《高等数学》案例集
第一章 函数与极限 （一）建立函数关系的的案例
1、 零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。已知零件轮廓下部分为长
a 2，宽
a 2
2
的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点O 。如下图所示。M 点在BC 、CD 、DA 上移动，设BM ＝x ，OM 所扫过的面积OBM （或OBCM 或OBCDM ）为y ，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。
解：?
??
???
?
?
?+≤≤++-+≤≤+≤
≤==a x a ax a a x a ax
a a x ax x f y 2
2
22242
8
2222222412
2
042
)(22ππππ （二）极限
1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处?
解：(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。
(2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离，
（二）连续函数性质
B C A
D M M
M
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么? 第三章 中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题
某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R0＝50万元。如果窖藏起来待
来年（第n 年）按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为R ＝R 08
3
2
n e 万元，而银行利率为r ＝0.05，
试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。
若银行利率开始为r ＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。
2、航空公司因业务需要，需要增加一架波音客机，如果购买需要一次支付6000万美元现金，客机的使用寿命为15年，如果租用一架客机，每年要支付600万美元的租金，租金每年年末支付，若银行年利率为8％，请问购买客机与租用客机那种方案较佳？如果银行的年利率为5％呢？
2. 梯子长度问题
一楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的. 现清洁工只有一架7m 长的梯子, 你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少? 解：function f=fun(x) f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3)
%设温室以上的梯子长度为a ，温室的长为x ，高为y ，则梯子的长为a+y*a/sqrt(a*a-x*x). %min b=a+y*a/sqrt(a*a-x*x) [x,fval]=fminbnd('hui2',3,12); xmin=x fmin=fval
运行结果：f =Inf f =14.0656 xmin =3.9835 fmin =7.0235
3、普勒与酒桶问题
德国的开普勒是一位出色的天文学家，同时也是一位卓越的数学家。他于1965年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书。为什么取这样一个书名？据说开普勒把自己求许多图形的面积方法，与成一本书，可苦于找不到一个好的书名。有一天，他到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样，他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢？高一点好不好？扁一点行不行？ 第五章、定积分 1、天然气产量的预测
工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气，根据初步的试验和以往的经验，他们预
计天然气开采后的第t 个月的月产量的函数给出：t
te t P 02.00849
.0)(-= (百万立方米), 试估
计前24个月的总产量。
提示：前24个月的总产量为 t
t te P 02.024
1
0849.0-=∑=，因为计算这个和式比较难，应
用定积分来估计它。令
t
te
t f 02.00849.0)(-=,
240≤≤t ,
则
∑==24
1
)(t t f P ，且0)02.01(0849.0)(02.0≥-='-t e t f t ，从而 )(t f 为递增函
数。
答案：4878.18≈P
(百万立方米)
2、终身供应润滑油所需的数量
某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了。但该公司承诺将为客户终身供应一种适于改机型的特殊润滑油。一年后该批飞机的用油率（单位升/年）又下式给出：2
3
300)
(-
=t
t r 其
中 t 表示飞机服役的年数，该公司要一次性生产该批飞机一年后所需的润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产该润滑油多少升？
提示:)(t r 是该批分级一年后的用油率，所以?n
dt t r 1
)(等于第一年到第
n 年间该批飞机所需
的润滑油的数量，那么
?
∞
1
)(dt t r 就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。
答案：600(L) 3、地球环带的面积
地球上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫环带。假定地球是球形的，试证任何一个环带的面积都是kd
S π=,这里 k 是构成环带的两条纬线间的距离，d 是地球直径（约13000
公里）。
如果地球是旋转椭球，则地球的任一环带面积又是怎样？ 4、高尔夫球座的体积
一个木制高尔夫球座大体上具有以 )(x f 与 )(x g 的图象为边界的区域绕
OX 轴旋转一
周形成的立体。这里
?
??≤≤-≤≤=52/9,2/92/90,
0)(x x x x g ，
???????≤<≤<-+≤<≤≤=52/9,
2/12/92/7,])(1[2/72/1,4/12/10,
2/)(2274
1
x x x x x x x f 问这个高尔夫球座的体积是多少？ 答案：
)(480
191
3cm π 5、转售机器的最佳时间
由于折旧等原因，某机器转售价格 )(t R 是时间t(周)的减函数 964
3)(t
e
A t R -=，其中 A 是机器的
最初价格。在任何时间t ，机器开动就能产生484
t e A P -=的利润。问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？
提示：假设机器使用了 x 周后出售，此时的售价是 964
3)(x
e
A x R -=，在这段时间内机器创造的
利润是?
