OB OO OE 3311=?=． 小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离． 解法3：（转化法）如图： ∵平面1ACD //平面B C A 11， ∴AC 与1BC 的距离等于平面1ACD 与平面B C A 11的距离． ∵⊥1DB 平面1ACD ，且被平面1ACD 和平面B C A 11三等分； ∴所求距离为a D B 33 311=． 小结：这种解法是线线距离转化为面面距离． 解法4：（构造函数法）如图： 任取点1BC Q ∈，作BC QR ⊥于R 点，作AC PK ⊥于K 点，设x RC =， 则x a QR BR -==，KR CK =，且2 22CR CK KR =+ ∴ 2222121x CR KR == ． 则 22 2)(21x a x QK -+= 2223131)32(23a a a x ≥+-= ， 故QK 的最小值，即AC 与1BC 的距离等于a 33 ． 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距 离． 解法5：（体积桥法）如图： 当求AC 与1BC 的距离转化为求AC 与平面B C A 11的距离后，设C 点到平面B C A 11的距离为h ， 则 1 111BCC A B C A C V V --=． ∵2 221 31)2(4331a a a h ??=?， ∴ a h 33．即AC 与1BC 的距离等于a 33． 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之．这 种方法在后面将要学到． 线面平行 例： 分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行． 观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线． 怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点． 证法1：连结CG 交DE 于点H ， ∵DE 是ABC ?的中位线， ∴AB DE //． 在ACG ?中，D 是AC 的中点，且AG DH //， ∴H 为CG 的中点． ∵FH 是SCG ?的中位线，∴SG FH //． 又SG ?平面DEF ，FH ?平面DEF ， ∴//SG 平面DEF ． 分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明 DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出． 证法2：∵EF 为SBC ?的中位线， ∴SB EF //． ∵?EF 平面SAB ，?SB 平面SAB ， ∴//EF 平面SAB ． 同理：//DF 平面SAB ，F DF EF = ， ∴平面SAB //平面DEF ，又∵?SG 平面SAB ， ∴//SG 平面DEF ． 面面平行 例一： 证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体， ∴B C A D 11//， 又 ?B C 1平面BD C 1， 故 //1A D 平面BD C 1． 同理 //11B D 平面BD C 1． 又 1111D B D A D = ， ∴ 平面//11D AB 平面BD C 1． 例二： 根据正方体的性质，易证： 1 111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面?? ?? 连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N 因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥ ∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB ∴平面BD A 1和平面11D CB 间的距离为线段MN 长度． 如图所示： 在对角面1AC 中，1O 为11C A 的中点，O 为AC 的中点 ∴ a AC NC MN AM 333111== ==． ∴BD 和C B 1的距离等于两平行平面BD A 1和11D CB 的距离为a 33 ． 面面垂直 例1： 例2： 作业： 一、选择题： 1. D 2. C 3. C 4. B 5. C 6.解析：如图，取CD 的中点F 、SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，EF 交AC 于点H ，易知AC ⊥EF ，又GH ∥SO ， ∴GH ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ， 故点P 的轨迹是△EFG ， AB 是圆O 的直径 C 是圆周上异于A 、B 的一点 ? ?⊥?? BC AC ⊥PA 平面ABC ?BC 平面ABC ? ?⊥?? BC PA ??AC 平面PAC ，PA 平面PAC = AC PA A ? ?? ?????⊥BC 平面PAC ?BC 平面PBC ? ?? ?⊥平面PAC 平面PBC 。 其周长为2＋ 6. 答案：2＋ 6 7. ①③④?②；②③④?① 点线面体在生活中的应用 大千世界，每一个复杂的物体，说到底都是由基本的点、线、面、体构成。俗话说：“万丈高楼平地起。”因此，学习设计我们也是从基本做起。 点的形象，在几何学上，点只有位置，没有面积。但在实际构成练习中点要见之于图形，并有不同大小的面积。至于面积多大是点，要根据画面整体的大小和其它要素的比较来决定。点在构成中具有集中、吸引视线的功能。点的连续会产生线的感觉，点的集合会产生面的感觉，点的大小不同会产生深度感，几个点会有虚面的效果。 线的形象：几何学上的线是没有粗细的，只有长度和方向，但构成中的线在图面上是有宽窄粗细的。线在东方的绘画中被广泛运用，并有很强的表现力。线的种类很多：有直线和曲线，而直线又分为平行线、垂线、折线、斜线；曲线有圆、抛物线、弧线、双曲线等。线在造形中的地位十分重要，因为面的形是由线来界定的。也就是形的轮廓线。不同的线表现不同的意念。粗线有力，细线锐利。线的粗细可产生远近关系，线还有很强的方向性。垂直线有庄重、上升之感；水平线有静止、安宁之感；斜线有运动、速度之感；而曲线有自由流动、柔美之感。 面的形象：面具有长度、宽度，无厚度，是体的表面，它受线的界定，具有一定的形状。面有几何形、有机形、偶然形等。面又分两大类：一是实面，一是虚面。实面是指有明确形状的能实在看到的；虚面是指不真实存在但能被我们感觉到的，由点、线密集机动形成。 越小的形体越给人一种点的感觉，当然这是一种相对的小，例如，月球相对于地球，地球相对于太阳系。不同大小、疏密的混合排列，使之成为一种散点式的构成形式。我们将大小一致的点按照一定的方向进行有规律的排列，可以给人的视觉留下一种由点的移动而产生线画的感觉；由大到小的点按一定的轨迹、方向进行变化，产生一种优美的旋律感；把点以大小不同的形式，密集又分散的进行有目的的排列，可产生面化感；将大小一致的点以相对的方向逐渐重合，产生微妙的动态视觉。如此凸显出了点在立体构成中的构成形式，以及与线面的关系效果。 点是相对较小的元素，它与面的概念是相互比较而形成的，同样是一个圆，如果布满整个作用，它就是面了，如果在一幅构成中可以多处出现，就可以理解为点。点最重要的功能就是表明位置和进行聚集，一个点在平面上与其它元素相比，是最容易吸引人的视线的。点是最基本和最重要的元素，一个较小的元素在一幅图中或者两个以上的非线元素中如果同时出现在一个图中，我们都可以将其视为点。