《数学分析》――参考答案及评分标准
一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1.
求函数11
(,)f x y y x
=在点(0,0)处的二次极限与二
重极限.
解：
11
(,)f x y y x
==+，因此二重极限为0.……(4
分)
因为011x y x →+
与011
y y x
→+均不存在，
故二次极限均不存在。 ……(9分)
2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),
(,,)0
z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数,其中
f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz
dx
.
解： 对两方程分别关于x 求偏导:
， ……(4
分) 。
解此方程组并整理得()()()
()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9
分)
3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程
222z z z
z x x y x
???++=????。 设,,22
y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）.
解：z 看成是,x y 的复合函数如下：
,(,),,22
y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4分)
代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得：
2222w w
w μμν
??+=???。 ……(9分)
4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省
()()(1)0x y
z dz
dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中
目标函数: 222S rh r ππ=+表, 约束条件: 21r h π=。 ……(3分) 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
令 2
2420,20.
r h F h r rh F r r πππλππλ=++=??=+=? ……(6分)
解得2h r =
，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当
底面半径为r =
高为h =时，制作圆桶用料最省。 ……(9分)
5. 设3
22
()y x y
y F y e
dx -=
?,计算()F y '.
解：由含参积分的求导公式
33
22223
2
2222()32y y x y x y x y
x y
x y x y y y
y
F y e dx x e dx y e
ye
----=='??'==-+- ????? ……(5
分)
3
2
7
5
22232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-?
375222751222y y y x y
y y e ye e dx y
---=--?。 ……(9分)
6. 求曲线2
22222x y xy
a
b c ??+= ???所围的面积，其中常数,,0a b c >.
解：利用坐标变换cos ,
sin .
x a y b ρθρθ=??=? 由于0xy ≥，则图象在第一三象限，从
而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
(
),0,02πρθθρ??Ω=≤≤≤≤???。 ……(3分) 则
(,)
2(,)
x y V d d ρθρθΩ
?=???
1
2
2sin cos 200
2ab c d ab d π
θθθρρ
?? ???=??
……(6分)
22
2
20
sin cos a b d c π
θθθ=
?
222
2a b c =. ……(9分)
7. 计算曲线积分352L
zdx xdy ydz +-?,其中L 是圆柱面221x y +=与平面
3z y =+的交线（为一椭圆）
，从z 轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面3z y =+上由曲线L 所围的部分作为Stokes 公式中的曲面∑，定向为上侧，则∑的法向量为
(
)cos ,cos ,cos 0,αβγ?
= ?
。 ……(3分)
由Stokes 公式得
352L
zdx xdy ydz +-?cos cos cos 352dS x y z z
x y
αβγ∑
???
=???-??
dS ∑
= ……(6分)
221
x y +≤=??
2π= ……(9分)
8. 计算积分S
yzdzdx ??,S 为椭球222
2221x y z a b c ++=的上半部分的下侧.
解：椭球的参数方程为sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ?θ?θ?===，其中
02,0,2
π
θπ?≤≤≤≤
且
2(,)
sin sin (,)
z x ac ?θ?θ?=?。 ……(3分)
积分方向向下，取负号，因此，
yzdzdx ∑
=??
22322
sin cos sin d bac d π
π
θ??θ?-??
……(6分)
222320
sin sin cos bac d d π
π
θθ???
=-??
2
4
abc
π
=-
……(9
分)
二. 证明题（共3题，共28分）。 9.（9分） 讨论函数3
2224
22,0()0,0
xy x y x y f x x y ?+≠?+=??+=?
在原点(0,0)处的连续
性、可偏导性和可微性.