-x
t dt e A 0
484。于是，问题就成了求总收入964
3)(x e A x f -=+?-x t
dt e A 0484， ),0(∞∈x 的最大值。
答案：总利润 P=11.01A, 机器卖了
128
3A
元。 6、人口统计模型
人口统计模型（1）： 某城市1990年的人口密度近似为20
4
)(2
+=
r r P ，)(r P 表示距市中心
r 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。试求距市中心2km 区域内的人口数。 人口统计模型（2）：若人口密度近似为 r e r P 2.02.1)(-=单位不变，试求距市中心2km 区域内的人口数。
答案：（1）
(十万), （2）
(十万)
7、心脏输出量的测定
小王想成为一名长距离游泳的运动员，为此，需要测定他的心脏每分钟输出的血量。使用的方法为“染色稀释法”：程序是先向离心脏最近的静脉注入一定量的染色，于是染色将随血液进入右心房、肺内血管、左心房、动脉，然后在动脉中定期取血样，并测量血样中染色的浓度，由于的血液的稀释，染色的浓度随时间t 变化，从而可测得一个关于t 的函数 C(t) (mg/L).设注射的染色的量为D ，试求小王的心脏输出量 R(L/min).
提示：理解“染色稀释法”的原理，必须知道在小时间区间[t,t+dt]内通过取样点的染色量等于浓度C(t)*R*dt 。因为所有染色量最终要经过取样点，则染色总量应等于各小的时间区间内通过取样点的染色量的和，由积分的定义知：
?=00
)(T dt t RC D ?=0
)(T dt t C R
其中 T 0是全部染色通过取样点的时间，则心脏输出量为：?
=0
)(/
T dt t C D R
8、呼出或吸入空气的速率
当你呼吸时，你呼出或吸入的气流的速率V(t) (升/秒)可用一个正弦曲线来描述：
)2si n()(t T
A t V π
=,其中时间t(单位为秒)从某次吸气开始计算起，A 是最大的气流速率，T 为一
次呼吸所需得的时间。当正弦曲线的函数值为正值是，你正在吸气：反之，你正在呼气。在你呼气的某时间段 [t 1，,t 2]上，曲线y=V(t) 与t= t 1,t= t 2及t 轴所围成的面积就是你在这个时间段吸入空气的总量。
提示：每次吸气所有时间为2T ,由V(t)的周期性，只需考虑[0, 2T
]时间段上吸入的空气总量即可。每次吸气时吸入的总量为
π
AT
升
答案：每小时吸入空气的总量＝每次吸气时吸入的空气总量与1小时内的呼吸次数之积
9、估计某医院在某时间内的就医人数
一家新的乡村精神医病诊所刚开张。对同类门诊的统计表明，总有一部分人第一次来过之后还要来此治疗。如果现在有A 个病人第一次来此就诊，则t 个月后，这些病人中)(t Af 个病人还在此治疗，这里20
)(t e
t f -=，现设这个诊所最开始时接受了300个人的治疗，并且计划从现在开始每
月接受10名新病人。试估算从现在开始15个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？
提示：为了计算从现在开始的15个月后内接受的病人在15个月后还在此治疗的人数，将
15个月的区间 ]15,0[∈t ,分为n 个等距为t ?的小区间，令j t 表示第j 个区间的左端点（
n
j
15）。既然每月要接受10名新病人，于是在第 j 个小区间内接受的新病人人数为 t ?10，于是
)15(10j t t -?病人将从j t 开始，j t -15个月后还要来此治疗。所以从现在开始15个月后新接受
的病人还要在此治疗的人数总和为：
∑=?-n
j j
t t
f 1
)15(10
答案： P ＝247024 10、尿素的清除率答案：
肾的一个重要功能是清除血液中的尿素。临床上在尿量少时，为减少尿量变动对所测尿素清除率的影响，通常采用尿素标准清除率计算法，即P
V
U C =
其中U 表示尿中的尿素浓度，V 表示美分析出的尿量，P 表示血液中的尿素浓度，正常人尿素标准清除率为54。某病人的实验室测量值为U=500,V=1.44,P=20,则C=30。若某一测量值的误差最大不超过1%，估计C 的最大绝对值误差和相对误差。
提示：利用全微分方程
答案:C 的最大绝对值误差为0.75，最大相对误差为2.5%。
第八章 多元函数微分法及其应用
1、最大利润问题
某公司在生产使用a,b 两种原料，已知a,b 两种原料分别使用x 单位和y 单位可生产U 单位的产品，这里并且第一种原料每单位的价格为10美元，第二种的价格为4美元，产品每单元的售价为40美元，求该公司的最大利润。 提示：多项式的极值，求驻点。 答案：28189美元。 2、如何购物最满意
日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不在购买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。如何划分给定量的钱，才会得到最满意的效果呢？经济学家试图借助效用函数来解决这一问题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各x 单位y 单位时满意程度的量。常见的形式有：
U ＝U(x,y)=x+y 或 U ＝U(x,y)=lnx+lny 等。而当效用函数达到最大值时，人们
购买分配的方案最佳。
例如：小孙由200元钱，他决点该购买二种急需品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购买x 张磁盘y 张录音磁盘的效用函数为U ＝U(x,y)=lnx+lny ，设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果。
提示：拉格朗日乘数法。 答案：买12张磁盘和10盒磁带。
3、怎样设计海报的版面既美观又经济
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米,两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积最少?
