直线的参数方程及应用
问题1：（直线由点和方向确定）
求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l
设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，
P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，
又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α
Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α
即???+=+=α
αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程
∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|
① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；
特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t
x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；
⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系
我们把直线l 看作是实数轴，
以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.
问题3：P 1、P 2为直线l 12 则P 1P 2＝，∣P 1P 2∣=
P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣
x
x
则t 3＝2
21t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，
∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）
总结：
1、直线参数方程的标准式
(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是
???+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣
(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3
则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t
t +,∣P 0P 3∣=2
21t t +
(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0
2、直线参数方程的一般式
过点P 0(00,y x )，斜率为a
b
k =的直线的参数方程是
???+=+=bt
y y at
x x 00 （t 为参数）
例题：
1、参数方程与普通方程的互化
例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.
解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－3
1=－3
3
设倾斜角为α，tg α=－3
3,α= π65, cos α =－23, sin α=2
1
1l 的参数方程为???
???
?=-=t y t x 21231 （t 为参数）
t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数
量.由???
?
??
?=-=-(2) 21(1) 23
1t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-
∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.
点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.
例2：化直线2l 的参数方程?
??+=+-= t 313y t
x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，
说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为??
?=-=+ (2) t
31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，
得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3
π
普通方程为 01333=++-y x
(1)、(2)两式平方相加,得2
2
2
4)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2
)1()3(2
2-++y x
∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.
点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程
为???
????=-=t
y t x 21231即?????=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-2
3)2+(2
1)2=1, t 的几何
意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为???+=+-= t
313y t x 是非标准的形
式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.
你会区分直线参数方程的标准形式吗
例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3
π
，判断方程???
?
???+=+=t y t x 2332
1
1（t 为参数）
和方程???+=+= t
331y t
x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程如果是直线l 的参数方
程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.
解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中
???
???
?+=+=t y t x 233211 cos α =2
1, sin α=2
3，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的
数量.，而方程???+=+= t
331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义.
点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.
问题5：直线的参数方程???+=+= t
331y t
x 能否化为标准形式
是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)
???+=+= t 331y t x ????
???
?
+++=+++=)
)3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t?=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式???
????'+='+=t 233211y t x t?的几何意义是有向线段 M M 0的数量.
2、直线非标准参数方程的标准化
一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. ??
?+=+=bt y y at
x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2)
当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.
???+=+=bt y y at
x x 00可化为??????
?
+++
=+++=)
()(222
20222
20t b a b a b
y y t b a b a a x x 令t?=t b a 22+
则可得到标准式???
???
?
'++='++=t b
a b
y y t b a a
x x 220220 t?的几何意义是有向线段M M 0的数量.
例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为
4
3π
的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.
解：直线l 的标准参数方程为??
???
+=+-=π
π43
sin 343
cos 2t y t x 即???
?
??
?
+=--=t y t x 22322
2（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t,
则| M 0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式
当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.
点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.
例5：直线???-=+=
20
cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34
--x y ＝－ctg20°=tg110°
解法2：化为标准形式： ???-+=-+=
110
sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数） ∴此直线的倾斜角为110°
基础知识测试1：
1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是2
3的直线l 的标准参数方程.
2、 直线l 的方程：???+=-=
25
cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°
3、 直线???
???
?
+-=-=t y t x 52
1511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( ) A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－2
1)
C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21
4、 已知直线??
?+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点
P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .
5、直线l 的方程： ??
?+=+=bt
y y at
x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参
数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )
A ∣t 1－t 2∣
B 2
2
b a +∣t 1－t 2∣ C 2
2
21b
a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣
6、 已知直线l ：??
?+-=+= t
351y t
x (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点
M(1,－5)到点P 的距离.
例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为3
4
和抛物线x y 22
=相交于A 、B 两点， 设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB| 解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为3
4,3
cos α =5
3, sin α=5
4∴直线l 的标准参数方程为??
???=+=t
y t x 54
53
2（t 为参数）*
∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，
整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两
个根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝
815
, t 1t 2＝4
25- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM|＝2
21t t + ＝1615
∵中点M 所对应的参数为t M =16
15
,将此值代入直线的标准参数方程*，
M 点的坐标为??
