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傅里叶变换
1. 傅里叶级数
周期函数的傅里叶级数（简称傅氏级数）是由正弦函数和余弦函数项组成的三角函数。 周期为T 的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里克雷条件： 1) 在一个周期内只有有限个不连续点；
2) 在一个周期内只有有限个极大和极小值点；
3) 积分/2
/2
()T T f t dt
-?
存在，
则f(t)可展开为如下傅氏级数：
011
()(cos sin )
2n n n f t a a n t b n t ωω∞
==++∑ （F-1）
式中系数
n
a 和
n
b 由下式给出：
/2
/22()cos ;(0,1,2,...,)T n T a f t n tdt n T ω-==∞?
/2
/2
2()sin ;(0,1,2,...,)T n T b f t n tdt n T ω-==∞?
式中2/T ωπ=称为角频率
周期函数f(t)的傅氏级数还可以写为复数形式（或指数形式）：
()jn t
n
n f t a e
ω∞
=-∞
=
∑ （F-2）
式中系数
/2
/2
1()T jn t n T a f t e dt T ω--=? 其中欧拉公式
cos sin j t
e t j t ωωω=+ 如果周期函数f(t)具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有偶次谐波，则傅
氏级数中的某些项为0，系数公式可以简化，下表列出了具有几种对称性质的周期函数f(t)
2. 傅里叶积分和傅里叶变换
任一周期函数只要满足狄里克雷条件，便可以展开为傅氏级数，对于非周期函数，因为其周期T 为趋于无穷大，不能直接用傅氏级数展开，而要做某些修改，这样就引出了傅里叶积分。
若f(t)为非周期函数，则可视它为周期T 为趋于无穷大，角频率02/T ωπ=趋于0
的周期函数，这时，在傅氏级数展开式中，各个相邻的谐波频率之差00
(1)n n ωωω?=+-便很小，谐波频率
n ω须用一个变量ω代替【注意，此处ω不同于（F-1）所述的角频率】。
这样，式（F-2）便可改写为：
()j t
n f t e ωω
α∞
=-∞
=
∑ （F-3）
/2
/2
()2T j t
T f t e dt ωωωαπ--?=?
于是便得：
/2
/2
/2
/2
1()[()][()]22T T j t j t j t j t n n T T f t f t e dt e f t e dt e ωωωωωω
ππ∞
∞
--=-∞=-∞--?==?∑∑??
当T —>∞时，ω?—>d ω，求和式变为积分式，上式可写为：
1()[()]2j t j t f t f t e dt e d ωωω
π
∞∞
--∞-∞
=
??
（F-4）
若令
()()j t F f t e dt
ωω∞
--∞
=
?
（F-5）
1()()2j t
f t F e
d ωωω
π
∞
-∞
=
? （F-6）
()F ω称为f(t)的傅氏变换，记为()[()]F F f t ω=，而f(t)称为()F ω的傅氏反变换，记为1()[()]f t F F ω-=。
非周期函数f(t)必须满足狄里克雷条件才可以进行傅氏变换，而且狄里克雷的第三条
件这时应修改为积分()f t dt
∞
-∞?
存在。
时域卷积对应于频域相乘，根据傅里叶变换的对称性，时域相乘必然和频域卷积相对
应
拉普拉斯变换
工程实践中常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不能满足傅氏变换条件，如果对这种函数稍加处理，一般都能进行傅氏变换，于是就引入了拉普拉斯变换，简称拉氏变换。对于任意函数f (t)，如果不满足狄里克雷第三条件，一般是因为当t —>∞时，f(t)衰变太
慢，用因子
(0)t e σσ->乘以f(t)，则当t —>∞时衰减就快得多了。通常把t e σ-叫做收敛因子。但由于它在t —>-∞时，起相反作用，为此假设t<0时，f(t)=0。这个假设在实际上是
可以做到的，因为我们总可以把外作用加到系统上的开始瞬间选为t=0，而t<0时的行为，即外作用加到系统之前的行为，可以再初始条件内考虑。这样，我们对函数f(t)的研究，
就变为在时间t=0—>∞区间对函数()t
f t e σ-的研究，并称之为f(t)的广义函数，它的傅里
叶变换为单边傅氏变换，即：
()0
()()()t j t
j t F f t e e
dt f t e dt
σωσωσω∞
∞
---+==??
