一、选择题
1.给出下列函数:①f (x )=(12)x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3
;④f (x )=1
2x ;⑤f (x )=log 2x .
其中满足条件f (x 1+x 22
)>
f (x 1)+f (x 2)
2
(0 A .1 B .2 C .3 D .4 2.(2016·河北衡水故城高中开学检测)如果函数f (x )=ax 2; +2x -3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( );; A.? ????-14,+∞ B.??????-14,+∞ C.???? ??-14,0 D.???? ??-14,0 3.(2016·湖北孝感中学调研)函数f (x )=(m 2 -m -1)·9541 m m x --是幂函数,对任意x 1,x 2 ∈(0,+∞)且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2 >0,若a ,b ∈R 且a +b >0,ab <0,则f (a )+f (b ) 的值( ) A .恒大于0 B .恒小于0 C .等于0 D .无法判断 4.若不等式(a -2)x 2 +2(a -2)x -4<0对一切x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是( );; A .(-∞,2] B .[-2,2] C .(-2,2] D .(-∞,-2) 5.若关于x 的不等式x 2 +ax -a -2>0和2x 2 +2(2a +1)x +4a 2 +1>0的解集依次为A 和B ,那么使得A =R 和B =R 至少有一个成立的实数a ( ) A .可以是R 中任何一个数 ; B .有有限个 C .有无穷多个,但不是R 中任何一个数都满足 D .不存在 6.(2016·广东佛山顺德一中等六校联考)设函数f (x )=x 2 +x +a (a >0)满足f (m )<0,则f (m +1)的符号是( ); A .f (m +1)≥0 B .f (m +1)≤0 C .f (m +1)>0 D .f (m +1)<0 7.若关于x 的不等式x 2 +ax -2>0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A.? ?? ??-235,+∞ B.???? ??-235,1 C .(1,+∞) D .(-∞,-1) 8.已知函数f (x )=x 2 +2mx +2m +3(m ∈R ),若关于x 的方程f (x )=0有实数根,且两根分别为x 1,x 2,则(x 1+x 2)·x 1x 2的最大值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 二、填空题 9.已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ,则实数m 的取值范围是__________. 10.(2017·惠州调研)若方程x 2 +(k -2)x +2k -1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k 的取值范围是____________. 11.(2016·重庆部分中学一联)已知f (x )=x 2 +kx +5,g (x )=4x ,设当x ≤1时,函数y =4x - 2 x +1+2的值域为D ,且当x ∈D 时,恒有f (x )≤g (x ),则实数k 的取值范围是____________. 12.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若函数y =f (x )-g (x )在x ∈[a , b ]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“关联函数”,区间[a ,b ]称为“关 联区间”.若f (x )=x 2 -3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为________. 答案精析 1.B [①f (x )=(12)x 为底数小于1且大于0的指数函数,在第一象限是下凸图象,故不满 足条件;②f (x )=x 2 是开口向上的抛物线,在第一象限是下凸图象,故不满足条件;③f (x )=x 3 是幂函数,在第一象限是下凸图象,故不满足条件;④f (x )=x 12是幂函数,在第一象限 是上凸图象,故满足条件;⑤f (x )=log 2x 是底数大于1的对数函数,在第一象限是上凸图象,故满足条件.故选B.] 2.D [当a =0时,函数为一次函数f (x )=2x -3,为递增函数;当a >0时,二次函数开口向上,先减后增,对称轴为直线x =-1 a <0,函数在区间(-∞,4)上不可能是单调递增的, 故不符合;当a <0时,函数开口向下,先增后减,函数对称轴为直线x =-1 a ≥4, 解得a ≥-14,又a <0,故-14≤a <0.综上,-1 4≤a ≤0,故选D.] 3.A [函数f (x )=(m 2 -m -1)9541 m m x --是幂函数,所以m 2 -m -1=1,解得m =2或m =- 1.当m =2时,f (x )=x 2 015;当m =-1时,f (x )=x -4 .又因为对任意x 1,x 2∈(0,+∞)且 x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2 >0,所以函数f (x )是增函数,所以函数的解析式为f (x )=x 2 015 , 函数f (x )=x 2 015 是奇函数且是增函数,若a ,b ∈R 且a +b >0,ab <0,则a ,b 异号且正数的 绝对值较大,所以f (a )+f (b )恒大于0,故选A.] 4.C [当a -2=0,即a =2时,不等式为-4<0,恒成立. 