提示：函数极值
答案：（海报印刷部分为从上到下长16分米，从左到右宽8分米）。 4、接受能力与讲授时间的关系
通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：
436.21.0)(2++-=x x x G
其中G(x)是接受能力的一种度量,x 是提出概念的时间（单位：min ）。 （a ）x 为何值时，学生接受能力增强或降低？ （b ）第10分钟时，学生的兴趣是增长还是降低？ （c ）最难的概念应该在何时讲授？
（d ）一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？
提示:函数单调性与极值
答案：（a ）、x<13时G 单调上升；,x>13时G 单调下降。 （b ）、学生的兴趣在增长。
（c ）、最难的概念应该在提出问题后的第13分钟提出。
（d ）、这个概念学要55的接受能力，小于最大的接受能力G(13)=59.9，所以可以对这组学生讲授该概念。
5、在确定的预算下，劳动力与资本的最佳配置 在经济学中有个Cobb-Douglas 生产函数的模型
a a y x C y x f -=1),(，式中x 代表劳动力的数量，y 为
资本数量，C 与a 是常数，由各工厂的具体情形而定，函数值表示生产量。现在已知某制造商的Cobb-Douglas 生产函数是
25.075.0100),(y x y x f =，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及
250元。该制造商的总预算是50000元。问他该如何分配这笔钱于雇用劳力与资本，以使生产量最高。 答案：该制造商应该雇用250个劳力而把剩余的部分作为资本投入。这时可获得最大产量f(250,50)=16719。
5、多元函数微分学的应用：
设ΔABC 锐角三角形，P(x,y)为其内一点，令|||||),(CP BP AP y x f ++=，证明；在f(x,y)取极值的点P 0处，向量P 0、P 0、P 0夹的角相等。
13、预测某个月加利福尼亚酒店的销售量
一酒点有两种便宜的白葡萄酒，一种来源于加利福尼亚，一种来源于纽约，销售图表显示两种酒的定价对它们的销售情况有影响，如果加利福尼亚酒每瓶x 元，同时纽约酒每y 元 ，则加利福尼亚酒的销售量将为Q(x,y)=300-2x 2+30y 瓶，预计从现在起的t 个月后，加利福尼亚的价格将为x=2+0.05t 元/瓶, 同时纽约酒的价格将为y=2+0.1t 元/瓶
问:从现在起的四个月后的一个月里，加利福尼亚酒的销售量将增加（减少）多少瓶？
提示：利用微分方程 答案：将减少3.65瓶
14、当商店卖两种牌子的冻果汁时，如何取得最大利润
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的果冻汁，当地牌子的进价每听30美分，外地的40美分，店主估计，如果当地牌子的每听x 美分,外地的y 美分,，则每天可卖70-5x+4y 听当地牌子的果汁，80+6x-7y 听外地牌子的果汁。问：店主每天以什么价格买出两种牌子的果汁可取的最大收益。
提示：多元函数的极 ，答案：x=53且y=55时小店可取的最大利润 15、飞机的速度
假设空气以每小时32公里的速度沿平行X 轴正向的方向流动。一架飞机在xoy 平面沿与 X 轴正向成30度的方向飞行。若飞机相对于空气的速度时每小时840公里。问飞机相对于地面的速度是多少？
提示：图示法,答案：856.45 16、超音速飞机与“马赫锥”
当一架超音速飞机在高空飞行时，由于飞机的速度比音速快。所以人们常常是先看到飞机从天空中掠过，片刻之后才能听到震耳的隆隆声。那么请问，在同一时刻，天空中的什么区域内可以听到飞机的声音呢？
这个问题的答案十分有趣：能够听到飞机声音的区域恰好是一个以飞机为顶点的圆锥体——这就是著名的“马赫锥”。在马赫锥之外，无论据飞机多么近都不会听到飞机的轰鸣声。
设声音在空气中的传播速度为k ，并假设飞机正沿水平方向作匀速直线飞行，飞机速度V 时。请推导出马赫锥所满足的锥面方程。
提示：声波是球面波，声波速度V 0 ，飞机速度V ，t=0时取位置为原点，t=a 时飞机位置为（aV ,0,0）,
答案： 2
2
2202
2
)(av x v v v z y --=+ 17、定积分求面积：
设 ，求曲线 与 轴所围成的封闭图形的面积。
提示: 利用函数的奇偶性和函数的单调性可以求得， 答案：1/2 第九章 积分的案例
1、下图是瑞士国的地图。为了计算出它的国的面积，首选对地图作如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界到最东边界在x 轴上的区间适当地若干段，在每个分点的y 轴方向测出南边界和北边界的y 坐标y1和y2，这样得到了表1中的数据（单位mm ）
地图比例为18：40000000。试由测量数据计算瑞士国土面的近似值。 瑞士地图：
瑞士地图测量数据：
3、在研究山脉的形成过程中，地质学家要估计把山脉从水平面提升到现在的高度地壳力所作的
功。某座山的形状为一正圆锥体，测得它的高为2535m ，底的直径为2648m （如图9所示），假定山内任一点M(x,y,z)的密度：
ρ(x,y,z)＝3563.67[1－2
22(00000215.0Z y x ++] kg/m 3,
试计算在这座山漫长的形成过程中地壳力所作的功。 4、湖泊体积及平均水深的估算
椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好的近似，假定湖面的边界为椭圆122
22=+b
y a x 。
若湖的最大水深为m h ，则椭球正弦曲面由)2cos(),(2
2
22b y a x h y x f m +-=π
，
其中122
22≤+b
y a x 给出。现要求湖水的总体积V 及平均水深h 。
提示：湖水体积??=D
dxdy y x f V
|),(|，D 为
12
2
22≤+b y
a x ，a
b V
h π=。
答案：
m abh V 435.4=，
m h h π
435
.1=
5、如何求物料干燥所需的时间