若令s j σω=+，则上式可写为：
()()()st s F F s f t e dt
j σσ
∞
--==? （L-1）
而
1()()2s j st s j f t F s e ds
π
+∞
-∞
=
?
（L-2）
上式中()F s 叫做f(t)的拉氏变换，也称象函数，记为()[()]F s L f t =
而f(t)叫做()F s 的拉氏反变换，也称原函数，记为
1
()[()]f t L F s -= 拉普拉斯变换的基本特性
Z 变换来源于连续系统，线性连续控制系统的动态及稳定性能，可以用拉氏变换的方
法进行研究分析。与此相似，线性离散系统的性能，可以采用Z 变换的方法来获得，Z 变换是从拉氏变换中引申出来的一种变换方法，他实际上是采样函数拉氏变换的变形，因此，Z 变换又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统重要的数学工具。 1. Z 变换定义
设连续函数e(t)是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为
()()st E s e t e dt
∞
-=?
由于t<0时有e(t)=0，故上式可写为：
()()st
E s e t e
dt
∞
--∞
=
?
对于采样信号*()e t ，其表达式为
*
()()()
n e t e nT t nT δ∞
==-∑
则采样信号*()e t 的Z 变换定义为（其中sT z e =）
*
ln /0
()()|()n
s z T n E z E s e nT z ∞
-====∑ （Z-1）
记作*
()[()][()]E z Z e t Z e t ==
其中，后一记号是为了书写方便，并不是意味着是连续信号e(t)的z 变换，而是仍指
采样信号*
()e t 的Z 变换。
应当指出，Z 变换仅是一种在采样拉氏变换中，取sT
z e =的变量置换。通过这种置换，可将s 的超越函数转换为z 的幂级数或z 得有理分式。
2. Z 变换方法 1) 级数求和法
级数求和法是直接根据Z 变换的定义，将式子写成展开形式：
12()(0)()(2)...()...n E z e e T z e T z e nT z ---=+++++
上式是离散时间函数
*()
e t的一种无穷级数表达形式。显然，根据给定的理想采样开
关的输入连续信号e(t)或其输出采样信号
*()
e t，以及采样周期T，由上式便得Z变换的级
数展开式。通常，对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。
2)部分分式法
利用部分分式法时，先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换
()
E s，然后将有理分式
函数
()
E s展成部分分式之和的形式，使每一个部分分式对应简单的时间函数，其相应的
Z变换是已知的，于是可方便的求出
()
E s对应的Z变换()
E z。
3. Z 变换性质
4.
Z 反变换
1) 部分分式法 2) 幂级数法
幂级数法又称综合法，z 变换函数()E z 通常可以表示为按1
z -升幂排列的两个多项
式之比：
120121212...(),()1...m
m n
n b b z b z b z E z m n a z a z a z ------++++=≤++++
其中
i
a 和
j
b 均为常系数，通过对上式直接作综合除法，得到按1
z -升幂排列的幂级
数展开式
120120
()......n
n
n n n E z c c z c z c z
c z ∞
----==+++++=∑
如果所得到的无穷级数是收敛的，则按Z 变换定义知，式中的系数
n
c 就是采样脉
冲序列*()e t 的脉冲强度()e nT 。因此根据上式可以直接写出*()e t 的脉冲序列表达
式
*
()()
n n e t c t nT δ∞
==-∑
3) 反演积分法
反演积分法就是留数法。 若
i
z 为单极点，则
11Re [()][()()]
lim i i
n n z z i z z s E z z z z E z z --→→=-
若
i
z 为n 阶重极点，则
111
1[()()]1
Re [()](1)!lim i
i
n n n n i z z n z z d z z E z z s E z z
n dz ---→-→-=
-
5. 关于Z 变换的说明
Z 变换与拉氏变换相比，在定义、性质和计算方法等方面，有许多相似的地方，但是Z 变换也有特殊的规律
a) Z 变换的非唯一性
Z 变换是对连续信号的采样序列进行变换，因此Z 变换与其原连续时间函数并非一一对应，而只是与采样序列相对应。与此类似，对于任一给定的Z 变换函数，由于采样信号可以代表在采样瞬时具有相同数值的任何连续时间函数，所以求出的Z 反变换也不可能是唯一的。 b) Z 变换的收敛区间
对于拉氏变换，其存在行的条件是下列绝对值积分收敛：
()aT
e t e dt ∞
-<∞?
