行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3
=-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2
)
1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
??????
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
(6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2.
解逆序数为n(n-1) :
3 2(1个)
5 2, 5 4 (2个)
??????
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
4 2(1个)
6 2, 6 4(2个)
??????
(2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2) (n-1个)
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解含因子a11a23的项的一般形式为
(-1)t a11a23a3r a4s,
其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是
(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4.计算下列各行列式:
(1)71100251020214
214; 解 71
1
02510202142140
1
00142310
20211021
473234
-----======c c c c 34)1(1431022110
14+-?---= 143102211014--=014
171720010
9932321
1=-++======c c c c .
(2)2605232112131412-; 解 26
5232112131412-26
0503212213041224--=====c c 0
412
03212213041
224--=====r r 00
00032122130
412
14=--=====r r . (3)ef
cf bf de cd bd ae
ac ab ---;
解 ef cf bf de cd bd ae
ac ab ---e c b e c b e c b adf ---=
a b c d e f a d f b c e 41
111111
11=---=.
(4)d
c b a 100110011001---. 解
d c b a 1
00110011001---d
c b a
ab ar r 10
011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+0
1011123-+-++=====cd c ad
a a
b d
c c
cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:
(1)111222
2b b a a b ab a +=(a -b )3;
证明
1112222b b a a b ab a +001
2222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a
b a b a b a ab 22)1(2
221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y z
y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;
证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx
az bz ay by ax +++++++++
bz ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz ay y x by ax x z bx
az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22
z y x y x z x
z y b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b a )(33+=.
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
22222222
2222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明
2
222222222222
222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5
232125232125232125
232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)
02
212221222122
2122222=++++=d d c c b b a a . (4)4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a )
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a
d a c a b ---------=
)
()()(1
11))()((2
22a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=
)
)(())((001
11))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------=
)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ). (5)1
22
1
1 000 0
0 10
00 01a x a a a a x x x
n n n
+?
??-????????????????
?????-???--- =x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n .
证明 用数学归纳法证明.
当n =2时, 2121
221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ? ? ? +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有 1
1
1
00 100 01
)1(11-?????????????????????-???--+=+-x
x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.
6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转, 依次得
n nn n a a a a D 11111 ???????????????=, 11112 n nn n a a a a D ???????????????= , 11113 a a a a D n n
nn ???????????????=,
证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==, D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ), 所以 n
nn n n n n
nn
n a a a a a a a a a a D 221
1
111
111111 )1( ??????????????????-=???????????????=-
???=?
????????????????????--=-- )1()1(331
1
221
11121n
nn n n
n n n a a a a a a a a D D n n n n 2
)1()1()2( 21)1()1(--+-+???++-=-=.
同理可证 nn
n n n n a a a a D ???????????????-=- )1(11112
)1(2D D n n T n n 2)
1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2
)1(22
)1(3)1()
1()
1()1(.
7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):
(1)a
a
D n 1
1?
??=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素
都是0; 解
a
a a a a D n 0 0010 000 00 00
0 00
10 00?????????????????????????????????=(按第n 行展开) )
1()1(1
0 0
0 0
0 00
0 001
0 000)1(-?-+?
?????????????????????????????-=n n n a
a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a
n n n n
n a a a
+?
??-?-=--+)
2)(2(1
)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).
(2)x
a a
a x a a a x
D n ?????????????
????????= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 a
x x a a
x x a a x x a a
a a x D n --??????????????????--???--???=00
0 0 00 0
, 再将各列都加到第一列上, 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1
1
1 1 )( )1()( )1(1
1
11???-?
????????-?
?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n
n n ; 解 根据第6题结果, 有 n
n
n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()( )1( 11
1
1)1(1
112)1(1-???--?????????-?
?????-???-???-=---++
此行列式为范德蒙德行列式.
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=112
)1()]([)1(j i n n n j i
∏≥>≥++???+-++-?
-?-=1
12
1
)1(2
)1()()1()1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=1
1)(j i n j i .
(4)n
n
n
n
n d c d c b a b a D ????????????=
1
1112; 解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ?
?????
??????=
1
1112(按第1行展开) n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111
----?
???????????=
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+?
?????
??????-+. 再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 222)(.
而 11111
11
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 1
2)(. (5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 0
4
321
4 0123
3 10122 2101
1 3210)d e t (???----??????????????????-???-???-???-???==n n n n n n n n a D ij n 0
4321 1 11111 11111 1111
1 1111 2132???----????????????????
