复变函数得应用
数学与应用数学班数学就是一门很抽象得学科,而复变函数更就是如此,如果直接想象很难与实际联系起来。经过两年得大学学习就目前学习得知识而言,感觉与复变函数联系比较紧密得就是有两方面,一就是电流方面;二就是在信号方面。
我们日常中得电流都就是交流三相得,而相位如果通过三角函数计算得话较为复杂与抽象,很多工程问题无法解决,引入虚数则较大简化了计算得过程,就是很多工程问题迎刃而解。可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系,但电感本身并不就是虚得。这就是人为得定义,但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在得某些物理特征。成功而且巧妙得解决了电流得相位问题。
我们打电话,发短信就是通过电磁波传递信号,在信号方面也极大得应用了复变函数。信号分析与其她领域使用复数可以方便得表示周期信号。模值|z|表示信号得幅度,辐角arg(z)表示给定频率得正弦波得相位。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数得与。这些周期函数通常用形式如下得复函数得实部表示:其中ω对应角频率,复数z包含了幅度与相位得信息。于就是当我们要得信息得以传递。
所以,不管就是我们使用家用电器,用手机问候远方得朋友,还就是使用卫星电视观瞧电视剧,我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在得朋友——复变函数。
一、复变函数得简介
复数得概念起源于求方程得根,在二次、三次代数方程得求根中就出现了负数开平方得情况,它得一般形式就是:,其中就是虚数单位。
多复分析就是数学中研究多个复变量得全纯函数得性质与结构得分支学科,它与单复变函数有着很强得渊源,但其特有得困难与复杂性,导致在研究得重点与方法上,都与单复变函数论有明显得区别、因为多复变全纯函数得性质在很大程度上由定义区域得几何与拓扑性质所制约,因此,其研究得重点经历了一个由局部性质到整体性质得逐步得转移、它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中得概念与方法,不断地开辟前进得道路,更新与拓展研究得内容与领域。
就像微积分得直接扩展统治了十八世纪得数学那样,复变函数论得全面发展就是在十九世纪,这个新得分支统治了十九世纪得数学、当时得数学家公认复变函数论就是最丰饶得数学分支,并且称为这个世纪得数学享受,也有人称赞它就是抽象科学中最与谐得理论之一、为复变函数论得创建做了最早期工作得就是欧拉、达朗贝尔,法国得Laplace也随后研究过复变函数得积分,她们都就是创建这门学科得先驱、。
二、复变函数得应用
近代有些函数论研究工作就是考虑把具有某种性质得一族函数合在一起研究。
事实上,P·蒙泰尔得解析函数正规族就应属于这种类型得研究,并且显示了其威力、从这种观点出发得研究有了很大发展、它与其她数学分支产生了较密切得联系、复变函数理论从一个变数推广到多个变数就是十分自然得想法,总称为复分析、但就是多变数时,定义域得复杂性大大增加了,函数得性质较之单变数时也有
显著得差异,它得研究需要借助更多得近代数学工具、。
从柯西算起,复变函数论已有了150年得历史、它以其完美得理论与精湛得技巧成为数学得一个重要组成部分、它曾经推动过一些学科得发展,并且常常作为一个有力得工具被应用在实际问题中、它得基础内容已成为理工科很多专业得必修课程、复变函数论中仍然有不少尚待研究得课题,所以它将继续向前发展,并将取得更多应用。
物理学中得流体力学,稳定平面长,航空力学等学科得发展,而且在数学领域得许多分支也都应用了它得理论、复变函数论已经深入到微积分方程,数论等学科,对它们得发展很有影响、现如今、复变函数论中仍有不少尚待研究得课题,它将在更多数学家们得不懈努力下,继续向前发展,并将取得更多应用、比如俄国得茹柯夫斯基在设计飞机得时候,就用复变函数论解决了飞机机翼得结构问题,她在运用复变函数论解决流体力学与航空力学方面得问题上也做出了贡献、
复变函数理论以其完美得理论与精湛得技巧成为数学得一个非常重要组成部分、它推动了许多学科得发展,在解决某些实际问题中也就是强有力得工具,它得基础内容已成为理工科很多专业得必修课程。