干燥是化工常见的单元操作，干燥过程就是把含有较多水份的物料经过处理变成含有较少水分
的物料的物理过程。现在讨论下面的干燥动力学问题。将固体物料放在一直径为1.5米，长为15米的转筒干燥器中用空气来干燥，沿转筒全部长度方向都装有物料，且物料装至转筒横截面的三分之一。物料以恒定的速度进入器内，在原始的物料中，干物质与水之比等于2，而干燥的后的物料中，干物质与水之比等于10。假定被干燥物料的体积和其中所含水量之间存在线性关系。进入干燥器内的物料重度等于500[kg/m 3]，而最后成品的重度等于330[kg/m 3]。设干燥器每小时能出产品220[kg]，并假定干燥速度和含水量成正比。试求干燥所需的时间。
提示：根据被干燥物料的体积与其中所含水分的重量的线性函数求解。 答案：11h
第十章 曲线积分与曲面积分的案例
1、造地球卫星轨道可视为平面上的椭球。我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439公里，远地点距地球表面2384公里，地球半径为6371公里，求该卫星的轨道长度。
2、拟建某一隧通道，内设双向四车道的公路，其截面由一长方形和一抛物线或一圆弧或一椭圆弧构成，为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要求0.5米，若行车道总宽度为8米，两边留有1米宽的维修通道，欲使截面的造价最低，隧道顶部就采用何种曲线？ 第十四章 微分方程的案例
1、如何预报人口的增长
2、交通十字路口红绿灯中的黄灯亮的时间如何确定？
3、静脉输液问题
静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术，为了研究这一过程，设G(t)为t 时刻血液中的葡萄糖含量，且设葡萄糖以每分钟k 克的固定速率输入到血液中，与此同时，血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移到其他地方，其速率与血液中的葡萄糖含量成正比。试列出描述这一情况的微分方程，并解之。
提示：
aG k dt dG -= 答案：at e a
k
G a k t G --+=))0(()( 4、他是嫌疑贩吗
受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6度，一小时后，当尸体既将被抬走时，测得尸体温度为31.4度，室温在几小时内始终为21.1度。此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是：张某不在现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外。 提示：尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差. 答案：不能排除。
5、动物数量能够预测吗
动物繁殖是一个非常复杂的问题，但是如果把影响繁殖的许多次要因素忽略掉或简单化，我们仍然可以用微分方程来描述动物繁殖的近似规律，从而预测动物的未来数量。
现考虑一种与外界完全隔绝的某种动物，这里所说的与外界完全隔绝是指它们中间除了本族的出生和死亡外，既无迁出也无迁入，设在t 时间内这一种动物的数目为N ，并社它们的出生率和死亡率分别为n 与m ，假定它们出生数与死亡数都和t 时的动物数及时间成正比。现在讨论动物数N 与时间t 之间的函数关系。
提示：微分方程mNdt nNdt dN -=
6、如何建立固体物质的溶解速度常数的方程式
设有一球形的均匀固体溶解于化学活性的溶液中，并且溶液一克分子的固体物质要消耗一克分子的溶剂。要求列出决定固体物质的溶解速度常数的方程式。
提示：根据瞬间t 时的溶解速度与t 时的球形面积S 和到瞬间t 时余留的溶剂量成正比
（即
S x a k dt
dx
)(-=）求解。 答案：可求出溶解速度常数k 7、赤道上需要多少颗通讯卫星
计划将一颗通讯卫星送入地球赤道上空的静止轨道。为了保持卫星对地球的相对静止，该通讯卫星的运动速率，轨道的高度应为多少？欲使赤道上的所有点至少与一颗通讯卫星保持联系，在赤道上需要有多少颗通讯卫星？
提示：根据牛顿第二定律和万有引力定律，可得出卫星的运动方程。 答案：至少要有3颗。 8、游船上的传染病人数
一只游船上有800人，一名游客患了某种传染病，12小时后有3人发病，由于这种传染病没有早期症状，故感染者不能被及时隔离。直升机将在60至72小时间将疫苗送到，试估算疫苗送到时患此病的人数。 提示：
)800(y ky dt
dy
-= 答案：y(t)表示发病人数，t
e t y 09176.0.7991800
)(-+=
9、逻辑斯蒂（logistic ）方程
在一个动物群体中，个体的生长率是平均出生率与平均死亡率之差。设某群体的平均出生率为正的常数b ，由于拥挤以及对食物的竞争加剧等原因，个体的平均死亡率与群体的规模大小成正比，其比例常数为k （k ＞0）。若以P(t)记t 时刻的群体总量，则
dt
dp
就是该群体的生长率。单个个体的生长率为dt
dp
p 1。设P(0)=P 0,试写出描述群体总量P(t)的微分方程，并解之。 答案：
kp b dt
dp
p -=1 10、他的胰脏正常吗
有一种医疗手段，是把某种特殊的染色剂注射到胰脏里去以检查其功能。正常胰脏每分钟吸收掉染色的40%，现内科医生给某人注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常。 答案：
4.01-=dt
dp
p 不正常。 11、油井收入有多少
一个月产300桶原油的油井，在3年后将要枯竭。预计从现在开始t 个月后，原油价格将是每桶
t t P 3.018)(+=（美元）,如果假定油一生产出就被售出，则问：从这口井可得到多少美元的收入？
令)(t R 为从现在开始t 个月收入，则)(300t P dt
dR
=。 答案：207360美元。 12陨石的下落
地球的质量是5.983×1034千克,今有一块质量为10000千克的陨石正在朝着地球的方向运动。
A 、距100公里时,求他们之间的引力(以牛顿为单位)；
