直 线 与 方 程
(i )直线的倾斜角
定义：X 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 ____ X 轴平 行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是|0°WaV i80 2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常 用出表示。即k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线I 与X 轴平行或重合时,a =0° , k = tanO ° =0; 当直线l 与x 轴垂直时,a = 90 ° , k 不存在.
当 0 ,90时，k 0; 当 90 ,180 时，k 0; 当 90时，k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公匚：k 上一 (x 1 x 2)
( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 工x2)
X 2 X-!
X 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90 ° ;
k 与P i 、P 2的顺序无关；
以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 y y i k (X X i )
直线斜率k ，且过点X 1,y 1
注意下面四点：(1)
(2) (3)
(4)
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与
否。 (7)两条直线的交点 l i : A i X B i y C i 0 I 2 : A 2X
交点坐标即方程组 Ax A 2X 方程组无解
(8)两点间距离公式:
B 2y
C 2 0相交 0
的一组解。
方程组有无数解 l i 与12重合
(X 2, y 2)是平面直角坐标系中的两个点,
B i y B ?y
C i C
2
设 A(X i ,y) 当X 1
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是 y=y i 。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示?但因
I
上每一点的横坐标都等于X i ,所以它的方程是X=X i 0
(9) o o
l i : Ax By C 0(10) 两平行直线距离公式
已知两条平行线直线l i 和12的一般式方程为l i : Ax
直线的方程
方法二 设直线l 的方程为y-2=k(x-3).
令y=0,得直线l 在x 轴上的截距a=3- 2 ,令x=0,得直线l 在y 轴上的截距b=2-3k. k
3 - (2-3 k)=24.解得 k=--.二所求直线方程为 y-2=- - (x-3).即 2x+3y-12=0. k 3 3
By C i 0 ,
l 2 : Ax By C 2
0,则l i 与12的距离为d
1.设 a ，
b, c 是互不相等的三个实数，如果
A (a, C 三点共线，k A
B =k A
C ,
a 3)、B(
b ，b 3)、C(
c ， c 3)在同一直线上，求证: a+b+c=0.证明
3
3
3
b a
c a b a c
/? b -c +ab-ac=0, ( b- c)
(a+b+c)
，化简得 a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2,
=0， 二
2.若实数x,y 满足等式(x-2) 2+y 2=3,
那么1的最大值为
x
A 1
2 答案 D
3.求经过点A (-5 , 2)且在x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的2倍的直线方程; 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为
y=kx,
D. 3
将(-5 , 2)代入y=kx 中，得k=--，此时，直线方程为
5 2
y=- x,即 2x+?=0.
5
②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 x 2a =1,将(-5，2)代入所设方程，解得
a
1 a=_ —， 2
此时，直线方程为x+2y+仁0.综上所述，所求直线方程为
4.直线l 经过点P ( 3，2)且与x ，y 轴的正半轴分别交于 x+2y+1=0或 2x+5y=0.
A B 两点，△ OAB 的面积为12,求直线I 的方程.
解 方法一 设直线l 的方程为-丄1 (a> 0, b> 0)
a b 二 A( a,0),日0, b),
ab 24, 3 2 解得
1. a b
a 6,
b 4.
二所求的直线方程为 - -=1,即 2x+3y-12=0.
6 4
9.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1 ,1)、( 2, 2),若直线l : x+my+mF0与线段PQ有交点，求m的取值范围
< me
方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y-仁-_1 (x+1),即y=-x+4 ,代入x+my+m=O, 2 1 3 3 整理，得x=-
.由已知-1 e - 7m
< 2,解得-2
e n e 1. m 3 m 3 3
2
两直线方程
例 1 已知直线 l 1：ax+2y+6=0和直线 l 2：x+(a-1) y+a 2-1=0,
(1) 试判断l 1与l 2是否平行； (2) 丨！丄12时，求a 的值.