解：连续性：当220x y +≠时，
2242424()022xy x y y y
f x y x y x y +=?≤?=→++，当()(),0,0x y →，
从而函数在原点()0,0处连续。 ……(3分)
可偏导性：()()()
00,00,00,0lim
0x x f x f f x
?→+?-==?，
()0,0y f ()()
00,00,0lim
0y f y f y
?→+?-==?， 即函数在原点()0,0处可偏导。 ……(5分)
3
f f x f y
?-?-?= 不存在，
从而函数在原点()0,0处不可微。 ……(9分)
10.（9分） （9分） 设(),F x y 满足： （1）在()
{}
00,,D x y x x a y y b =
-≤-≤上连续，
（2）()00,0F x y =，
（3）当x 固定时，函数(),F x y 是y 的严格单减函数。
试证：存在0δ>，使得在{
}
0x
x x δδI =-<上通过(),0F x y =定义了
一个函数()y y x =，且()y y x =在δI 上连续。
证明：（i ）先证隐函数的存在性。
由条件（3）知，()0,F x y 在[]00,y b y b -+上是y 的严格单减函数，而由条件（2）知()00,0F x y =，从而由函数()0,F x y 的连续性得
()00,0F x y b ->， ()00,0F x y b +<。
现考虑一元连续函数()0,F x y b -。由于()00,0F x y b ->，则必存在10δ>使得
()0,0F x y b ->， x ?∈01(,)O x δ。 同理，则必存在20δ>使得
()0,0F x y b +<， x ?∈02(,)O x δ。
取12min(,)δδδ=，则在邻域0(,)O x δ内同时成立
()0,0F x y b ->， ()0,0F x y b +<。 ……(3分) 于是，对邻域0(,)O x δ内的任意一点x ，都成立
()
0,0F x y b ->， (
)
0,0F x y b +<。
固定此x ，考虑一元连续函数(),F x y 。由上式和函数(),F x y 关于y 的连续性可知，存在(),F x y 的零点[]0
,y y b y b ∈-+使得
()
,F x y ＝0。
而(),F x y 关于y 严格单减，从而使(),F x y ＝0的y 是唯一的。再由x 的任
意性，证明了对:δI =0(,)O x δ内任意一点，总能从(),0F x y =找到唯一确定的y 与
x 相对应，即存在函数关系:f x y →或()y f x =。此证明了隐函数的存在性。
……(6分)
（ii ）下证隐函数()y f x =的连续性。
设*x 是:δI =0(,)O x δ内的任意一点，记()**:y f x =。 对任意给定的0ε>，作两平行线 *y y ε=-， *y y ε=+。
由上述证明知
()**,0F x y ε->， ()**,0F x y ε+<。 由(),F x y 的连续性，必存在*x 的邻域*(,)O x δ使得
()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<， *(,)x O x δ?∈。
对任意的*(,)x O x δ∈，固定此x 并考虑y 的函数(),F x y ，它关于y 严格单减且
()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<。
于是在()**,y y εε-+内存在唯一的一个零点y 使
(),0F x y =，
即 对任意的*(,)x O x δ∈，它对应的函数值y 满足*y y ε-<。这证明了函数
()y f x =是连续的。 ……(9分)
11.（10分）判断积分1011
sin dx x x
α?在02α<<上是否一致收敛，并给出证
明。
证明：此积分在02α<<上非一致收敛。证明如下：
作变量替换1
x t
=，则
120111
1sin sin dx tdt x x t αα+∞-=??。 ……(3分)
不论正整数n 多么大，当[]3,2,244t A A n n ππππ?
?'''∈++???
?时，恒有
sin t ≥。 ……(5分)
因此，
2211
sin 2A A A A tdt dt t t α
α
''
''--'
'≥?
? ……(7分)
A ''
=≥
204
3424n α
ππ-≥
→
>?
?+ ?
?
?，当2α→-时。 因此原积分在02α<<上非一致收敛。 ……(10
分)
注：不能用Dirichlet 判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：
尽管对任意的1B >积分1sin B tdt ?一致有界，且函数21
t
α-关于x 单调，但是
当x →+∞时，21
t α-关于()0,2α∈并非一致趋于零。事实上，取,t n = 相应地
取12n α=-，则112111
lim lim 10lim t n n n
n t
n n α-→∞→∞→∞
===>，并非趋于零。
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1. 函 数 x x y --= 5)1ln(的定义域为为 （ ） A.1>x 5
解： ?-x e x ~12~12 x e x -,应选B. 4.=?? ? ??++∞ →1 21lim n n n （ ） A. e B.2e C.3e D.4e 解：2)1(2lim 2 )1(221 21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n n n n n n n =? ?? ????? ??? ??+=?? ? ??+=?? ? ? ? + +∞→+?∞ →+∞ →∞→,应选B. 5.设 ?? ? ??=≠--=0,0,11)(x a x x x x f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B.-1 C.21 D.2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000 =-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0 =--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B.21- C.41 D.4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A. )1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.) 1() 1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,
数学分析下册期末试题（模拟） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的 法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为 球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（ ） （A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ） （A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.