B 、如果陨石继续朝地球的方向运动,则在相距100km 时,引力的递增速度是多少? 提示：微分方程 答案：((a)、f=39.925×107N ; (b)、-7985N/m 。
18、 微分方程在几何上应用1：
求曲线，其上任何一点的切线自切点与x 轴交点的切线段长为常数a 。 提示：利用图解和微分方程可以求得
答案：
x c y
y
a a a a y a ±=--+-2
222ln
19、微分方程在几何上应用2：
设 y=f(x))0(≥x 连续，可导，且f(0)=1, 现已知曲线y=f(x) ，x 轴，y 轴及过点(x,0) 且垂直于x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f(x) 在[0,x]上的一段弧长值相等，求f(x) 。
提示：由题设所围成面积为
?
x
dt t f 0
)( ，而题设弧长为?
'+x
dt t f 0
2)]([1 可以解得.
答案:chx e e x f x
x =+=
-2
)( 20、微分方程在力学上应用3：
一质量为m 的船以速度V 0 行驶，在t=0时，动力关闭，假设水的阻力正比于n
v ，其中n 为一常数，v 为瞬时速度，求速度v 与滑行距离的函数关系。 提示：船所受的净力=向前推力-水的阻力=n
kv -0 答案： x m
k e
V v -=0
21、微分方程在力学上应用4：
已知一伞兵从时间t=0开始由飞机上降落，而且假设降落过程中所受阻力与下降速度成正比，求下降速度。
提示：伞兵质量为m ，下降速度为v ，下降加速度为a ，于是F ＝ma=dt
dv m
其中F 是作用于伞兵上的合力
答案：
)1(m kt
e k
mg v -=
22、如何控制体重
问题：《北京晚报》1990.10.9第六版：“刘寿斌面向未来”一文中说到，“由于赛前减体重过多，体力不济使他自己拿手的抓举比赛中两次失败……屈居第二，”那么正确的减重应该怎样呢？此外，许多饲养场也要在限定的时间内使牲畜增肥到一定重量出售，取得最大利润。他们应该怎么办？
答案：设每天的饮食可产生热量A ，用于新陈代谢消耗热量B,活动消耗热量C,每公斤脂肪转化的热量为D,记W(t)为体重,热平衡
)()
(,)]()[()]()([t bW a dt t dW t t CW B A D t W t t W -=?--=-?+导出
，
0)0(W W =为初试体重，a 与饮食代谢有关，b 与运动有关。我们所求为a,b 的最佳组合，使
bt e b
a
W b a t W --+=
)()(0成立。 23、微分方程在力学上应用3：
设有一放置在铅直平面内的刚性曲线，如果曲线以常角速度ω饶该平面一铅直轴（y 轴）旋转时，在曲线上任一点处放置的质点都能处于平衡状态，试求此曲线的方程。
提示： 设所求曲线为y=f(x),曲线上任一点P(x,y)处放置的质点其质量为m,由质点饶y 轴以角速度ω转动。
答案：
2
221x g
c y ω+
= 第七章 空间解析几何
1、求直线L ：
1
1
211-==-z y x 饶z 轴旋转所得旋转曲面的方程。 提示：把L 写成参数方程利用求距离的公式，消去参数，可以得到方程。
答案：2222)1(4-+=+z z y x
23、
24、重积分的应用1
设半径为R的球面S的球心在定球面
2
2
2
2a
z
y
x=
+
+
上，问当R取何值时，球面S在定球面
内部的那部分的面积最大？
提示：设球面的方程为
2
2
2
2)
(R
a
z
y
x=
-
+
+
答案：略
答案：当R=4a/3时，球面S在定球面内部的那部分的面积最大。
25、重积分的应用2：
求曲面
2
2
2)1
(
)1
(-
=
+
-
-z
y
z
x
与平面1
=
z所围成立体的体积。答案：3/
π
=
V
26、线、曲面积分的应用：
求速度矢量
k
z
z
yj
xi
v)
2
(2-
+
+
=
通过锥面
2
2y
x
z+
=
被平面z=0和z=1所截部分外侧的通
量。
提示：根据对坐标的曲面积分的物理意义可知，用对坐标的曲面积分计算矢量场的通量
答案：
2/
3πφ=
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
高等数学应用案例案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变 一工厂有x名技术工人和y名非技术工人，每天可生产的产品产量为 , (=（件） f2 ) x x y y 现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？ 解：现在产品产量为(16,32)8192 f=件，保持这种产量的函数曲线为y (= x f。对于任一给定值x，每增加一名技术工人时y的变化量即为, 8192 ) dy。而由隐函数存在定理，可得 这函数曲线切线的斜率 dx 所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为 dy。 当16,32 ==时，可得4-= x y dx 因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。 下面给出一个初等数学解法。令 c：每天可生产的产品产量； x；技术工人数； y；非技术工人数； x?；技术工人增加人数； y?；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。 由已知列方程：