当a -2≠0时,??? ? ? a -2<0,Δ<0, 解得-2 所以a 的取值范围是(-2,2].故选C.] 5.C [若A =R ,则Δ=a 2 -4(-a -2)<0,即a 2 +4a +8=(a +2)2 +4<0,不成立,故a 为空集;若B =R ,则Δ=4(2a +1)2-4×2(4a 2+1)<0,即4a 2-4a +1=(2a -1)2 >0,则a ≠12. 综上知C 正确.] 6.C [∵f (x )的对称轴为x =-1 2,f (0)=a >0, ∴f (x )的大致图象如图所示. 由f (m )<0,得-1 7.A [方法一 由x 2 +ax -2>0在x ∈[1,5]上有解,令f (x )=x 2 +ax -2, ∵f (0)=-2<0,f (x )的图象开口向上, ∴只需f (5)>0,即25+5a -2>0,解得a >-23 5 . 方法二 由x 2 +ax -2>0在x ∈[1,5]上有解,可得a >2-x 2 x =2 x -x 在x ∈[1,5]上有解. 又f (x )=2x -x 在x ∈[1,5]上是减函数,∴? ????2x -x min =-235,只需a >-235.] 8.B [∵x 1+x 2=-2m ,x 1x 2=2m +3, ∴(x 1+x 2)·x 1x 2=-2m (2m +3)=-4? ????m +342+9 4 . 又Δ=4m 2 -4(2m +3)≥0, ∴m ≤-1或m ≥3. ∵t =-4? ????m +342+9 4 在m ∈(-∞,-1]上单调递增,m =-1时最大值为2; t =-4? ?? ?? m +34 2+94 在m ∈[3,+∞)上单调递减,m =3时最大值为-54, ∴(x 1+x 2)·x 1x 2的最大值为2,故选B.] 9.(0,+∞) 解析 因为0<0.71.3 <1,1.30.7 >1,所以0.71.3 <1.30.7 ,又因为(0.71.3)m <(1.30.7)m , 所以幂函数y =x m 在(0,+∞)上单调递增,所以m >0. 10.? ?? ??12,23 解析 设f (x )=x 2 +(k -2)x +2k -1, 由题意知???? ? f (0)>0,f (1)<0, f (2)>0, 即???? ? 2k -1>0,3k -2<0,4k -1>0, 解得12 3. 11.(-∞,-2] 解析 令t =2x ,由于x ≤1,则t ∈(0,2],则y =t 2-2t +2=(t -1)2 +1∈[1,2],即D =[1,2]. 由题意f (x )=x 2 +kx +5≤4x 在x ∈D 时恒成立. 方法一 ∵x 2 +(k -4)x +5≤0在x ∈D 时恒成立, ∴????? 1+(k -4)+5≤0,22 +2(k -4)+5≤0, ∴? ???? k ≤-2,k ≤-1 2,∴k ≤-2. 方法二 k ≤-? ?? ??x +5x +4在x ∈D 时恒成立,故k ≤???? ??-? ????x +5x +4min =-2. 12.(-9 4 ,-2] 解析 由题意知,y =f (x )-g (x )=x 2 -5x +4-m 在[0,3]上有两个不同的零点. 在同一直角坐标系下作出函数y =m 与y =x 2 -5x +4(x ∈[0,3])的大致图象如图所示, 结合图象可知,当x ∈[2,3]时,y =x 2 -5x +4∈[-94 ,-2], 故当m ∈(-94,-2]时,函数y =m 与y =x 2 -5x +4(x ∈[0,3])的图象有两个交点. 即当m ∈(-9 4,-2]时,函数y =f (x )-g (x )在[0,3]上有两个不同的零点. 课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.函数y =x 的图象是( ) 解析:选B 由幂函数y =x α,若0<α<1,在第一象限内过(1,1),排除A 、D , 又其图象上凸,则排除C ,故选B. 2.(2018·丽水调研)设函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0,x ∈R),对任意实数t 都有f (2+t )=f (2-t )成立,在函数值f (-1),f (1),f (2),f (5)中,最小的一个不可能是( ) A .f (-1) B .f (1) C .f (2) D .f (5) 解析:选B 由f (2+t )=f (2-t )知函数y =f (x )的图象对称轴为x =2. 当a >0时,易知f (5)=f (-1)>f (1)>f (2); 当a <0时,f (5)=f (-1) ∴函数f (x )的单调递增区间是(-∞,0). 4.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若函数y =f (x )-g (x )在x ∈ [a ,b ]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“关联函数”,区间[a ,b ]称为“关联区间”.若f (x )=x 2-3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为____________. 解析:由题意知,y =f (x )-g (x )=x 2-5x +4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y =m 与y =x 2-5x +4(x ∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当x ∈[2,3]时,y =x 2-5x +4∈????