《数学分析》(三）――参考答案及评分标准 一． 计算题（共8题,每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限． 解: 11 (,)f x y y x = +=， 因此二重极限为0．……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在, 故二次极限均不存 在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数，其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: , ……(4分) 。?解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续). 解:z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4 分） 代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222 2w w w μμν??+=???。 ……（9分） 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
. 2011年普通专升本高等数学真题一 一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分） 1.函数()() x x x f cos 12 +=是（ ）. ()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数 2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）. ()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导 ()C 连续且可导 ()D 连续但不可导 3.设函数()x f 在[]1,0上,02 2>dx f d ，则成立（ ）. ()A ()()010 1 f f dx df dx df x x ->> == () B ()()0 1 10==> ->x x dx df f f dx df ()C ()()0 1 01==> ->x x dx df f f dx df ()D ()()1 01==> > -x x dx df dx df f f 4.方程2 2y x z +=表示的二次曲面是（ ）. ()A 椭球面 ()B 柱面 ()C 圆锥面 ()D 抛物面 5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平 行于x 轴的切线（ ）. ()A 至少有一条 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 不存在 二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分) 1.计算_______ __________2sin 1lim 0=→x x x 报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
页 2021年 专升本复习题 练习试卷 教案等集合韩山师范学院2021年专升本插班生考试 数学与应用数学 专业 数学分析 试卷 （A 卷） 一、填空题（每小题2分，共30分）： 1. 设=--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则 . 2. a x a x a x --→sin sin lim = . 3. 设则,|][{R x x x E ∈-==E inf . 4. ?++++ +1 02]! !2!11[dx n x x x n =________ . 5. 设=)(x f ??? ????>+≤,0 ,)1ln(0, ,arctan x x x x x kx ,其中k 为常数. 若函数)(x f 在点00=x 连 续，则=k ． 6. 判别级数∑ ∞ =1 ! n n n n 的敛散性： .（收敛、发散） 7．若函数()()(2)(3)(4)5f x x x x x x =----,则0)(='x f 有 个实根. 8. 设()x y y =由参数方程???-=+=t t y t x arctan ),1ln(2所确定, 则=dx dy .
页 2021年 专升本 复习题 练习教案等集合9．函数53523++-=x x x y 的拐点的横坐标为为 . 10．函数3129223-+-=x x x y 的单调递减区间为 . 11. 设()x f 的定义域为[]1,0，则??? ? ? -+??? ? ? + 4141x f x f 的定义域为 . 12. 改变积分次序??--y y dx y x f dy 211 3),(= . 13. 已知3 π =x 是()x x a x f 3sin 31 sin +=的极值点，则=a ____________. 14. 极限 2 2 ) 0,0(),(lim y x xy y x +→= ． 15．设z y x u =, 则y x u ???2= ． 二、计算与叙述题（每小题5分，共30分） 1. 设函数()f x 可导，求 2()(tan )1 x x y f x x =++ 的微分dy 。 2. 计算4 20 2sin lim x dt t x x ? →.