（1）当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c ，则有方程： c y x =?020 （1） （2）当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（y y ?+0）名，且每 天的产品产量为c ，则有方程： c y y x x =?+??+)()(020 （2） 联立方程组（1）、（2），消去c 得： 即 [] 002020)/(y y x x x y -??+=????????+--=20200)(1x x x y 代入x y x ?,,00，得：46.3-≈-≈?y 名，即减少4名非技术工人。 比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式： 从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷小： 0)x ( )1(31 04120→????? ???-+???? ???--∞=-∑n n n x x n x x （3） 而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽略掉高阶无穷小（3），所以计算较容易。
复习题 一、 单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞- B 、()),6(6,+∞∞- C 、()),4(4,+∞∞- D 、())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞ 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[ -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1) 1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数 为奇数n n n f n n n n ,221,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= = 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为
（一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在 0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在， 则),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1) (== β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 1014- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题: 1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0；
高等数学教学方法 一、衔接对比式教学 高等数学是一门非常枯燥的学科，在数学中的各个分支之间有着千丝万缕的关系，各个知识点之间是环环相扣的。高等数学教学中存在的问题也非常多，在学习高等数学时学生往往会觉得内容很多，很零碎。而实际上高等数学是一门系统性非常强的课程，其前后章节的内容关联度很高。因而教师在教学过程中，应该将前后的知识点进行衔接对比。衔接对比法，就是指通过两个对象相似之处的衔接和比较，由已有知识引出新知识的方法。在教学过程中，衔接对比的过程是培养学生创造性思维，形成创新能力的过程。通过衔接对比可以使学生了解新旧知识的关系，激发他们对新知识学习的积极性，还可以使深奥的知识形象化，激发学生的学习兴趣。例如在讲解定积分这一知识点时，引导学生与不定积分相比较。看起来很相似的两个概念，可是它们产生的途径居然是完全不同，它们的运算结果一个是数，而另一个却是函数的集合。但是，它们又通过微积分基本公式紧密地联系在一起。通过这样的衔接对比就可以将这两个概念理解透，掌握应用好。又如我们在讲函数极限时就可以强调，后面的导数和定积分实际上都是极限，极限的理论是微积分的一个基础。而不定积分是计算定积分的基础。在强调知识之间的联系时，还应对相关的内容进行对比，通过比较可以加深学生对知识
的理解。一元和多元函数微积分有很多相似之处，但也有很多不同的结论，我们应引导学生进行对比。如在一元函数微分学中，可导和可微是互为充要条件，但是在多元函数中，函数的两个偏导存在是可微的必要不充分条件。通过这些知识的衔接和对比，可以加深学生学习的系统性，巩固学生已学知识。 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 二、背景式教学 高数知识有深刻的应用背景和内涵，教师在讲解知识的同时应当告诉学生这个概念或知识点的背景与精神实质，让学生了解为什么要这么定义，然后再告诉学生该怎么做。教学中，如微分概念的引入，应当首先告诉学生，一元函数微分是函数增量关于的线性主部，是求函数增量的一种近似的方法，一元函数微分几何上是用曲线切线的增量代替函数的增量，二元函数微分是用曲面切平面的增量代替函数的增量等。这
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1. （等价小量与洛必达） 2.已知
（洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数， （变量替换）5. 解：令 6. （变量替换）
7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1.（洛必达） 2.（洛必达或Taylor） 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法
A.导数微分的计 算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域