相应地，Z 变换也有存在性问题。 由Z 变换定义，其式为：
*
ln /0
()()|()n
s z T n E z E s e nT z ∞
-====∑
称为双边Z 变换，由于sT z e =，令s j σω=+，则T jT z e e σω=。若令T r z e σ==，
则有j T
z re ω=
于是，双边Z 变换可以写为：
()()n jn T
n E z e nT r
e
ω∞
--=-∞
=
∑
显然，上述无穷级数收敛的条件是下式绝对值之和：
()n n e nT r ∞
-=-∞
<∞
∑
若上式满足，则双边Z 变一致收敛，即()e nT 的Z 变换存在。
工程中的窗函数
加窗是改善DFT 分析的一种重要手段，选择合适的窗能够有效抑制频谱泄漏，提高精度。加窗的实质就是对被分析信号在不同时刻加不同的权值，以使信号截断的影响尽可能的小。由于主瓣宽度决定了被截断以后所得序列的频域分辨率，而边瓣峰值有可能湮没信号频谱中较小的成分。因此，一个理想的窗函数，应该具有最小的3dB 带宽B(Δω)和第一边瓣峰值A(dB)以及最大的边瓣峰值衰减速度D(dB /oct)，从而使频域能量主要集中在主瓣内，我们便可得到接近于真实频谱的信号。实际上，能同时具备以上三个指标的理想窗函数是不存在的，但对窗函数进行选择时应满足以下基本要求：时域为改善截断处的不连续状态（由于吉布斯现象而产生的振荡）；频域为窗谱的主瓣要求窄而高，以提高分辨率，旁瓣应小，正负交替接近相等以减小泄漏和假频。但同时也应注意到，不管是加任何窗函数还是增加采样长度（即增加窗的宽度）都只可能在一定程度上抑制泄漏误差和栅栏效应，将误差减小到可以接受的程度，而不能完全消除由时域截断和离散化带来的误差。 迄今为止，许多学者设计了多种性能优良的窗函数。
1 矩形窗（Rectangular ）
时域：1,/2,...,0,...,/2
()0,n N N w n =-?=??
其他
窗普函数（频域）： 因为：1(1)
1sin(/2)()1sin(/2)j N N j jn j N j n e N W e
e
e e ωω
ω
ωω
ωω-------=-===-∑ 所以：(1)/2
W()sin(/2)/sin(/2)j j N e e
N ωωωω--=
指标：0.89B ω=? 13A dB =- 6/D dB oct =-
2 Hanning 窗
Hanning 窗函数是余弦平方函数，又称为升余弦窗，它的时域形式可以表示为：
()0.50.5cos(2/),/2,...,0,...,/2w n n N n N N π=+=-
窗普函数（频域）： 因为：
22221
111()()0000
22()(1)()(1)2()cos()()22sin(()/2)sin(()/2)22sin(()/2)sin(()/2)
n n N N N N j j jn jn j jn jn N N N N
n n n n j N j N N N
n W e e e e e e e
N N N N N e e
N N
ππππωωω
ωωππωωπππωωππ
ωω------+-----====-+----==+=++-=++-∑∑∑∑ 所以：W()0.5()0.25[(2/)(2/)]j e U U N U N ω
ωωπωπ=+-++ 其中/2
()sin(/2)/sin(/2)j U e
N ωωωω=
指标： 1.44B ω=? 32A dB =- 18/D d B o c t
=- 3 Hamming 窗
Hamming 窗可以由Hanning 加以改进得到，因此称为改进的升余弦窗，其时域形式为：
()0.540.46cos(2/),/2,...,0,...,/2w n n N n N N π=+=-
窗普函数（频域）：W()0.54()0.23[(2/)(2/)]j e U U N U N ω
ωωπωπ=+-++ 其中/2
()sin(/2)/sin(/2)j U e
N ωωωω=
指标： 1.3B ω=? 43A dB =- 6/D dB oct =-
4 Blackman 窗
为了更进一步抑制旁瓣，对升余弦窗再加上二次谐波的余弦分量，便得到了Blackman 窗，也称之为二阶升余弦窗，它的时域形式为：
()0.420.5cos(2/)0.08cos(4/),/2,...,0,...,/2w n n N n N n N N ππ=++=-
窗普函数（频域）：
W()0.42()0.25[(2/)(2/)]0.04[(4/)(4/)]
j e U U N U N U N U N ωωωπωπωπωπ=+-+++-++其中/2
()sin(/2)/sin(/2)j U e
N ωωωω=
指标： 1.68B ω=? 58A dB =- 18/D d B o c t
=- 5 Blackman-Harris 窗
对Blackman 窗再加上三次谐波的余弦分量，便得到了Blackman-Harris 窗，也称之为三阶升余弦窗，它的时域形式为：
()0.358750.48829cos(2/)0.14128cos(4/)0.01168cos(6/)w n n N n N n N πππ=+++ /2,...,0,...,/2n N N =-
窗普函数（频域）：
W()0.35875()0.244145[(2/)(2/)]
0.07064[(4/)(4/)]0.00584[(6/)(6/)]
j e U U N U N U N U N U N U N ωωωπωπωπωπωπωπ=+-+++-++++-++其中/2
()sin(/2)/sin(/2)j U e
N ωωωω=
指标： 2.24B ω=? 92A dB =- 10/D d B o c t
=- 6 三角窗（又称Bartlett 窗） Bartlett 窗函数的时域形式可表示为：
2()1,/2,...,0,...,/2n
w n n N N N
=-
=- 它的窗谱函数表达式为：
N
(1)222sin(/4)()[]sin(/2)
j j N W e e N ωω
ωω--=
指标： 1.28B ω=? 27A dB =- 12/D d B o c t
=- 以上窗函数都具有这样的特点：只要选取观测时间是信号周期的整数倍，其 频谱在基波和各整数次谐波频率处幅值为零，因而各频率信号分量之间不发生相 互泄漏，即使信号频率作小范围波动，泄漏误差也较小。由于电网信号一般主要 含有基波分量和整数次谐波分量，因而这些窗函数比较适合电力系统频率测量时 频谱分析的应用。
概率统计部分
1
数学期望
1
()k k i E X x p ∞
==∑