?????----???---???--???--???-=====n n n n r r r r
1
5242321 0 22210 02210 0021
0 0001 1213-???----????????????????
?????----???---???--???-+???+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)n
n a a a D +??????????????????+???+=1 1
1 1 111
1
12
1, 其中a 1a 2 ? ? ? a n
≠0.
解
n
n a a a D +??????????????????+???+=1 1
1 1 111
1
12
1 n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-??????????????????????
?????-???-???-???-=====--10
0001 000 100 0
100 0100 00
113322
1
2132 1
1
1
1
3
1
2
1
121110
00011 000 00 110
00 011
00 001 ------+-???-????
???????????????????????-???-??????=n
n n a a a a a a a a
∑=------+?????????????????????????
??????????????=n i i n n a a a a a a a a 1
1
11
131******** 0001
0 000 00 100
00 01000 001
)11)((121∑=+=n
i i n a a a a .
8. 用克莱姆法则解下列方程组:
(1)?????=+++-=----=+-+=+++0112325322
4254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为 14211
2
1
3
5132
41211
111
-=----=D , 142112
105132412211151-=------=D , 28411
2
3
512241211
15
12-=-----=D , 42611013
5
232
42211511
3-=----=D , 1420
21321322121
5
11
14=-----=D , 所以 111==
D
D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D D
x .
(2)??
?
????=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为 6655
10006510006510
0651
00065==D , 1507510016510006510
00650
000611==D , 11455101065100065000
0601000152-==D , 703511006500006010
00051
001653==D , 3955
1
00060100005100
0651
010654-==D , 2121
1
000
0510006510
0651
100655==D , 所以
66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 665
3954-=x , 6652124=x .
9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组?????=++=++=++0
200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非
零解？
解 系数行列式为
μλμμμλ-==1
21111
1D .
令D =0, 得 μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组?????=-++=+-+=+--0)1(0
)3(20
42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011124
31111132421D
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
?????++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:
?
???
?????? ?
?=???? ??221321323513122y y y x x x ,
故 ???? ?????? ?
?=???? ??-3211
221323513122x x x y y y ?
???
?????? ??----=321423736947y y y ,
?????-+=-+=+--=321332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
?????++=++-=+=321332123
11542322y y y x y y y x y y x ,
?????+-=+=+-=3
233122
11323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.
解 由已知
???? ?????? ?
?-=???? ??221321514232102y y y x x x ???
?
?????? ??--???? ??-=32131
010
201
3514232102z z z ???
?
?????? ??----=321161109412316z z z ,
所以有?????+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设???? ??--=111111111A , ????
??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .
解 ????
??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB
????
??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503,
???
?
??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T .
4. 计算下列乘积:
(1)???
?
?????? ??-127075321134;
解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374????
??=49635.
(2)???
?
??123)321(;
解 ???
?
??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10).
(3))21(312-???
?
??;
解 )21(312-????
?????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2???
?
??---=6321
42. (4)????
? ??---??? ??-20
4
131210131
43110412 ; 解 ????
?
??---??? ??-20
4
131210131
43110412??? ??---=6520876. (5)????
?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
???
?
?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)???
?
??321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设??? ??=31
21A , ??
? ??=2101B , 问:
(1)AB =BA 吗?
解 AB ≠BA .
因为??? ??=6443AB , ??
? ??=8321BA , 所以AB ≠BA .
(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.
因为??? ??=+52
22B A , ??? ????? ?
?=+52
22
52
22)(2B A ??
? ??=2914148,
但 ??? ??+??? ??+??? ??=++43011288611483222B AB A ??? ??=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
因为??? ??=+52
22B A , ??
? ?
?=-1020
B A ,
??
? ?
?=??? ?
???? ??=-+9060
102052
22))((B A B A ,
而 ??
? ??=??? ??-??? ??=-71
8243011148322B A ,
故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;
解 取??
? ??=00
10A , 则A 2=0, 但A ≠0.