这么说来点可以有各种各样的形状，有不同的面积，但在平面设计理论中，它的位置关系重于面积关系，甚至很多时候，我们并不关心点的面积大小。两个以上的点，可又有不同的对应关系，入并列、上下重叠、大小相同对比等，各有各的视觉感受。更多线上的点可以形成点线，点线拥有线的优势，又有点的特征，是用的较多的设计方式。 三个以上不在同一条线上的点可以形成面，我们可以运用点面这种特性来进行设计，店面具有免得优势，更多的是面的特征，但同时 1、下列有关平面的说法正确的是（ ） A 一个平面长是10cm ，宽是5cm B 一个平面厚为1厘米 C 平面是无限延展的 D 一个平面一定是平行四边形 2、已知点A 和直线a 及平面α，则： ①αα???∈A a a A , ② αα∈??∈A a a A , ③αα????A a a A , ④αα???∈A a a A , 其中说法正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3、下列图形不一定是平面图形的是（ ） A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ） A.4、6、7 B.3、4、6、7 C.4、6、7、8 D.4、6、8 5、共点的三条直线可确定几个平面 （ ） A.1 B.2 C.3 D.1或3 6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、1B 1C 1的中点， 则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ） A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 7、三个平面两两相交，交线的条数可能有———————————————— 8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。 9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有——————————— 10、空间两条互相平行的直线指的是（ ） A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） A 异面直线 B 相交直线 C 不平行直线 D 不相交直线 12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（ ）条。 A 4 B 3 C 2 D 1 13、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，下列说法中不正确的是（ ） A.若AC 和BD 共面，则AD 与BC 共面 B.若AC 和BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C.若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D.若AB ＝BC ＝CD ＝DA ，则四边形ABCD 不一定是菱形 14、空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等，若E 、F 分别为SC 、AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成的角为（ ） A 300 B 450 C 600 D 900 15、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线,与另一条直线的位置关系是———————————————————— 16、设c b a 、、表示直线，给出四个论断：①b a ⊥②c c ⊥③c a ⊥④c a //，以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题—————————————————— 17、ABCDEF 是正六边形，P 是它所在平面外一点，连接PA 、PB 、PC 、PD 、PE 、PF 后与正六边形的六条边所在直线共十二条直线中，异面直线共有——————————对。 18、点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且BD ＝AC ，则四边形EFGH 是————————————。 A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ? ? ? S C A B E F 解读空间的构成―――点线面空间点、线、面是学习立体几何基础，要求理解平面概念及画法。掌握四个公理，一个定理内容，并理解点、线、面之间的关系。 一、基本概念探索 对于平面主要有三个特征：（1）平的；（2）没有大小，无限延展；（3）没有厚度。 掌握点――直线――平面间的相互关系，并会用文字――图形――符号语言正确表示。 特别警示：注意点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关 系的转换，集合中“”的符号只能用于点与直线，点与平面的关 系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。（平面外的直线a）表示或 二、平面基本性质探究 平面的基本性质1：①说明了平面与曲面的本质区别；②是判定直线是否在平面内的依 据；③也可用于验证一个面是否是平面。 平面的基本性质2：①确定平面；②证明两个平面重合。 平面的基本性质3：①揭示了两个平面相交的主要特征；②确定两相交平面的交线位置；③判定点在直线上。 要点扫描： 1、空间两直线的位置关系：（1）相交――有且只有一个公共点；（2）平行――在同一平面内，没有公共点；（3）异面――不在任何一个平面内，没有公共点。 2、直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）。 3、面与面的位置关系：（1）面与面平行；（2）面与面相交。 三、两条直线位置关系剖析 空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面，重点是平行直线、异面直线。 1、关于平行直线，有①公理4：若a//b，a//c，则b//c；公理4可以理解为空间内直线间的平行关系具有传递性。②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 2、关于异面直线，要理解相关概念 （a）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 点线面位置关系知识点总结 【空间中的平行问题】 （1）直线与平面平行的判定及其性质 ①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 （线线平行→线面平行） ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行→线线平行） （2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理： ①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行） ②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行） ③垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理： ①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 【空间中的垂直问题】 （1）线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。 （2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 【空间角问题】 （1）直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 （2）直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0 ,a b ''0 精品 文 档 点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、 平面L =?βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =?，过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ，则γβ?是（ ） A ．直线AC B ．直线B C C ．直线CR D ．以上都不对 2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个 4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是（ ） A ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 B ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 C ． 若?=?b a ，则直线b a ,为异面直线 D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有 公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ） A ．1个 B ．1个或无数个 C ．0个或无数个 D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．相交 B ．α//b C ．α?b D ．α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．α?b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．b 与平面α相交 C ．α?b D ．不能确定 14、已知//a 平面α，直线α?b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面 空间点线面的位置关系 【考纲要求】 （1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理； （3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 （1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内； （2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论： （1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 空间点线面位置关系 三个公理、三个推论 平面 平行直 异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直 概念 垂斜 空间直线 与平面 空间两个平面 两个平面平行 两个平面相交 三垂线定理 直线与平面所成的角 （1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。 （2）线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。 要点诠释：证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。 考点二、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 ???? ??? ?相交直线共面直线平行直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’ ∥a,b ’ ∥b,把a ’ 与b ’ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）. ②范围：02 π?? ??? ， 要点诠释：证明两直线为异面直线的方法： 1、定义法（不易操作） 2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 3、客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图： 点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1. 若是平面外一点，则下列命题正确的是（ ） （ A ）过只能作一条直线与平面相交 （ B ）过可作无数条直线与平面 垂直 （C ）过只能作一条直线与平面平行 （D ）过可作无数条直线与平面平行 2.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题 ① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．． 的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4.如图所示，在正方形ABCD 中， E 、 F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) 5．下列说法正确的是（ ） A ．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B ．若直线在平面外，则 C ．若直线，，则 D ．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线 6．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（ ） A ．、都垂直于平面 B ．内存在不共线的三点到平面的距离相等 C ．、是内两条直线，且， D ．、是两条异面直线，且，，， 7．已知直线a ∥平面α，直线b ?α，则a 与b 的关系为（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④????⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 8．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时， 直线BD 和平面ABC 所成角的大小为 （ ） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 第4题图 高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为 简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2 2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么L A · α C · B · A · α P · α L β 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线 =>a ∥c 2 点线面的运用 教学目的： 通过本课使同学们明确学习的意义和点线面的构成方法，培养同学们的创造思维和设计能力。 