-9 4,-2,故当m ∈????-94,-2时,函数y =m 与y =x 2 -5x +4(x ∈[0,3])的图象有两个交点. 答案:??? ?-9 4,-2 5.若二次函数f (x )=-x 2+4x +t 图象的顶点在x 轴上,则t =________. 解析:由于f (x )=-x 2+4x +t =-(x -2)2+t +4图象的顶点在x 轴上, 所以f (2)=t +4=0,所以t =-4. 答案:-4 二保高考,全练题型做到高考达标 1.已知f (x )=x ,若00,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( ) 第6讲 幂函数与二次函数 一、选择题 1.已知幂函数y =f (x )的图像经过点? ? ???4,12,则f (2)=( ) A.1 4 B .4 C.22 D. 2 解析 设f (x )=x α,因为图像过点? ????4, 12,代入解析式得:α=-1 2 ,∴f (2)=2-12=2 2. 答案 C 2.若函数f (x )是幂函数,且满足 f 4f 2=3,则f (1 2 )的值为( ) A .-3 B .-1 3 C .3 D.1 3 解析 设f (x )=x α,则由 f 4f 2=3,得4α 2 α=3. ∴2α=3,∴f (12)=(12)α=12α=1 3. 答案 D 3.已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x -3,若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为 ( ). A .[2-2,2+2] B .(2-2,2+2) C .[1,3] D .(1,3) 解析 f (a )=g (b )?e a -1=-b 2+4b -3?e a =-b 2+4b -2成立,故-b 2+4b -2>0,解得2-20, x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于 ( ). A .-3 B .-1 C .1 D .3 解析 f (a )+f (1)=0?f (a )+2=0???? a >0,2a +2=0或??? a ≤0,a +1+2=0,解得a = -3. 答案 A 5 .函数f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象关于直线x =- b 2a 对称.据此可推测,对任意的非零实数a ,b ,c ,m ,n ,p ,关于x 的方程m [f (x )]2+nf (x )+p =0的解集都不可能是( ). A .{1,2} B .{1,4} C .{1,2,3,4} D .{1,4,16,64} 解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2+nf (x )+p =0有两根,即f (x )=t 1或f (x )=t 2. 而f (x )=ax 2+bx +c 的图象关于x =- b 2a 对称,因而f (x )=t 1或f (x )=t 2的两根也关于x =-b 2a 对称.而选项D 中4+162≠1+642 . 答案 D 6.二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,a 为正整数,c ≥1,a +b +c ≥1,方程ax 2+bx +c =0有两个小于1的不等正根,则a 的最小值是 ( ). A .3 B .4 C .5 D .6 解析 由题意得f (0)=c ≥1,f (1)=a +b +c ≥1.当a 越大,y =f (x )的开口越小,当a 越小,y =f (x )的开口越大,而y =f (x )的开口最大时,y =f (x )过(0,1),(1,1),则c =1,a +b +c =1.a +b =0,a =-b ,-b 2a =1 2,又b 2-4ac >0,a (a -4)>0, 幂函数与二次函数基础梳理 1.幂函数的定义 一般地,形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量,α为常数. 2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下,幂函数y =x ,y =x 2,y =x 3 ,y =x 12, y =x -1的图象分别如右图. 3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )=ax 2+bx +c (a >0) f (x )=ax 2+bx +c (a <0) 图象 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 ???? ??4ac -b 24a ,+∞ ? ????-∞,4ac -b 24a 单调性 在x ∈??????-b 2a ,+∞上单调递增 在x ∈? ????-∞,-b 2a 上单调递减 在x ∈? ????-∞,-b 2a 上单调递增 在x ∈??????-b 2a ,+∞上单调递减 奇偶性 当b =0时为偶函数,b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ????-b 2a ,4ac -b 24a 对称性 图象关于直线x =-b 2a 成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) (2)顶点式:f (x )=a (x -h )2+k (a ≠0) (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 函数y =f (x )对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y =f (x )对定义域内所有x ,都有f (x 1)=f (x 2),那么函数y =f (x )的图象关于x =x 1+x 2 2对称. (2)一般地,函数y =f (x )对定义域内所有x ,都有f (a +x )=f (a -x )成立,则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(a 为常数). 练习检测 1.(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=2x 2-x ,则f (1)=( ). A .-3 B .-1 C .1 D .3 解析 ∵f (x )为奇函数,∴f (1)=-f (-1)=-3. 答案 A 2.如图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图象.已知n 取±2,±12四个值,则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的n 值依次为( ). A .-2,-12,12,2 B .2,12,-12,-2 C .-12,-2,2,12 D .2,12,-2,-12 答案 B 3.(2011·浙江)设函数f (x )=? ???? -x ,x ≤0,x 2,x >0.若f (α)=4,则实数α等于( ). A .-4或-2 B .-4或2 C .-2或4 D .-2或2 解析 由????? α≤0,-α=4或? ???? α>0,α2=4,得α=-4或α=2,故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )=x 2-2x +2的定义域和值域均为[1,b ],则b 等于( ). A .3 B .2或3 C .2 D .1或2 解析 函数f (x )=x 2-2x +2在[1,b ]上递增, 幂函数与二次函数专题 [最新考纲] 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y =x ,y =x 2 ,y =x 3 ,y =1 x ,y = 的图象,了解它们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如y =x α的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y =x y =x 2 y =x 3 y =x 1 2 y =x -1 定义域 R R R [0,+∞) {x |x ∈R ,且 x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y |y ∈R ,且 y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (-∞,0] 减,[0,+∞)增 增 增 (-∞,0)减,(0,+∞)减 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0); ②顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0),(m ,n )为顶点坐标; ③两根式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)其中x 1,x 2分别是f (x )=0的两实根. (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数,a ≠0) 图象 a >0 a <0 定义域 R R 值域 y ∈?? ?? ?? 4ac -b 2 4a ,+∞ y ∈? ? ???-∞,4ac -b 2 4a 对称轴 x =-b 2a 顶点 坐标 ? ????-b 2a ,4ac -b 2 4a 奇偶性 b =0?y =ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ? ?? ?? -b 2a ,+∞ ? ? ???-∞,-b 2a 递减 区间 ? ? ???-∞,-b 2a ? ???? -b 2a ,+∞ 最值 当x =-b 2a 时,y 有最小值y min =4ac -b 24a 当x =- b 2a 时,y 有最大值y max =4ac -b 2 4a 例1(1)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根,且一个大于1,一个小于1,求m 的取值范围; (2)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内,求m 的取值范围; ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外,求m 的取值范围 (4)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1,求实数a 的值。 解(1)令142)3(2)(2++++=m x m x x f ,∵对应抛物线开口向上,∴方程有两个实根,且一个大于1,一个小于1等价于0)1( §2.6 一次函数、二次函数与幂函数 (时间:45分钟 满分:100分) 一、选择题(每小题7分,共35分) 1.若函数y =(x +1)(x -a )为偶函数,则a 等于 ( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 2.“a <0”是“方程ax 2+1=0有一个负数根”的 ( ) A .必要不充分条件 B .充分必要条件 C .