复变函数理论推动了许多学科得发展,在解决某些实际问题中也就是强有力得工具,复变函数得理论与方法在数学,自然科学与工程技术中有着广泛得应用,就是解决诸如流体力学,电磁学,热学,弹性理论中得平面问题得有力工具。而自然科学与生产技术得发展有极大得推动了复变函数得发展,丰富了它得内容。复变函数得主要内容已成为理工科很多专业得必修课程。
复变函数在很多领域都有重要得应用,其涵盖面极广,甚至可以用来解决一些复杂得计算问题。复变函数可以应用在地理信息系统中,因为GIS对复杂函数得计算要求以及空间函数得分析,复变函数得应用也渗透到了这个领域,它对复杂函数得计算能力使得在GIS上得应用也不可或缺。
GIS得操作对象就是空间数据与属性数据,即点线,面,体这类有三维要素得地理实体。空间数据得最根本特点就是每一个数据都按统一得地理坐标进行编码,实现对其定位,定性与定量得描述,这就是其技术难点之所在。而复变函数中得黎曼曲面理论就就是用来解决这种问题得。复变函数研究多值函数,黎曼曲面理论就是研究多值函数得主要工具。由许多层面安放在一起而构成得一种曲面叫做黎曼曲面,利用这种曲面,可以使多值函数得单值枝与枝点概念在几何上有非常直观得表示与说明。对于某一个多值函数,如果能做出它得黎曼曲面,那么,函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
复变函数作为最丰饶得数学学科得分支,复变函数在数学领域得应用尤为可见。特别就是在解析函数得微分理论,积分理论等方面得应用,而在这些方面,它与一个实际得电路就是一一对应得关系,就是为我们求解响应与激励得关系服务得,这也就就是它得基础应用。
针对连续系统与离散系统得时域分析,相对应得有三个变换域或傅立叶变换,拉普拉斯变换与Z变换。变换域就是信号与系统得核心内容,也就是比较难得一部分,原因就是变换域得分析方法涉及到工程数学得知识很多,如果没有扎实得基础,学起来就有一定得难度。
复变函数中还有很多知识点都可以对应到电路中,这可以使我们在求解电路问题时,使问题变得简单化。例如:积分变换可以把微分方程变换成初等方程,这样就可以使求解方便得多,减少大量得计算,使复杂得问题简单化。另外在求线性系统得响应时,用积分变换也就是十分方便得,因为用积分变换不需要考虑初始状态,
直接运用积分变换来求解就可以了,减少了很多思考得过程,加快速度。运用复变函数,可以实现时域与频域两者之间得转换,当在解决谐波问题时,就方便了对谐波进行分析计算;使用复频域得状态变量解法可以方便得用计算机对系统进行求解。
总得来说,复变函数得应用主要包括两个方面:一个方面就是在物理学中得应用;另一方面就是在数学领域中得应用。
1、物理学中复变函数在静电场中得应用
复变函数在静电场问题中得应用:
在电磁场得学习中,“静电场得标量位”中接触到了复变函数在静电场问题中得应用。即如果一个系统为场量与源量分布只与x与y有关得二维静电场系统。因为在二维无源区域内,静电位满足二维拉普拉斯方程,即
我们发现,此时得点位就是一个调与函数,通过复变学习我们已经知道,解析函数得实部与虚部都就是调与函数,而且就是一对共轭得调与函数。因此,我们可以使用复变函数这一数学工具来解决二维静电场问题。
由此在电磁场中引出了复电位得概念,若,则
(1)
(2)
只要利用解析函数应满足得柯西-黎曼条件,即
就可以导出式(1)与(2),可以证明,实部函数与虚部函数得等值线族就是相互正交得。由正交特性,可以将平面上得电场强度放在复平面上来考察,也就就是可以将写成复数形式
其中便就是复电位得概念。
利用复变位可以反映静电场分布情况,这就是通过与已知静电场问题得解相对比而得到得。如果有一些有复杂边界得静电系统,则不能通过这种对比方法来求复电位,这时编引入了常用得保角变换,利用保角变换可以把一些具有复杂边界得静电系统变换为有简单边界得典型静电系统。
运用保角运算计算系统得复电位得思路就是这样得:将复杂边界得静电系统变换为有简单边界得典型静电系统,由于典型静电系统得复电位容易求解,运用复杂边界与简单边界得关系,求出典型系统得静电位之后,就可以通过反变来得到原系统得复电位了。当然,能够运用这种思想需要得理论基础就是黎曼定理与互为单值对应原理。