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
{教育管理}工程数学线性代数课后答案同济五版
第五章相似矩阵及二次型 1.试用施密特法把下列向量组正交化: (1) ; 解根据施密特正交化方法, , , . (2) . 解根据施密特正交化方法, , , . 2.下列矩阵是不是正交阵: (1); 解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵. (2) . 解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3.设x为n维列向量,x T x=1,令H=E-2xx T,证明H是对称的正交阵.证明因为 H T=(E-2xx T)T=E-2(xx T)T=E-2(xx T)T =E-2(x T)T x T=E-2xx T,
所以H是对称矩阵. 因为 H T H=HH=(E-2xx T)(E-2xx T) =E-2xx T-2xx T+(2xx T)(2xx T) =E-4xx T+4x(x T x)x T =E-4xx T+4xx T =E, 所以H是正交矩阵. 4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵. 证明因为A,B是n阶正交阵,故A-1=A T,B-1=B T, (AB)T(AB)=B T A T AB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交阵. 5.求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解, 故A的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量. (2); 解,
故A的特征值为λ1=0,λ2=-1,λ3=9. 对于特征值λ1=0,由 , 得方程Ax=0的基础解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9,由 , 得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T,向量p3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量. (3). 解, 故A的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,0,0,-1)T,p2=(0,1,-1,0)T,向量p1和p2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1,由 ,
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个)
第四章向量组的线性相关性 1.设v 1=(1,1,0)T ,v 2=(0,1,1)T ,v 3=(3,4,0)T ,求v 1?v 2及3v 1+2v 2?v 3. 解v 1?v 2=(1,1,0)T ?(0,1,1)T =(1?0,1?1,0?1)T =(1,0,?1)T . 3v 1+2v 2?v 3=3(1,1,0)T +2(0,1,1)T ?(3,4,0)T =(3×1+2×0?3,3×1+2×1?4,3×0+2×1?0)T =(0,1,2)T . 2.设3(a 1?a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ),求a ,其中a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,?1,1)T . 解由3(a 1?a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1321a a a a ?+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(36 1T T T ??+==(1,2,3,4)T . 3.已知向量组 A :a 1=(0,1,2,3)T ,a 2=(3,0,1,2)T ,a 3=(2,3,0,1)T ; B :b 1=(2,1,1,2)T ,b 2=(0,?2,1,1)T ,b 3=(4,4,1,3)T , 证明B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示. 证明由
???????????=312123111012421301402230) ,(B A ???? ?????????????971820751610402230421301 ~r ????????????????531400251552000751610421301 ~r ???? ???????????000000531400751610421301 ~r 知R (A )=R (A ,B )=3,所以B 组能由A 组线性表示. 由 ???????????????????? ???????????????=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2.因为R (B )≠R (B ,A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4.已知向量组A :a 1=(0,1,1)T ,a 2=(1,1,0)T ; B :b 1=(?1,0,1)T ,b 2=(1,2,1)T ,b 3=(3,2,?1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由 ,??? ?????????????????????????=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B 知R (B )=R (B ,A )=2.显然在A 中有二阶非零子式,故R (A )≥2,又R (A )≤R (B ,A )=2,所以R (A )=2,从而R (A )=R (B )=R (A ,B ).因此A 组与B 组等价.
同济版 工程数学-线性代数第五版答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个)
第五章相似矩阵及二次型 1.试用施密特法把下列向量组正交化: (1);??? ?????=931421111) , ,(321a a a 解根据施密特正交化方法, ,??? ?????==11111a b ,??? ??????=?=101],[],[1112122b b b a b a b .??? ??????=??=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2).???? ?????????=011101110111) , ,(321a a a 解根据施密特正交化方法, ,???? ???????==110111a b ,???? ???????=?=123131],[],[1112122b b b a b a b .???????????=??=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
2.下列矩阵是不是正交阵: (1);?????? ???????????121312112131211解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵.(2).?????? ??????????????979494949198949891解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3.设x 为n 维列向量,x T x =1,令H =E ?2xx T ,证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E ?2xx T )T =E ?2(xx T )T =E ?2(xx T )T =E ?2(x T )T x T =E ?2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E ?2xx T )(E ?2xx T ) =E ?2xx T ?2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E ?4xx T +4x (x T x )x T =E ?4xx T +4xx T
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - ; 解 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2) b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3) 2 2 2 1 1 1 c b a c b a ; 解 2 2 2 1 1 1 c b a c b a =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y3-(x +y)3-x3 =3xy(x +y)-y3-3x2 y -x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n); 解 逆序数为 2)1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n) (2n -2) ? ? ? 2. 解 逆序数为n(n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详 解 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2 ( 4) 3 0( 1) ( 1) 11 8 1 3 2 ( 1)8 1 (4)(1) 24 816 4 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3 (x y ) 3 x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各 排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n ) (2n 2) 2