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件 3.一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是( ) 4.幂函数y =f (x )的图象过点??? ?4,1 2,那么f (8)的值为 ( ) A .2 6 B .64 C. 2 4 D.164 5.已知幂函数f (x )=(t 3-t +1)·2 7325 t t x +-(t ∈N)是偶函数,则实数t 的值为( ) A .0 B .-1或1 C .1 D .0或1 二、填空题(每小题6分,共24分) 6.方程x 2-mx +1=0的两根为α,β,且α>0,1<β<2,则实数m 的取值范围是 . 7.对于函数y =x 2 ,y =12 x 有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内 都单调递增;③它们的图象关于直线y =x 对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1);⑥两个函数的图象都是抛物线型. 其中正确的有__________. 8.已知函数f (x )= ax +b x -b ,其图象关于点(-3,2)对称,则f (2)的值是________. 9.设二次函数f (x )=ax 2+2ax +1在[-3,2]上有最大值4,则实数a 的值为________. 第4节 幂函数与二次函数 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、单项选择题 1.下列命题正确的是( ) A .y =x 0的图像是一条直线 B .幂函数的图像都过点(0,0),(1,1) C .若幂函数y =x a 是奇函数,则y =x a 是增函数 D .幂函数的图像不可能出现在第四象限 2.已知幂函数f (x )=k 2·x a +1 的图象过点??? ?12,2 2,则k +a =( ) A .1 2 B .-32 C .12或-32 D .2 3.抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在第一象限,与x 轴的两个交点分别位于原点两侧,则a , b , c 的符号为( ) A .a <0,b <0,c <0 B .a <0,b >0,c >0 C .a <0,b <0,c >0 D .a <0,b >0,c <0 4.二次函数f (x )=x 2+bx +c 满足条件f (1)=f (3),则函数f (x )( ) A .在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增 B .在(-∞,3)上递增 C .在(1,3)上递增 D .单调性无法确定 5.对任意的x ∈[-2,1],不等式x 2+2x -a ≤0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .(-∞,3] C .[0,+∞) D .[3,+∞) 6.若函数f (x )=x 2-2x +1在区间[a ,a +2]上的最小值为4,则实数a 的取值集合为( ) A .[-3,3] B .[-1,3] C .{-3,3} D .{-1,-3,3} 二、多项选择题 7.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1, 下列说法正确的是( ) A .b 2>4ac B .2a -b =1 C .a -b +c =0 D .5a <b 8.已知函数f (x )=x 2+2x ,g (x )==-x 2+4x -3,下列说法正确的是( ) A .若f (x )是[a -1,a +1](a ∈R )上的增函数,则a >0 练习与巩固 1.(2008年高考辽宁卷)若函数y =(x +1)(x -a )为偶函数,则a 等于( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 解析:选C.∵y =(x +1)(x -a )=x 2+(1-a )x -a 是偶函数 ∴1-a =0,∴a =1,故选C. 2.若f (x )=x 2-ax +1有负值,则实数a 的取值范围是( ) A .a >2或a <-2 B .-20,a 2>4即a >2或a <-2. 3.若f (x )=x 2-x +a ,f (-m )<0,则f (m +1)的值为( ) A .正数 B .负数 C .非负数 D .与m 有关 解析:选B.法一:∵f (x )=x 2 -x +a 的对称轴为x =12, 而-m ,m +1关于1 2对称, ∴f (m +1)=f (-m )<0,故选B. 法二:∵f (-m )<0,∴m 2+m +a <0, ∴f (m +1)=(m +1)2-(m +1)+a =m 2+m +a <0.故选B. 4.已知函数y =ax 2+bx +c ,如果a >b >c ,且a +b +c =0,则它的图象是( ) 解析:选D.∵a >b >c ,且a +b +c =0,得a >0,c <0(用反证法可得),∴f (0)=c <0,∴只能是D. 5.已知函数f (x )=x 2 +ax +b ,且f (x +2)是偶函数,则f (1),f (5 2), f (7 2)的大小关系是( ) A .f (52)<f (1)<f (72) B .f (1)<f (72)<f (52) C .f (72)<f (1)<f (52) D .f (72)<f (5 2)<f (1) 解析:选A.由f (x +2)是偶函数可知函数f (x )=x 2+ax +b 关于直线x =2对称,所以f (1)=f (3),又该函数图象开口向上,当x >2时单 调递增,故f (52)<f (3)=f (1)<f (7 2),故答案为A. 