2 方差
222()[()][2()()]D X E X E X E X XE X E X =-=-+ 2
2
2
22()2()
()()()
E X E X E X E X E X =-+=- 3
协方差
(,)[(())(())]()()()COV X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=-
性质：
()()()2(,)D X Y D X D Y COV X Y +=++ ()()()2(,)D X Y D X D Y COV X Y -=+- (,)(,)COV X Y COV Y X = (,)(,)COV aX bY abCOV X Y =
(12,)(1,)(2,)COV X X Y COV X Y COV X Y +=+ (,)()COV X X D X =
4
相关系数
XY ρ=
XY ρ=0则称X 与Y 不相关；相互独立一定不相关；但不相关不一定相互独立
1XY ρ≤
1XY ρ=的充分必要条件为{}1(,,0)P Y aX b a b a =+=≠为常数
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
2 420
3.用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(S)是S的有理真分式 Ff ) _ B(S) b m S m?b m」S m-…?bιS ?b o A(S) a n s n+a n∕S n'+ …+a1s + a0 式中系数a o,a i,...,a n」，a n，b°,b1,…b m」，b m都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可 将F(S)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①A(S)=G无重根 这时，F(S)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。 C l C2 S-S S-S n n C C i 4 S -' S i (F-1) 式中，S1,S2,…，S n是特征方程A(S) = G的根。C i为待定常数，称为按下式计算：F(S)在S i处的留数，可 式中, 式中, C i= Iim (s _ S i)F(S) S T i C _ B(S) C i A(S) A(S)为A(S)对S的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式( -n C l L*(S)1=L?J∣Σ旦 S — $ 一 f(t)二 C i n -S i t = C i e i i吕 (F-2) (F-3) F-1)可求得原函数 (F-4) A(S)= G有重根 设A(S)=G有r重根S1 , F(S)可写为 B(S) F S-(S-S 1) r(S-S r J (S-S n) C i C r + C r4 + …+C1 + C r 出十… (S-S1)r(S-S1)r4 (S-Sj S-S r?1 -- C i ?.? . C n S — S S-S n S i为F(S)的r重根，S r十,…,S n为F(S)的n-r个单根; 421
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及
? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式
26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数非周期信号分析-- 傅里叶变换脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 § 2—1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。
x(t) Acos J% ° m 非确定性信号 （随机信号）： 给定条件下 取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信 号 数字信号：属于离散信号，幅值离散, 并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号 简谐信号及其三个要素 质量—弹簧系 统的力学模型
频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法：将信号看成许多谐波(简谐信号)之和，每一个谐波称作该信号的一 个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各 谐波的幅值和相角。 vpage break〉 § 2-2 周期信号与离散频谱 一、周期信号傅里叶级数的三角函数 形式 周期信号时域表达式 T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终” # 傅里叶级数的三角函数展开式 x(t) a0(a n cosn 0t b n sinn 0t) n 1
(n =1,2, 3 ，…) 傅立叶系数： a 。 1 T T 2 T x(t)dt 2 T 2 2 o tdt a n T T x(t)cos n 2 T 2 2 b n T T x(t)sin n o tdt 2 式中T --周期；0--基频，o =2 /T o 三角函数展开式的另一种形式: 次谐波的幅值 次谐波的频率 信号的均值，直流分量 N 次谐波的相角
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []? ?? ?? ?-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝ t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→-
傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解因 由式(3-55)得 二、对称性 若则 证明因为 有 将上式中变量换为x，积分结果不变，即