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x ==+ ，因此二重极限为0.……(4 分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(), (,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试 高等数学（二） 一、选择题：每小题10分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题 目要求。 1. 3 lim →x （ ） A. 1 B. C. 0 D. π 答案：B 解读：3 lim →x cos1 2. 设函数y= , 则 （ ） A. B. C. 2x D. 答案：C 3. 设函数 , 则f ’( π （ ） A. B. C. 0 D. 1 答案：A 解读：()12sin 2,sin -=-=?? ? ??'-='ππf x x f 4. 下列区间为函数 的单调增区间的是（ ）
A. (0,π B. π π C. π π D. (0, π 答案：A 5. =（ ） A. 3 B. C. D. +C 答案：C 解读：由基本积分公式C x a dx x a a ++= +? 1 1 1可得 6. （ ） A. B. C. D. ln|1+x|+C 答案：D 解读： ()C x x d x dx x ++=++=+??1ln 11111 7. 设函数z=ln(x+y), 则 （ ） A. B. C. D. 1 答案：B 解读： ,将1,1==y x 代入， 8. 曲线y= 与x 轴所围成的平面图形的面积为（ ） A. B. C. π D. π
答案：C 解读：画图可知此图形是以坐标原点为圆心，半径为2且位于x 轴上方的半圆， 也可用定积分的几何意义来做 9. 设函数 , 则22z x ?=?（ ） A. B. C. D. 答案：D 解读：x e x z =??，x e x z =??22 10. 设事件A,B 互不相容, P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(A+B)=（ ） A. B. C. D. 答案：B 解读：因为A ，B 互不相容，所以P(AB)=0，P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.5 二、填空题：每小题4分，共40分. 11. 1 lim →x =. 答案：2- 解读：1 lim →x 12. → =.
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
《数学分析》――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =， 因此二重极限为0.……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数: 222S rh r ππ=+表, ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε- 定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) 用ε三 (n x n n = ++ ?+四()f x x = 在五六七八九. )b ,使 (f ''数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. 八. ,都有 f 九. 一.(各1. x ?3. ln 0 ? 二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数 (1)n x x =-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛. 五. (10分)将函数,0 (),0x x f x x x ππππ + ≤≤?=? - <≤?展成傅立叶级数. 六. (10分)设22 22 0(,)0,0 xy x y f x y x y ? +≠?=?? +=?
高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1) (x)=x-1 ，则 []?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()0 2lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,1 31,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但 不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2 2 2 2 -x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-1 4 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞ +++ +<= 8．arctan lim _________x x x →∞ = 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100 件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
江南大学现代远程教育 2012年下半年第二阶段测试卷 考试科目:《高等数学》专升本 第四章至第六章（总分100分） 时间：90分钟 _____学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分： 一． 选择题(每题4分，共20分) 1. 下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 ( b ). (a) ,[2,1]y x =- (b) 2,[2,6]y x = (c)23,[2,1]y x =- (d)1,[2,6]3y x = - 2. 曲线 331y x x =-+ 的拐点是a (a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1) 3. 下列函数中, ( ) 是 2cos x x 的原函数.d (a) 21cos 2x - (b) 1sin 2x - (c) 21sin 2x - (d) 21sin 2 x 4. 设()f x 为连续函数, 函数1 ()x f t dt ? 为 (b ). (a) ()f x '的一个原函数 (b) ()f x 的一个原函数 (c) ()f x '的全体原函数 (d) ()f x 的全体原函数 5. 已知函数()F x 是()f x 的一个原函数, 则4 3 (2)f x dx -?等于( c ). (a) (4)(3)F F - (b) (5)(4)F F - (c) (2)(1)F F - (d) (3)(2)F F -