高等数学A2知识点【注意】不考试的知识点：带*号的（除球面坐标系、比值审敛法），二次曲面，斯托克斯公式，函数的幂级数展开式的应用，一般周期函数的傅立叶级数，物理应用部分， 一、概念与定义 1、数量积、向量积及坐标表示（向量的位置关系）； 2、柱面，旋转曲面的方程形式及常见曲面画图，平面，直线的方程及其位置关系，平面束； 曲面、曲线、实体在坐标平面上的投影 3、偏导数定义及判定一点可导的定义方法； 4、偏导、连续、全微分的关系，方向导数与梯度； 5、极值、条件极值，最值和驻点.及拉格朗日乘数法； 6、七类积分的关系，格林公式、高斯公式； 7、级数的定义，等比级数的和，级数收敛的必要条件，常见级数的敛散性及判定方法。 二、计算 1、求极限 （1）二元函数求极限：代入法、两类特殊极限、无穷小性质等 （2）极限不存在的判断：取不同的路径 2、求偏导数或全微分 （1）定义——在某一点可导，常见于分段函数 （2）一个变量为常数，按一元函数求导法则计算，对于指定点的偏导可以先代入一个变量再求；（3）多元复合函数求导——链式法则； （4）隐函数（方程与方程组）求导及其高阶导数——不要记公式，理解方法； （5）抽象函数求导及其高阶导数——注意符号； （6）求（指定点）全微分或判断是否可微——用定义 0 z z x z y ρ→ ?-?-? = 3、求重积分（画图） （1）二重积分—坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】，积分次序的交换；（2）三重积分—坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】； （3）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。
4、求曲线、面积分（画图） “一代、二换、三定限” （1）代入参数方程或() z f x y =；不同的积分换的公式不同； , （2）定限或定区域的时候注意方向性【第二类】及定限规则 （3）格林公式、高斯公式的应用——验证条件并灵活使用； （4）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。 5、无穷级数 （1）数项级数审敛； （2）幂级数收敛域与和函数，函数展开成幂级数； （3）傅立叶级数的收敛情况——Dirichlet定理的结论 三、应用 1、偏导数的几何应用——空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方向导数与梯 度。 2、偏导数求极值以及条件极值、最值； 3、重积分、曲线、面的几何应用——平面区域的面积、空间曲面的面积，曲顶柱体的体积； 四、证明 1、极限不存在、连续性、可导、可微； 2、偏导数相关等式； 3、格林公式——积分与路径无关、原函数； 4、级数的敛散性判定——注意级数的分类与对应方法； 5、向量的位置关系，平面、直线的位置关系等几何问题。
《高等数学》课的教学方法 高等数学是一门基础学科，它可以为大学生其它科目的学习提供解决问题的方法和思路，还可以为学生今后的工作和生活提供数学知识、数学思想和思维方式，因此，良好的数学教学就显得尤为重要.可是数学自身所具有的高度的抽象性和严密的逻辑性，不但给教师的教学带来了一定的难度，而且也给学生的学习也造成了困难.学生在学习过程中觉得枯燥，常常会产生厌学情绪，针对这种情况，就需要反思教师个人的教学方法，要教会学生用数学的眼光看问题，用数学的思维想问题，将数学思维植入到学生的大脑里，从而使教学效果达到最好. 作者在最初的教学中，由于教学经验不足，往往只重视了对教材内容的传授教，却忽视了对学生自学能力的培养重知识结论，轻思想方法渗透;重知识训练、轻情感激励;教师苦教，学生苦学，只是充当了课本与学生之间的转送带，并没有把真正的学习方法教给学生.结果是付出多回报少，学生学到的只是应试的数学，并不能真正体会数学的精髓，学生的素质得不到全面的发展.在随后几年的教学中，作者越来越深刻地感受到，要改变以上状况，必须转变个人的教学理念，真正体现教是为学服务的思想;真正实现教是为了不教的目的. 1丰富教学内容，激发学生学习兴趣 1.1引入数学史 教育的目标是育人，育人不但包括知识的传授，更重要的是培养对
社会能够起到推动作用的人才.作为数学教师，如何在教好书的同时能育好人呢?这个问题曾经困扰了作者许久.当初作者认为，理科的教学不像文科类教学内容丰富、形式灵活、容易引起学生的兴趣，特别是数学课，内容相对来说比较枯燥，乏味，学生容易产生厌学、畏难情绪，很难达到教书与育人双赢的目的.可是在多年的教学实践中，作者发现，数学课也可以讲得很精彩，比如在教学过程当中适当地讲解一些数学史的内容，可以激起学生的好奇心，有利于激发学生的学习兴趣，使学生能够体会到数学创作过程中所产生的的魅力，从而理解数学的文化和应用价值.例如在讲解极限概念的时候，作为引例，可以介绍我国古代数学家刘徽(公元263年)曾用他所创造的割圆术计算圆的面积，我国另一伟大数学家祖冲之( 429~500)进一步利用割圆术求得圆周率在3. 141 592 6与3. 141 592 7之间，这个结论，直到九百年后才被中亚西亚数学家阿尔卡西(Al-kashi?-1429)突破.这说明极限的思想最初是来自于我国的，这样的历史事实可以激发学生的自豪感和爱国热情，更加清晰了学生的学习目标与定位.数学史是数学以及科学史的分支，在高等数学的教学过程中引入数学史，使得理论与实际相结合，既活跃了课堂气氛，又激发了学生的学习兴趣，可以说是一举两得.各国著名数学家的传记、轶闻对培养学生的人格素质可以起到潜移默化的作用，学生从这些大家那里可以学习追求真理的科学精神，学生还要学习数学家们不迷信权威的批判精神. 1. 2发掘数学中蕴含的辩证思想 数学是反映现实世界空间形式、数量关系的一门科学，数学曾经是
高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~α αββ'', 且lim βα''存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123; (2)lim lim n n n n y z a →∞→∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。