教学重点： 点线面在构成中的意义和重要位置。 教学难点： 使同学们通过对抽象形态组合建立新的思维方式。 教具： 点线面作品若干~PPT课件 学习过程： 一、导入新课 找一找，这些图片中的点线面分别有哪些？，从生活用品、住房、交通工具等方面进行分析。 点线面组成了各种各样漂亮的花纹，组成多姿多彩的世界。 二、讲授新课 在生活中，点线面随处可见，举例说明它存在于生活的那些方面？ 什么样叫点什么叫线面呢？我们一起去探索 空间、位置、方向、形状、大小、色彩作为平面构成，它的构成形态无论如何复杂，都离不开点线面几种基本形态 1、点 点是相对细小的形象。所谓细小是相对与周围的环境而言。分为有序和无序两种组合。 结合生活中的实际考虑一下点给人一种什么样的感觉？ 2、线 线是点的移动轨迹。线有粗细。当其宽度与长度差异悬殊是方能成为线。线分为直线、曲线。 结合生活中的实际考虑一下线存在于何处？给人一种什么样的感觉？ 3、面 面：线的移动轨迹成为面。面是宽窄比利适当的形。 结合生活中的实际考虑一下面存在于何处？给人一种什么样的感觉？总结点线面；小巧简洁，活泼灵动的是点，千变万化，富于表现力的是线，占据大空间，沉稳而概括的是面 4,总结点线面；小巧简洁，活泼灵动的是点，千变万化，富于表现力的是线，占据大空间，沉稳而概括的是面。点线面，组成了丰富的形象世界，是造型的基本条件。 性能（造型中）或情感：点：点的组合适于表现节奏感和紧缩感。线：线适于表现动感和速度感。例：动画、漫画中的人物。面：面适于表现量感和扩张感。 三、作业 在了解了点线面特征后，以点线面中的任何一种形态来设计一幅平面构成的图形 四．展示与评价 教师展示学生作业并进行评讲，并鼓励学生：多看多想多动脑一定会创作出更好的作品 空间点、线、面的位置关系 【基础回顾】 1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线． 公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过____________________，有且只有一个平面． 推论2：经过________________，有且只有一个平面． 推论3：经过________________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角． ②范围：____________. 3．公理4 平行于____________的两条直线互相平行． 4．定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 ________． 自我检测 1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________． 2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对． 3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________． 4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________． 5．下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________(填序号). 【例题讲解】 1、平面的基本性质 例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH. 求证：EH、FG、BD三线共点． 变式迁移1 点、线、面的位置关系 ● 知识梳理 （一）.平面 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理2：不共线．．． 的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面. 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面 1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； 1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈??；（2）作异面直线所成的角：平移法. 2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行 3.平面与平面的位置关系：平行，相交 （三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点. ②判定定理：////a b a a b αα α???????? ③性质定理：////a a a b b αβαβ??????=? 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：[]0,90θ∈?? 3.面面平行：①定义：//αβαβ=??； ②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ?=? 判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥?. ③面面平行的性质：（1）////a a αββα????? ； （2）////a a b b αβαγβγ? ? =???=? （四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a α?都有l a ⊥，且l α?，则l α⊥. ②判定：,a b a b O l l l a l b ααα?? ?=? ???⊥??⊥? ⊥?? ③性质：（1） ,l a l a αα⊥??⊥； （2）,//a b a b αα⊥⊥?； 3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角－的平面角 范围：[0,180]AOB ∠∈?? ②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90?，则αβ⊥； （2）判定定理： a a ααββ?? ?⊥?⊥? 居室空间 点的元素：花瓶茶壶灯书抱枕饰品电视机 线的元素：窗户线墙体交接线轮廓线灯的光源线墙纸和抱枕上的花纹曲线面的元素：墙面地面顶面桌面沙发地毯植物电视机台面窗户点的应用：桌上的花瓶.书.天花板上的吊灯居于画面中心位置时，与画面的空 间关系显得和谐；当墙上的饰品位居画面边缘时，就改变了画面的静态平衡关系，形成了紧张感而造成动势力。天花板上的大小相同的几盏筒灯相距一定的距离 时，便形成了两点之间的视觉张力，产生一种终止感、紧张感，抱枕.盆景.筒灯等大小不同的点的饰品存在于同一画面时，视线就会由大的点向小的点流动。总之这些点的应用增添了画面的活力！ 线的应用：此装饰图中将虚实线，曲直线对比应用，空间效果加强的同时有又 增添了生机。实线中窗户上的结构线纵横交错，功能上将窗户分为多个大小不同的区域有效地调节空间效果。虚线中的光线也增添了光影效果。墙纸和抱枕上的曲线更是使空间生动有趣！ 面的应用：将墙面用墙纸装饰起来不失功能的同时有起到装饰的作用。沙发等 几何面视觉上给人有理性、明确的感觉。 