二.填空题(每题4分，共28分) 6. 函数 3 33y x x =-+的单调区间为(,1),[1,1],(1,)-∞--+∞ 7. 函数 333y x x =-+的下凸区间为(,0)-∞ 8. tan (tan )xd x ?=21(tan ),(为任意实数)2 x C C +. 9. 233()()x f x f x dx '?=321（f(x )),(为任意实数)6 C C +. 10. 220062sin x xdx -?=_____0_____. 11. 0 cos x dx π ?=___2____. 12. 极限230 00 ln(1)lim x x x t dt tdt →+??=12. 三. 解答题(满分52分) 13. 求函数 254(0)y x x x =-< 的极小值。 254y =2x (0);0=-3x<-3,0;3,0.x=-3y =27 x y x y x y ''+ <=''<>->极小值解答： 时，x 所以在时取到极小值， 14. 求函数 333y x x =-++ 的单调区间、极值及其相应的上下凸区间与拐点。
第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一．原函数的概念 例1.下列等式成立色是（ ） ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2．下列写法是否有误，为什么？ ()1 .ln c dx e e x x +=?（c 为任意正常数） ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗？ ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5．求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2 π=x 时，这函数值为2，求 此函数. 解：因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-=
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 .计算题(共8题，每题9分，共72分)。 因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在， x 0 y x y 0 y x 故二次极限均不存在。 4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？ 解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的 最小值，其中 目标函数：S 表2 rh 2 r 2, 1. 解: 1 1 求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y x f (x, y) Vxs in 丄 羽 si n 丄 y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分) 2. 解: 设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x, y,z) 具有连续的导数和偏导数,求空. dx 对两方程分别关于x 求偏导： y 0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别 dz 丁 f (x dx F F 矽 x y dx y) xf (x y)(dX 1 ), 解此方程组并整理得竺 dx F z dz 0 dx F y f(x y) xf (x y)(F y F x ) (4分) 3. 取，为新自变量及 2 z x y x y 2 解: 2 z 2 x x y J 2 z 看成是 w z y F y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程 ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下： / 、 x y w w(,), , 2 代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2 w W c 2 2w 。 x y 。 2 整理得: (9分) (4分) (9分)
A. -2x -1 + cos x+ c B. -2x - + cos x + c 2015年成人高考专升本高数二真题及答案 x 1 2, x > 0 A. 有定义且有极限 C. 无定义但有极限 D. 无定义且无极 限 n 4. 设函数 f(x)=x e 2,则 f'(x)=() n 丿 n 1 A.(1+x) e 2 B.( 2+x) e 2 5. 下列区间为函数f(x)=x 4-4x 的单调增区间的是() 7. /(x -2 + sin x) dx=( ) 3 1 6. 已知函数f(x)在区间［-3,3 ］上连续，则厶f(3x) dx=() 1. x+1 阳 ??2+T =( A. 0 1 B .2 C.1 2.当 x ~0 时，sin 3x 是 2x 的() A.低阶无穷小量 C.同阶但不等价无穷小量 D.2 B.等阶无穷小量 D.高阶无穷小量 3.函数 f(x)= x+1,x < 0,在 x=0 处() A.(-汽 B. (- g, 0) C. (-1,1 ) D. (1 , + g ) 1 3 1 1 A.0 B.3 / 3 f(t) dt c 込 / f(t) dt 3 D.3 厶 f(t) dt x - C. (1+ 2)e 2 n D. (1+2x) e 2
3 x -3 C.-亍 cos x + c x 8. 设函数 f(x)= ￡(t - 1)dt ,则 f “ (x)=() 11 .x m 0sin ??= 12. lim (1 - 2)3= x 13.设函数 y= ln(4x - x 2),则 y '(1)= 14.设函数 y=x+ sin x,贝U dy= (1+ cos x ) dx 15.设函数 3 y= x 2+ e -x 则 y ” |x -2 +e -x 16.若 /f(x) dx = cos(ln x) + C,则 f(x)= sin (In x) x 1 17.厶 x|x| dx = 18. /d(x ln x)= xln x+C 19.由曲线y=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面有界图形的面积 S= y_ ?z 20.设二兀函数 z= e x ,则 j(1,1) = -e A.-1 B.O C.1 D.2 9.设二元函数 z=x y ,则?Z =( A.yx y-1 B. yx y+1 C. y x ln x D. x y 10.设二元函数 z= cos(xy)，左= () 2 A.y sin(xy) 2 B.y cos(xy) 2 C.-y sin(xy) D.- y cos(xy)