高等数学案例教学教案 （刘凤林） 【案例一】 房贷还款问题 模型背景： 我校王教授今年准备贷款买一套房子，需要贷款50万元，预计20年还清.现行贷款年率为7.04%，如果按9折优惠，计算王教授按以下哪种还款方式更好？一是等额本息还款法；二是等额本金还款法. 模型假设：（1）贷款50万元； （2）20年还清； （3）贷款年率为7.04%，按9折优惠，实际月利率0.528%. 符号说明：0A ：贷款额； r ：月利率（每期利率） ； x ：等额本息还款法中，每月的还款额； k x ：等额本金还款法中，第k 个月的还款额； k A ：第k 期结束时的欠款； n ：借款期限（单位：月）. 模型建立：（1）等额本息还款： 第一期后欠款：x r A x r A A A -+=-+=)1(0001； 第二期后欠款：x r A x r A A A -+=-+=)1(1112； 第三期后欠款：x r A x r A A A -+=-+=)1(2223； 依此类推，第k 期后欠款：x r A A k k -+=-)1(1（n k ，，， 21=）. （2）等额本金还款： 第一期还款：])11(1[ )(00001r n n A r n A A n A x - +=- += ； 第二期还款：])21(1[ )2(00002r n n A r n A A n A x - +=- +=； 第二期还款：])31(1[ )3(00003r n n A r n A A n A x -+=-+=；
依此类推，第k 期还款：])1(1[0r n k n A x k - +=（n k ，，， 21=）. 模型求解：（1）等额本息还款： )]1(1[)1()1]()1([)1(2 221r x r A x r x r A x r A A k k k k ++-+=-+-+=-+=--- ])1()1(1[)1()]1(1[)1]()1([23323r r x r A r x r x r A k k ++++-+=++-+-+=-- = ]) 1()1()1(1[)1(1 3 0-+++++++-+=k k r r r x r A r r x r A k k ] 1)1[()1(0-+- +=. 要想n 个月还清贷款，则有0=n A ，此时0] 1)1[()1(0=-+- +r r x r A n n ，解得 1 )1() 1(0-++= n n r r r A x ，将24000528.05000000===n r A 、、代入上式，得75.3679≈x （元）， 即每月还款75.3679（元），20年共还款883140（元）. （2）等额本金还款：这种还款额度的计算需要借助于计算机，通过计算机计算，得到33.47121≈x （元）、33.47012≈x （元）、33.2094239≈x 、 （元）、33.2083240≈x （元），20年共还款815480（元）. 模型分析：比等额本息还款少还款67660（元），但是前期还款压力较大. 【案例二】 分针与时针重合问题 模型假设：(1) 钟面分为 60 格；(2) 分针1min 转过1格，1h 转过60格，时针1h 转过5格. 符号说明：（1）n x ：分针位置（追赶序列）； （2）n y ：时针的位置（逃逸序列）； （3）x ：分针与时针重合的位置. 模型建立： 我们不难发现，分针速度是时针速度的12倍，并且在1h 内分针与时针最多重合一次.因此 从整点k （1121， ，， =k ）开始，分针位于时针之前k 5格.此时 k y x 5000==、；
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。 n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ １１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘ ｘｘ１－ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（） ｘ ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量 ３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（） ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（） -1
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， ? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 2 2 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='
高等数学课程教学设计方案 中央电大教务处教学管理科 （2005年04月15日）浏览人次627 （修订稿） 一、课程概况 1. 课程的性质、任务 “高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基 本素质、学习后续课程服务的。 通过本课程的学习，要使学生掌握课程内容的基本概念和基本方法，逐步培养抽象概括问题的能力、 逻辑推理能力、对实际问题进行统计判断的能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决 问题的能力。 2. 课程内容的设置及其指导思想 水利水电专业“高等数学”课程计划学时是153学时，内容包括“一元函数微积分”、“无穷级数”、“常微 分方程”、“空间解析几何与向量代数”、“多元函数微积分”等高等数学内容（共11章）以及“概率统计”的内 容（共3章）。具体设置见教学大纲。 “高等数学”课程的教学内容设置是根据电大水利水电专业专科层次的培养目标要求，以“必需、够用” 为度，其指导思想是降低理论推导，加强基本概念和基本方法的训练，不追求繁琐的计算和变换技巧。 二、学习者需求分析 广播电视大学是远程开放教育，学习者主要是在职的成人和社会青年，他们学习的主要特征是： 学习的目的性明确，他们或为提高自身的业务水平而学习，或为就业做准备而学习。因此要求所学内 容要针对性强，能够学以致用。 实践经验丰富，自学能力比较强。他们一般欢迎方便自学的学习媒体。 工学矛盾突出、缺少必要的学习环境、负担较重。希望学习媒体具有方便、经济和效率高的特点 基本素质参差不齐。要求学习媒体能够因材施教，需要教学服务系统的支持。 三、教学实施方案 （一）教学大纲