解 (1)方法一 当 a=1 时，11： x+2y+6=0, 12： x=0, 11 不平行于 12；
当 a=0 时，11： y=-3, 12： x-y-仁0,11 不平行于 12； 当a 工1且 a 工0 时，两直线可化为 11： y=- a x -3,
12：
y= 1 x-( a+1),
2
1 a
a
1
11 // 12
2 1 a ，解得 a=-1,
3 (a 1)
综上可知， a=-1 时，l 1 // l 2,否则l 1与l 2不平
行
方法二 由 AB-AB=0,得 a (a-1 ) -1 x 2=0，由 AC 2-A2G 工0,得 a( a 2-1)-1 x 6工0,
/? X //
a 2 a 2 0
2
a =-1,
a(a 2 1) 6
否则丨1与12不平行.
(2)方法一
当a=1时，l 1： x+2y+6=0, l 2： x=0, l 1与l 2不垂直，故a=1不成立.
当a 工1时,
11： y=- a x-3, 2 l 2： y= 1 x-( a+1),
由
a
1 a 2
1 2 =-1 a=. 1 a
3
方法二 由 A1A+B 1E 2=0,得
a+2( a-1)=0 a=2.
3
例3已知直线 l 过点P (3, 1)且被两平行线l
1
： x+y+1=0, 12： x+y+6=0截得的线段长
为
5,求直线l 的方程.
解方法一 若直线l 的斜率不存在，
则直线l 的方程为x=3,此时与丨1,丨2的交点分别是A ( 3，-4 )，B( 3, -9 )， 截得的线段长| AB=|-4+9|=5,符合题意.
若直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线lj 2的方程联立, 由 y k(x 3) 1,解得 A 3k^,^ .
x y 1 0
k 1 k 1 8分
与线段PQ 有交点，???所求m 的取值范围是
a(a 1) 1 2
2
a(a 2
1) 1 6
故当 a=-1 时，l
1
/ l 2,
解 方法一 直线x+my+n=0恒过A ( 0, -1 )点.
3
2
由y k（x 3） 1,解得 B ―,
x y 6 0 k 1 k 1
由两点间的距离公式，得
2 2
3k 2 3k 7 丄 1 4k 1 9k
+ =25,
k 1 k 1 k 1 k 1
解得k=0,即所求直线方程为y=1.
综上可知，直线I的方程为x=3或y=1.
方法二设直线 I 与 11, 12分别相交于 A^y）, B（X2,y2）,则 1=0x+y2+6=0,
两式相减，得（X1-X2）+（ y1-y2）=5 ① 6 分
又(X1- X2) 2+( y1- y2)2=25 ②
联立①②可得X1 X2 5或X1 X2 0, 10 分y1 y2 o y1 y2 5
由上可知，直线I的倾斜角分别为0°和90°，
故所求的直线方程为 x=3或y=1.
例4求直线I * y=2x+3关于直线I : y=x+1对称的直线I 2的方程.
解方法一由y 2x 3知直线丨1与I的交点坐标为（-2，-1），
y x 1
设直线丨2的方程为y+1=k（ x+2）,即kx- y+2k-1=0.
在直线I上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线I1、I2的距离相等, 由点到直线的距离公式得
|k 2 2k 1 = |2 2 3
U2 k2. 22（ 1）2
解得k=l（k=2舍去），二直线I 2的方程为x-2 y=0.
2
方法二设所求直线上一点P （x, y）,
则在直线I1上必存在一点R（X。, y。）与点P关于直线I对称.
由题设：直线PR与直线I垂直，且线段PR的中点
3?1 1
P2 -乞律X I在直线I上.??? X0 X ，变形得X o y 1,
2 ' 2 y y°x X Q1y°x 1
2 2
代入直线11： y=2x+3，得x+1=2X （y-1）+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为 x-2 y=0.
直线与方程
1.设直线I与x轴的交点是P,且倾斜角为，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为+45°，
则( )
A0 ° << 180° B.0 °<< 135°
C 0°<<135 ° D. 0°<< 135°
答案 D
2.曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为( )
A30 ° B.45 ° C.60 O D.120 答案 B