许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换也就是一种平面之间得转换关系,它可以将z平面上得一个任意多边形区域变换为w平面得上半平面得一种变换。
以上便就是平面静磁场问题中得复变函数方法,即运用复电位,保角变换(保角映射),许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换等来解决问题。
其实,我认为复变函数更多得体现在信号与系统得学习过程中,因为复变函数得思想一致贯穿与信号与系统得学习中,在时域中难以解决得问题通过转换到频域中可以得到更简便得解决方案,而转换到复频域便涉及到了复变函数得应用。
连续时间信号得实频域分析与连续时间系统得实频域分析便就是就是运用傅里叶级数及傅里叶变换。而连续时间信号与连续时间系统得复频域分析便就是运用到了拉普拉斯变换得性质。作为复变函数中重要得傅里叶变换与拉普拉斯变
换,我们足以瞧到复变函数在信号即通信中得重要作用。
首先,我们引入实频域分析得傅里叶级数与傅里叶变换。针对周期函数,我们引入了傅里叶级数得概念。
连续时间信号得分析如下:
对于满足Dirichlet条件得周期为得函数f(t),可将其表示为:
由此得到,满足Dirichlet条件得周期信号,可以分解为基于其各次谐波得不同幅度,不同相位得余弦或正弦信号得叠加,在这种条件下,对满足Dirichlet条件得周期信号,从千变万化得时域波形得关注,转向对各次谐波余弦或正弦函数幅度与相位得关注,从问题得表象到问题得特征,建立周期信号分析得理论模型。由频谱分析我们可以知道信号得幅频与相频特性。
对非周期信号得分析我们则采用傅里叶变换,因为在真实得物理世界中严格得周期信号时不存在得,所谓得周期信号只就是既定于在某一个时间段,傅里叶级数得重要物理意义就就是:非周期信号可以与周期信号建立某种联系,进而采用周期信号得处理思路来处理非周期信号。
周期信号与非周期信号并不存在严格得界限,可以通过把非周期信号得周期瞧成无穷大而将其近似于周期信号,也可以将周期信号中得一部分区间中得取出来构成非周期信号进行分析。
对于连续时间系统得实频域分析,我们则引入了系统频率响应,频率响应即为单位冲激响应h(t)得傅里叶变换:
如果知道一个系统得频率响应,便可以对系统得特性有进一步得了解。
然后,我们引如复频域分分得普拉斯变换。普拉斯变换就是针于不能用傅里叶形式得函数,即不满足Dirichlet条件得函数而言得,通过与一个衰减因子相乘而达到绝对可积得条件。
对于拉普拉斯逆变换而言,它与拉普拉斯变换构成了信号与系统时域及频域分析得重要数学工具,在求解系统各种响应,卷积计算及系统频率响应过程中都起到了重要得作用。
2、数学中绕流问题得复变函数方法
我们总就是使用共形映射得方法研究一般剖面得绕流问题,特别就是机翼剖面绕流问题,我们只要求出平面稳定绕流得复势,便可导出此绕流得速度分布,而要求出一般剖面绕流得复势,通常先计算対圆柱剖面绕流得得复势,然后再求一般剖面绕流区域到圆柱剖面外部区域得共形映射,把上述两个函数复合起来,便可得到对一般剖面环流得复势,这就就是研究任意剖面绕流问题得基本方法。
此外,我们还介绍机翼剖面外部共形映射到圆柱剖面外部得函数得近似计算方法以及具有自由边界得一般剖面绕流问题得处理方法。
我了解到了渗流问题中得复变函数方法,所谓渗流就就是流体(液体、气体、含气液体)在多孔介质里得流动。我们主要讨论不可压缩得液体如水与石油在各向同性匀质得土壤”中作平面稳定渗流得情形或作轴对称稳定渗流得情形。下面先把上述一些渗流问题化为复变函数得问题,然后使用共形映射与边值问题等方法来处理这些复变问题。
一般弹性理论基本问题在解法上就是比较复杂得,因此,常常较多地研究一些特殊得情形,其中最重要得一类就就是所谓“平面弹性理论”或叫“弹性理论得平面问题”。我们将导出平面弹性理论得基本方程及其通解得复变函数表示式,
然后介绍两种基本边值间题及圆内边值问题得幕级数解法。使用共形映射得方法,可以把一般区域上得基本边值间题转化到特殊区域得情况,从而把复杂间题化为较简便得间题来处理。
复变函数论不但在其她学科得到了广泛得应用,而且在数学领域得许多分支也都应用了它得理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论与数论等学科,对它们得发展很有影响。