6.如图,有一直角墙角,两边的长度 足够长,在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0<a <12)、4 m ,不考虑树的粗细.现在想用16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2,S 的最大值为f (a ),若将这颗树围在花圃内,则函数u =f (a )的图象大致是( ) 学校:年级:教学课题:二次函数与幂函数学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质 教学内容 一. 【复习目标】 1.准确理解函数的有关概念. 2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法. 一、幂函数 (1)幂函数的定义 形如 (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数 (2)幂函数的图象 函数y=x y=x2y=x3y=x 1 2 y=x-1 定义域R R R[0,+∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增x∈[0,+∞)时,增,x ∈(-∞,0]时,减 增增 x∈(-∞,0)时, 减 定点(0,0),(1,1) (1,1) 例1.下列函数中是幂函数的是( ) A .y =2x 2 B .y =1x 2 C .y =x 2+x D .y =-1 x 例2. (2011·陕西高考)函数y = 13 x 的图象是( ) 例3.幂函数y =x m 2-2m -3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,且当x >0时,函数是减函数,则m 的值为( ). A .-1<m <3 B .0 C .1 D .2 练习:已知点(2,2)在幂函数y =f (x )的图象上,点? ? ? ??-2,12在幂函数y =g (x )的图象上,若f (x ) =g (x ),则x =________. 已知点M ? ?? ?? 33,3在幂函数f (x )的图象上,则f (x )的表达式为( ) A .f (x )=x 2 B .f (x )=x -2 C .f (x )=x 1 2 x D .f (x )= 12 x - 设α ∈?????? ????-1,1,1 2,3,则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 ( ) A .1,3 B .-1,1 C .-1,3 D .-1,1,3 对于函数y =x 2 ,y =x 1 2 有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内都单调递增;③它们的图象关于直线y =x 对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1);⑥两个函数的图象都是抛物线型. 其中正确的有________. 二、二次函数 1、二次函数的三种形式【1】 二次函数与幂函数 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值. 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本节复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质,重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,此类问题经常与其它知识结合命题,应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用. 基础梳理 1.二次函数的基本知识 (1)函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域是R. (2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x=-,顶点坐标是. ①当a>0时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当x=-时,f(x)min =; ②当a<0时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当x=-时,f(x)max =. ③二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当Δ=b2-4ac>0时,图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0),|M1M2|=|x1-x2|=. (3)二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+h(a≠0); ③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.幂函数 (1)幂函数的定义 形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数. (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数
第6讲 幂函数与二次函数
幂函数与二次函数
幂函数与二次函数专题
高中数学二次函数分类讨论经典例题
2.6 一次函数、二次函数与幂函数
高考数学复习、高中数学 幂函数与二次函数附答案解析
2011届高三数学一轮巩固与练习:二次函数
二次函数与幂函数专题复习
二次函数与幂函数典型例题含答案