???=?==?+=43
16155416411615532y x 即 M （1641，43） (3)
|AB|＝∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝
738
5
点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.
例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π，
(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；
(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π,∴直线l 的标准参数方
程为?????
+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ，即???
??
??+-=+=t
y t x 2333211（t 为参数）代入直线l '：
32-=x y 得032)2
3
33()211(=-+
--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几
何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+23. (2) 把直线l 的标准参数方程为???
?
??
?
+-=+=t y t
x 23332
1
1（t 为参数）代入圆的方程
22y x +＝16，得16)2
333()211(2
2=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0，
Δ=82
-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12
根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点
A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA|,|t 2|=| PB|, 所以| PA|·| PB|=|t 1 t 2|=12
点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.
例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.
解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2） 方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①
∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a ) a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②
将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2, α为锐角，
cos α =51, sin α=52 得???
???
?
+=+-=t
y t x 525511（t 为参数） ③ ∵直线与抛物线相交于A ，B, ∴将③代入②并化简得：
75
212542--+t P
t ＝0 ，由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2， 又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝410
4
35
4]4)212(5[
2?+-P =(410)2 化简，得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48
点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.
例9：已知椭圆13
4)1(2
2=+-y x ，AB 是通过左焦点F 1的弦，F 2为右焦点， 求| F 2A|·| F 2B|的最大值.
解：由椭圆方程知a ＝2，b=3,c=1, F 1(0,0),F 2(2,0),设过的弦所在直线的
参数方程为?
??==αα
sin cos t y t x （t 为参数） 代入椭圆方程整理得
（3＋sin 2α）t 2－6 t cos α－9=0 ，Δ=36cos 2α＋36（3＋sin 2α）>0 此方程的解为t 1、t 2，分别为A 、B 两点
对应的参数，由韦达定理t 1＋t 2=αα2sin 3cos 6+ t 1 t 2
＝α
2
sin 39
+- 根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为过点F 1的直线和椭圆的两个交点 A, B 所对应的参数值，| F 1A|＝|t 1| |F 1B|＝|t 2|
|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝α
2
sin 312
+ | F 1A|·|F 1B|＝|t 1|·|t 2|=|t 1t 2|
由椭圆的第一定义| F 1A|＋| F 2A|＝2a ＝4， | F 1B|+| F 2B|=2a ＝4 | F 2A|·| F 2B|=(4-| F 1A|)(4-| F 1B|)=16-4|AB|+| F 1A|·|F 1B|
=16-4∣t 2－t 1∣+|t 1t 2|=16-4α2sin 312++α
2sin 39
+
=16-α
2
sin 339
+ 当sin 2α＝1时，| F 2A|·| F 2B|有最大值4
25
点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点F 1(0,0),F 2(2,0),显然F 1坐标简单，因此选择过F 1
的直线的参数方程，
利用椭圆的定义将| F 2A|·| F 2B| 转化为| F 1A|·|F 1B|. 方法总结：利用直线l 的参数方程???+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线
与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法.
一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t
的一元二次方程，)(t f =0,
1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时， l 与C 相交有两个交点；
2、当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A 和B 的坐标.
3、定点P 0(00,y x )是弦AB 中点? t 1+t 2=0
4、l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；P 0A ·P 0B= t 1·t 2；弦AB 中点M 点
对应的参数为2
2
1t t +；| P 0M |=221t t +
基础知识测试2：
7、 直线?
?
?+-=+=t 21y t x (t 为参数)与椭圆822
2=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( )
A 22
B 334
C 2
D 3
6
8、直线??
?+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )
A |t 1+t 2|
B |t 1|＋|t 2|
C |t 1－t 2| D
2
2
1t t +
9、 直线??
??
?
+-=-=t
21
1212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=
10、过点P(6, 27)的直线??
???+=+=t
2
726y t
x (t 为参数)与抛物线y 2
=2x 相交于A 、B 两点，
则点P 到A,B 距离之积为 .
基础知识测试答案
1、 ???
????+=+=t y t x 217236 2、D 3、C 4、λ
λ++112t t 5、B 6、43 7、 B
8、 C 9、4 10、4
5