办公空间 点的元素：灯书饰品电脑凳子瓶景 线的元素：窗户线书柜隔板线墙体交接线台灯架地板砖缝线 面的元素：桌子墙面地面顶面窗户书柜 点的应用：书柜上密集的书，以及窗台上的盆景，桌上的东西形成聚散的点 给人以视觉上的流动感。这些不同材质、不同大小的点使人的视线不断流动，潜藏着明显的运动趋势，具备了时间的因素。给人以轻松舒适的办公环境。 线的应用：此空间主要应用是是直线，大概是直线给人单纯、明确、刚硬、理 智的印象吧！书柜上的隔板线将书柜划分为若干部分，使整体出现新的变化图形，可以有效地调节空间效果。又起到了功能的作用。 面的应用：大面积的透明窗户面个人视觉上的延续感。两中不同颜色的地板砖 就空间虚拟的分割为两个空间，也起到了装饰作用，提升整体的室内空间效果。 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α 四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题 1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线. 点线面之间的位置关系的知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面=>a ∥2 （ 二 〇一二 年 十一 月 《城市规划概论》论文 学校代码： 10128 学 号： 20121100349 题 目：浅谈平面构成在城市绿地系统中的应用 学生姓名：马秋云（学号20121100349） 学 院：建筑学院 专 业：建筑学 班 级：2012级 指导教师：荣丽华 副 教授 点线面——城市绿地系统模式 试析呼和浩特城市绿地系统 摘要：城市绿地系统是城市生态系统的重要组成部分,是城市生物多样性的载体,在改善城市环境、维护城市生态系统平衡及创造小气候环境、满足游憩需要、防灾救灾等方面起着极为重要的作用,也是城市环境质量和居民生活水平的重要标志，城市绿地系统再设计中运用大量的平面构成点线面设计元素，以呼和浩特市的城市绿地系统规划为例，进一步阐述了城市绿地规划平面构成要素。 关键字：平面构成城市绿地系统 一、平面构成与城市绿地系统 1.1平面构成 平面构成是以轮廓塑形象，将不同的基本形按照一定的规则在平面上组合成图案。运用点、线、面和律动组成富有极强的抽象性和形式感的结构严谨的一种构图；以理性和逻辑推理来创造形象、研究形象与形象之间的排列的一种方法；运用重复、近似、渐变、变异、对比、集结、发射、特异、肌理等构成形式，按一定的构成的技巧和表现方法加以组织，进行形式美的创造。平面构成作为基础理论以一个全新的造型观念，给艺术设计课堂注入了新鲜的血液。它具有共性的设计语言，已为当今社会各个艺术、设计门类所应用，平面构成与其他应用设计的学科一样，都是为了完善与创造更赋予现代感的设计理论和表现形式，从而大大的拓展了设计艺术的视觉审美领域，丰富了设计的思维及表现手段。平面构成可以直接应用到城市绿地设计中的平面布置中，而从构成基础的角度来看，它甚至还可以延伸到绿地设计的立体空间中。在构成中点、线、面是造型元素中最基本的形象。由于点、线、面的多种不同的形态结合和作用，就产生了多种不同的表现手法和形象。 1.2城市绿地系统 城市绿地系统规划最著名的代表作是1935年莫斯科城主题规划的绿地系统规划，它从城市环境，人文教育，游憩活动与艺术要求等方面出发，以市郊大面积森林公园，以带状与环装的绿地带连接市区的各点状绿地，形成点线面结合的城市绿地系统，这种城市绿地系统规划方法在我国的许多城市得到大量的实践。 城市作为高密度的人类聚居地，人类活动与生态环境的矛盾尤为突出。城市 第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示 记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行 空间中点线面的位置关系练习题 1、下列有关平面的说法正确的是（ ） A 一个平面长是10cm ，宽是5cm B 一个平面厚为1厘米 C 平面是无限延展的 D 一个平面一定是平行四边形 2、已知点A 和直线a 及平面α，则： ①αα???∈A a a A , ② αα∈??∈A a a A , ③αα????A a a A , ④αα???∈A a a A , 其中说法正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3、下列图形不一定是平面图形的是（ ） A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ） A.4、6、7 B.3、4、6、7 C.4、6、7、8 D.4、6、8 5、共点的三条直线可确定几个平面 （ ） A.1 B.2 C.3 D.1或3 6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、 AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 （ ） A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 7、三个平面两两相交，交线的条数可能有———————————————— 8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。 9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ? ? ? 的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有——————————— 10、空间两条互相平行的直线指的是（ ） A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） A 异面直线 B 相交直线 C 不平行直线 D 不相交直线 12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（ ）条。 A 4 B 3 C 2 D 1 13、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，下列说法中不正确的是（ ） A.若AC 和BD 共面，则AD 与BC 共面 B.若AC 和BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C.若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D.若AB ＝BC ＝CD ＝DA ，则四边形ABCD 不一定是菱形 14、空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等，若E 、 F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角 为（ ） A 300 B 450 C 600 D 900 15、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线,与另一条直线的位置关系是———————————————————— 16、设c b a 、、表示直线，给出四个论断：①b a ⊥②c c ⊥③c a ⊥④c a //，以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题—————————————————— S C A B E F点线面体在生活中的应用
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