再将t用代之，上述关系依然成立，即 最后再将x用t代替，则得 所以 证毕 若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56) 成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如： 例3-7若信号的傅里叶变换为 试求。 解将中的换成t，并考虑为的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为
根据对称性 故 再将中的换成t，则得 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 若 则 证明因a＞0，由
令，则，代入前式，可得 函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8已知,求频谱函数。 解前面已讨论了的频谱函数，且 根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数 两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
常用函数傅里叶变换 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在 i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换 线性1 时域平移2 频域平移3 , 变换2的频域对应 会收缩值较大，则如果 4 会扩而到原点附近，a趋向 | | . 散并变得扁平当无穷时，成为函数。 Delta 通过傅里叶变换的二元性性质。
5 交换时域变量和频域变量 . 得到 6 傅里叶变换的微分性质 变换7 6的频域对应 表示和的卷积—这 8就卷积定 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理
想的低通滤波器，sinc函数是这类10 滤波器对反因果冲击的响应。 tri是三角形函数 11 12 变换12的频域对应 2t) ?α的傅里叶变 exp( 高斯函数 换是他本身. 只有当 Re(α) 13 > 0时，这是可积的。 14 15
a>0 16 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克18 δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 由变换1和25得到，应用了欧拉公 21 iat?iat eeat) / 2. 式: cos() = ( +
22 由变换1和25得到 n)(n(ω) . δ这里, 自然数是一个n阶微分。函数分布的是狄拉克δ 这个变换是根据变换23 7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 24 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. ut)是单位阶跃函数此处(; 此变换 27
根据变换1和31得到. uta > 0. ，且()是单位阶跃函数28 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变.
三角级数、傅里叶级数 对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开： 1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，…… 显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn…… 一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。 ? 傅里叶级数的复数形式 根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1， e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。 ? ? 傅里叶变换 周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt 与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度 Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础. 经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。 ? 连续频谱 周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对应Ω与-Ω处两根谱线. ?
时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2的频域对应 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平.当| a |趋向无穷 时，成为狄拉克δ函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交 换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质
7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这就是 卷积定理 9 变换8的频域对应。 [编辑]平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一 化的sinc函数11 变换10的频域对 应。矩形函数是 理想的低通滤波 器，sinc函数是 这类滤波器对反 因果冲击的响 应。
12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变 换是他本身.只 有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式
20 J0(t)是0阶第 一类贝塞尔函 数。 21 上一个变换的推 广形 式; T n(t)是 第一类切比雪夫 多项式。 22 U n(t)是第二类 切比雪夫多项 式。 [编辑]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分 布.这个变换展示了狄拉 克δ函数的重要性：该函 数是常函数的傅立叶变换24 变换23的频域对应
25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.
