课时作业(三十三)
1．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1
m
)＜0的解集为( )
A ．{x |1
m
＜x ＜m }
B ．{x |x ＞1
m
或x ＜m }
C ．{x |x ＞m 或x ＜1
m
}
D ．{x |m ＜x ＜1
m
}
答案 D
解析 当0 m . 2．若集合M ＝{y |y ＝x 2 ，x ∈Z}，N ＝{x ∈R|3x －1x －9≤1}，则M ∩N 的真子集的个数是( ) A ．15 B ．7 C ．16 D ．8 答案 B 解析 由N ＝{x |－4≤x <9}，M ∩N ＝{4,1,0}， 真子集个数23 －1＝7. 3．函数y ＝ log 1 2 x 2－1的定义域是( ) A ．[－2，－1)∪(1，2] B ．[－2，－1]∪(1，2) C ．[－2，－1)∪(1,2] D ．(－2，－1)∪(1,2) 答案 A 解析 由???? ? x 2 －1>0x 2 －1≤1， 得[－2，－1)∪(1，2]． 4．已知集合M ＝{x |x 2 －2008x －2009>0}，N ＝{x |x 2 ＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]，则( ) A ．a ＝2009，b ＝－2010 B ．a ＝－2009，b ＝2010 C ．a ＝2009，b ＝2010 D ．a ＝－2009，b ＝－2010 答案 D 解析 化简得M ＝{x |x <－1或x >2009}， 由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2010}，即－1,2010是方程x 2 ＋ ax ＋b ＝0的两个根． 所以b ＝－1×2010＝－2010，－a ＝－1＋2010，即a ＝－2009. 5．(2011·济南统考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )的最小正周期为3，且 f (1)>0，f (2)＝ 2m －3 m ＋1 ，则m 的取值范围是( ) A ．m <32 B ．m <3 2且m ≠1 C ．－1 2 D ．m >3 2 或m <－1 答案 C 解析 由题意得f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<0，即2m －3m ＋1<0，∴－1 2，故选 C. 6.已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图像如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2 －6)>1的解集为( ) A ．(2,3)∪(－3，－2) B ．(－2，2) C ．(2,3) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A 解析 由导数图像知当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数； 当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2 －6)>f (3)，即? ???? x 2 －6<0，x 2 －6>－2或 0≤x 2 －6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)． 7．设函数f (x )＝???? ? 2x ＋1，x ≥1，x 2 －2x －2，x <1， 若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案 B 解析 ∵f (x 0)>1，∴??? ?? x 0≥1 2x 0＋1>1 或????? x 0<1 x 2 0－2x 0－2>1 ，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋ ∞)． 8．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( ) A ．(－12，3 2 ) B ．(－32，12 ) C ．(－1,1) D ．(0,2) 答案 A 解析 由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，∴－x 2 ＋x ＋y 2 －y －1<0对于x ∈R 恒成立． 解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，∴4y 2 －4y －3<0，解得－12 解法2：即y 2－y －x ＋1)min ＝34. ∴y 2 －y <34，解之得－12 . 9．不等式2－x x ＋4>0的解集是________． 答案 (－4,2) 解析 考查分式不等式的解法2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0，所以－4 10．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如表： 答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可． 11．关于x 的不等式x 2 －(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1a <0(a >0)的解集为________． 答案 (1，a ＋1 a ) 解析 不等式可化为[x －(a ＋1 a )](x －1)<0， ∵a >0，∴a ＋1 a ≥2>1. ∴该不等式的解集为(1，a ＋1 a )． 12．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2 ＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围． 答案 －2≤a <6 5 解析 当a 2 －4＝0，即a ＝－2或a ＝2时，当a ＝2时不等式为4x －1≥0，解集不是空集． 当a ＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a ＝－2符合题意． 当a 2 －4≠0时，需??? ?? a 2 －4<0， Δ＝a ＋2 2 ＋4a 2 －4<0， 解得－2 5. 综上可知－2≤a <6 5 . 13．(2010·湖南理)已知函数f (x )＝x 2 ＋bx ＋c (b ，c ∈R)，对任意的x ∈R ，恒有 f ′(x )≤f (x )． 证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2 . 证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2 ＋bx ＋c ，即x 2 ＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2 －4(c －b )≤0，从而c ≥b 2 4 ＋1. 于是c ≥1，且c ≥2 b 2 4 ×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0. 故当x ≥0时，有(x ＋c )2 －f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2 . 14．设函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2 ) 思路 首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题． 解析 由于f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f (1－ax －x 2 ) a )对任意x ∈[0,1]都成立?不等式1－ax －x 2<2－a 对于任意x ∈[0,1]都成立． 即不等式x 2 ＋ax －a ＋1>0在x ∈[0,1]上恒成立． 方法一 令g (x )＝x 2 ＋ax －a ＋1，只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可． g (x )＝x 2 ＋ax －a ＋1＝? ????x ＋a 22－a 2 4 －a ＋1. ①当－a 2<0，即a >0时，g (x )min ＝g (0)＝1－a >0?a <1，故0 ②当0≤－a 2 ≤1，即－2≤a ≤0时， g (x )min ＝g ? ?? ??－a 2＝－a 2