（第4题图） 南京市2019届高三年级学情调研
数 学 2018.09
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：
锥体的体积公式：V ＝1
3Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1
∑n
x i ．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．已知集合A ＝{ x |1＜x ＜5，x ∈R }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，那么集合A ∩B 中有 ▲ 个元素．
2．复数z ＝(1＋b i)(2－i)，其中b ∈R ，i 为虚数单位．若z 是
纯虚数，则实数b 的值为 ▲ ．
3．已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18， 21，22，24，25，那么这组数据的方差为 ▲ ． 4．执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值 为 ▲ ．
5．若函数f (x )＝a ＋1
2x －1 是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线
x 2a 2
－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．
7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是 ▲ ．
8．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π
6
对称，则f (0)的值为 ▲ ．
9．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1－ B 1C 1CB 的体积是 ▲ ． 10．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1) (n ∈N *)，则a 10 的值
为 ▲ ．
11．已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cos A ＝－1
4，则 BC 的长
为 ▲ ．
12．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →
＝6， AD →·AE →＝32
，则AB →·AD →
的值为 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则
S 1
S 2
的最小值是 ▲ ． 14．若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且 x 2
x 1
≥2，则实数a 的取值范围
是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，已知四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BC ＝EC ，F 是BE 的中点． （1）求证：DE ∥平面ACF ； （2）求证：平面AFC ⊥平面ABE ．
A
B
C
A 1
B 1
C 1
（第9题图）
A
E
D
F
B
C
（第15题图）
16．（本小题满分14分）
已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－3
5．
（1）求tan β的值； （2）求cos(2α＋β)的值．
17．（本小题满分14分）
销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝at
t ＋1，销售乙
种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为 9
4 万元；若全
部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x )万元． （1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，且直线l ：x ＝2被椭
圆E 截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M (1，0)．
（1）求椭圆E 的方程； （2）求证：MR ⊥PQ ．
（第18题图）
19．（本小题满分16分）
已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．
（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；
（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值．
20．（本小题满分16分）
如果数列{a n }共有k (k ∈N *，k ≥4)项，且满足条件：
① a 1＋a 2＋…＋a k ＝0； ② |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝1，
则称数列{a n }为P (k )数列．
（1）若等比数列{a n }为P (4)数列，求a 1的值； （2）已知m 为给定的正整数，且m ≥2．
① 若公差为正数的等差数列{a n }是P (2m ＋3)数列，求数列{a n }的公差；
② 若a n ＝⎩
⎨⎧q n －
1
3
，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n 12
，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *
，其中q 为常数，q ＜－1．判断数列{a n }是否
为P (2m )数列，说明理由．