（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，
②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
傅里叶变换 维基百科，自由的百科全书 傅里叶变换（Transformée de Fourier ）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 中文译名 Fourier transform 或Transformée de Fourier 有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅里叶变换”、“傅氏变换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的 目录 1 中文译名 2 应用 3 概要介绍 4 基本性质 4.1 线性性质 4.2 频移性质 4.3 微分关系 4.4 卷积（Convolution ）特性 4.5 帕塞瓦尔定理 5 傅里叶变换的不同变种 5.1 连续傅里叶变换 5.2 傅里叶级数 5.3 离散时间傅里叶变换 5.4 离散傅里叶变换 5.5 在阿贝尔群上的统一描述 5.6 时频分析变换 5.7 傅里叶变换家族 6 常用傅里叶变换表 6.1 函数关系 6.2 平方可积函数 6.3 分布 6.4 二元函数 6.5 三元函数 7 参见 8 参考资料 9 注释 傅里叶变换族拉普拉斯变换Z 变换 傅里叶级数傅里叶变换 连续傅里叶变换离散傅里叶级数离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换快速傅里叶变换分数傅里叶变换短时距傅里叶变换小波分析 离散小波变换
典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。 概要介绍 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 傅里叶变换属于谐波分析。 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））。 基本性质 线性性质 两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数和的傅里叶变 换和都存在，α和β为任意常系数，则；傅里叶变换算符可经归一化成为么正算符； 频移性质 若函数存在傅里叶变换，则对任意实数ω 0，函数也存在傅里叶变换，且有 。式中花体是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果 （复函数），e 为自然对数的底，i为虚数单位； 微分关系 若函数当时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有 ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子iω。更一 般地，若，且存在，则 ，即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子(iω)k。 卷积（Convolution）特性 若函数及都在上绝对可积，则卷积函数的傅里叶变换存在，且。卷积性质的逆形式为 ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。 帕塞瓦尔定理
附录A 拉普拉斯变换及反变换 .
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. 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
感谢数学手册
傅里叶变换 1. 傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数（简称傅氏级数）是由正弦函数和余弦函数项组成的三角函数。 周期为T 的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里克雷条件： 1) 在一个周期内只有有限个不连续点； 2) 在一个周期内只有有限个极大和极小值点； 3) 积分/2 /2 ()T T f t dt -? 存在， 则f(t)可展开为如下傅氏级数： 011 ()(cos sin ) 2n n n f t a a n t b n t ωω∞ ==++∑ （F-1） 式中系数 n a 和 n b 由下式给出： /2 /22()cos ;(0,1,2,...,)T n T a f t n tdt n T ω-==∞? /2 /2 2()sin ;(0,1,2,...,)T n T b f t n tdt n T ω-==∞? 式中2/T ωπ=称为角频率 周期函数f(t)的傅氏级数还可以写为复数形式（或指数形式）： ()jn t n n f t a e ω∞ =-∞ = ∑ （F-2） 式中系数 /2 /2 1()T jn t n T a f t e dt T ω--=? 其中欧拉公式 cos sin j t e t j t ωωω=+ 如果周期函数f(t)具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有偶次谐波，则傅 氏级数中的某些项为0，系数公式可以简化，下表列出了具有几种对称性质的周期函数f(t)
2. 傅里叶积分和傅里叶变换 任一周期函数只要满足狄里克雷条件，便可以展开为傅氏级数，对于非周期函数，因为其周期T 为趋于无穷大，不能直接用傅氏级数展开，而要做某些修改，这样就引出了傅里叶积分。 若f(t)为非周期函数，则可视它为周期T 为趋于无穷大，角频率02/T ωπ=趋于0 的周期函数，这时，在傅氏级数展开式中，各个相邻的谐波频率之差00 (1)n n ωωω?=+-便很小，谐波频率 n ω须用一个变量ω代替【注意，此处ω不同于（F-1）所述的角频率】。 这样，式（F-2）便可改写为： ()j t n f t e ωω α∞ =-∞ = ∑ （F-3） /2 /2 ()2T j t T f t e dt ωωωαπ--?=? 于是便得： /2 /2 /2 /2 1()[()][()]22T T j t j t j t j t n n T T f t f t e dt e f t e dt e ωωωωωω ππ∞ ∞ --=-∞=-∞--?==?∑∑?? 当T —>∞时，ω?—>d ω，求和式变为积分式，上式可写为： 1()[()]2j t j t f t f t e dt e d ωωω π ∞∞ --∞-∞ = ?? （F-4） 若令 ()()j t F f t e dt ωω∞ --∞ = ? （F-5） 1()()2j t f t F e d ωωω π ∞ -∞ = ? （F-6）
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）