《数学分析》专升本考试大纲 一、考试对象 数学与应用数学专升本学生 二、考试目的 《数学分析》是师范院校数学专业的一门重要基础课，既是专升本必考科目之一，也是本考研必考科目之一。 考生应按本大纲的要求了解或理解本科目中涉及的实数的连续性、数列与函数极限和连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学初步和级数敛散性。 考生应掌握或者熟练掌握上述各部分的基本方法，应理解各部分知识结构及知识的内在联系； 考生应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法，正确地判断和证明，准确地计算； 考生能综合运用所掌握知识分析并解决简单的实际问题。 三、考试方法 1、考试方法：（闭卷笔试） 2、记分方式：百分制，满分为100分 3、命题的指导思想和原则 命题的总的指导思想是：全面考查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况，特别是灵活解决问题的能力。命题的原则是：题目数量多、份量小，范围广，最基本的知识一般要占60%左右，稍微灵活一点的题目要占20%左右，较难的题目要占20%左右。客观性的题目应占一定的份量。 4、题目类型 单项选择题、填空题、计算题、综合应用题和证明题 四、考试内容、要求 第一章实数集与函数 1、实数 1)了解实数及其性质
2) 掌握绝对值不等式 2、 数集、确界原理 1) 掌握区间与邻域 2) 熟练有界集、确界原理 3、 函数概念 1) 掌握函数的定义和定义域的求法 2) 了解函数的三种表示法 3) 掌握函数四则运算 4) 熟练掌握复合函数定义及符合函数的分解 5) 了解反函数的定义及求法 6) 掌握初等函数的定义及其图形 4、 具有某些特性的函数 1) 熟练掌握有界函数定义及其性质 2) 熟练掌握单调函数定义及其性质 3) 熟练掌握函数奇偶性判别法及其性质 4) 熟练掌握周期函数及其性质 第二章 数列极限 1、数列极限的概念 1) 熟练掌握极限定义并运用定义证明极限 2) 掌握无穷小数列 2、熟练掌握收敛数列的性质及极限求法 3、熟练掌握数列极限存在的条件 第三章 函数极限 1、函数极限的概念 1) 掌握x →∞时函数的极限 2) 掌握0x x →时函数的极限 2、函数极限的性质
《数学分析》――参照答案及评分原则 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处二次极限与二重极限. 解： 11(,)f x y y x = =， 因而二重极限为0.……(4分) 由于0 11x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(), (,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所拟定隐函数,其中f 和F 分别具 备持续导数和偏导数,求 dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整顿得()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-= == （假设浮现导数皆持续）. 解：z 当作是,x y 复合函数如下： ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-= === 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整顿得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一种容积为31m 有盖圆桶,什么样尺寸才干使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目的函数在约束条件下最小值，其中 目的函数：222S rh r ππ=+表, 约束条件：21r h π=。 ……(3分) 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。 令 2 2420, 20.r h F h r rh F r r πππλππλ=++=??=+=? ……(6分) 解得2h r = ，故有r h = = 由题意知问题最小值必存在，当底面半径 为r = 高为h =时，制作圆桶用料最省。 ……(9分) 5. 设3 2 2 ()y x y y F y e dx -= ?,计算()F y '. 解：由含参积分求导公式 33 22223 2 2222()32y y x y x y x y x y x y x y y y y F y e dx x e dx y e ye ----=='??'==-+- ????? ……(5分) 3 275 22232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-? 37522 2751222y y y x y y y e ye e dx y ---=-- ?。 ……(9分)
数学分析三试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =，因此二重极限为0.……(4分) 因为11x y x →+ 与11 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 5. 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
2011年普通专升本高等数学真题一 一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分） 1.函数()() x x x f cos 12 +=是（ ）. ()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数 2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）. ()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导 ()C 连续且可导 ()D 连续但不可导 3.设函数()x f 在[]1,0上,02 2>dx f d ，则成立（ ）. ()A ()()010 1 f f dx df dx df x x ->> == () B ()()0 1 10==> ->x x dx df f f dx df ()C ()()0 1 01==> ->x x dx df f f dx df ()D ()()1 01==> > -x x dx df dx df f f 4.方程2 2y x z +=表示的二次曲面是（ ）. ()A 椭球面 ()B 柱面 ()C 圆锥面 ()D 抛物面 5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平 行于x 轴的切线（ ）. ()A 至少有一条 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 不存在 二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分) 1.计算_______ __________2sin 1lim 0=→x x x 报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ---------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。