第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；
第七章第1节力教案
板书 第八章力 新课讲授观看图片，引导学生 要想分析什么是力，首先让我们看看以下这些情 况中，有没有“力”的存在？ 人推车过程中，有力存在吗？ 谁用力了？ 谁受了力？ 学生思考，并回答 有。 工人。 车。 举出示例， 归纳分析。 练习施力 物体和受 力物体的 识别。 除了人可以施加力，其他物体也可以对别的物体 施力…… 展示图片，引导 在物理学中，我们把生活中说的推、拉、提、举、 吸引等概括为作用。前面的物体施加力称为施力 物体，后面的物体受到力称为受力物体。所以力 就是物体对物体的作用。 板书 第一节力 一、力是物体对物体的作用。 力用符号 F 表示。 单位牛顿，简称牛，符号N。 简单介绍牛顿 学生思考，并回答 聆听 聆听 通过大量 事例，概括 力的概念。 明确有关 力的各种 概念
引导、讲授 如何简单方便的描述力呢？物理学中常用力的示意图的方式。 画力的示意图的要领：确定受力物体、力的作用点和力的方向，从力的作用点沿力的方向画一条线段，在线段的末端画一个箭头表示力的方向，线段的起点或终点表示力的作用点，在同一图中，力越大，线段应越长。 还可在力的示意图旁边用数值和单位标出力的大小，把力的三要素都表示出来。 板书 四、力的示意图 提问 我现在手中有一块磁铁和一块铁块，分别放在两个相同的小车上，将两个小车离开一定距离放手，会出现什么现象呢？ 演示实验 观察到什么现象？ 这说明什么呢？ 我们再做一个实验，请一个同学来帮忙。 演示实验学生思考、讨论、 不相同。（举例说 明） 改变大小；改变方 向； 参与实验 学生思考，回答 不相同 与力作用点位置 有关 聆听 学习物理 要求 形成良好 规范
高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 2017八年级物理下第七章第一节力课堂练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中物理八下7.1 一．选择题（共11小题） 1．用绳子系住水桶，手握住绳子从井中提水，手受到竖直向下的拉力，此拉力的施力物体是（） A．地球B．水桶C．绳子D．手 2．关于力的概念，下列说法中错误的是（） A．力是物体对物体的作用 B．物体受力的同时也一定在施力 C．力是改变物体运动状态的原因 D．只有接触的物体才能产生力的作用 3．小红和小明站在冰面上静止．小明在后面推了小红一下，使小红向前滑去，同时，小明后退，这个现象不能说明（） A．力可以改变物体的运动状态 B．力的作用效果与力的方向有关 C．力的作用效果与力的作用点有关 D．物体间力的作用是相互的 4．如图是同一弹簧两次受力的情景．通过此实验可以探究力的作用效果与力的（） A．大小有关 B．作用点有关 C．方向有关 D．大小、方向、作用点都有关 5．下列过程中，有一个力的作用效果与其它三个不同类，它是（）A．水总是由高处向低处流 B．进站的火车受阻力缓缓停下 C．橡皮泥上留下漂亮指印 D．小铁球受旁边磁铁吸引会转弯 6．如图所示，用扳手拧紧螺母时，以同样大小的力分别作用在a、b、c点，关于力的作用效果，下列说法中正确的是（） A．作用在a点时，力的作用效果最明显 B．作用在b点时，力的作用效果最明显 C．作用在c点时，力的作用效果最明显 D．作用在a、b、c三点时，力的作用效果是相同的 7．王明同学用力提一桶水时，他对水桶施加一个提力，同时水桶对王明的手也施加一个拉力，则这两个力的三要素（） A．完全相同 B．大小、方向都相同，作用点不同 C．大小相同，方向和作用点都不同 D．作用点相同，大小、方向都不同 8．在足球场上，优秀运动员的脚踢在球的恰当的位置，球会划过一道弧线飞转过守门员而使球进入球门，这就是所谓的“香蕉球”．这里的：“恰当的位置”，从力的三要素分析是指力的（） A．大小B．方向C．作用点D．以上都是 9．黔东南州2015年“5?1”期间，各县市都在开展各种丰富多彩的健民活动，如图所示为凯里体育馆旁甲乙两队进行拔河比赛的情景，其中乙队取胜，甲乙两队的拉力（） 高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1 A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即 第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1． 数项级数敛散性； 2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数； 4． 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令121 n n n k k s u u u u ==+++=∑ ，若lim n n s s →∞ =，则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛， 若不然，则称 1 n n u ∞ =∑发散； 2．绝对收敛：若1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为绝对收敛； 3. 条件收敛：若 1 n n u ∞ =∑发散，而 1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛； 二 基本结论 1．级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞ =。 2. 等比级数1 n n aq ∞ =∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 3. p 级数 11 p n n ∞ =∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法 1．正项级数敛散性的判别方法 （1）比较判别法： 一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑ 发散。 极限形式：如果0n v ≠，且 lim n n n u l v →∞=， （I ）当0l <<∞时，则 1n n u ∞ =∑和 1 n n v ∞ =∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则 1 n n v ∞ =∑收敛， 1 n n u ∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则 1 n n u ∞ =∑发散， 1 n n v ∞ =∑也发散。 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 八年级物理第七章第一节《力》教学设计 【教学目标】： 知识与技能： 1、知道力的概念和单位。 2、知道力的作用效果。 3、知道力的三要素，能用示意图表示力。 4、知道物体间力的作用是相互的，并能解释有关现象。 过程与方法： 1、通过活动和生活经验感受力的作用效果。 2、利用物体间力的作用是相互的培养学生利用物理知识解决实际问题的能力。 情感、态度与价值观： 1、通过日常生活中多种力的现象激发学生的学习兴趣和求知欲望。 2、通过实验探究，增强学生之间的协作意识，体验成功的喜悦。 【教学重点】：1、力的作用效果。2、力的示意图。 【教学难点】： 1、力可以改变物体的运动状态 2、认识物体间力的作用是相互的，并解释有关现象。 【教学准备】：橡皮筋、气球、钢尺、海绵、塑料瓶、磁铁、小车、铁架台、激光笔 【教学过程】： 一、创设情境，导入新课 同学们，大家现在来进行一个小比赛，请前后桌同学扳手腕，比一比谁能取得胜利。 请问这位赢了的同学，你是因为什么原因才能取得胜利？（力气大）那么，在物理学中力到底是什么呢？这节课我们一起来学习。（板书课题） 二、新课教学 （一）学习活动一：力 1、出示学生班级大扫除的图片，请同学指出哪些过程用到了力。抽学生回答后提问：是不是只有人能产生力？ 2、出示图片（推土机推土，磁铁吸引铁钉，马拉车，压路机压路），引导学生总结归纳出力是物体对物体的作用。指出力的符号和单位。 3、请同学指出下列图片中施力物体和受力物体分别是什么。 4、通过刚才的活动，老师还有几个问题，大家交流讨论后告诉老师。 （1）一个物体能不能产生力？ （2）物体不相互接触能不能产生力呢？ （3）相互接触的物体一定产生力的作用吗？ 5、教师演示实验：磁体同名磁极间相互排斥力推动小车运动。 得出结论：不相互接触的物体也能产生力。 请同学想一想还有哪些不相互接触产生力的例子。 （二）学习活动二：力的作用效果 1、现在我们认识了力，请同学们利用桌子上的器材设计一些物体对物体的作用而产生力的实验。要求：各组同学先设计出实验方案，再进行实验，细心观察实验现象并记录。 2、各组同学完成实验，教师巡视指导，帮助有困难的小组。 3、抽学生上台表演，并说出观察到的现象：橡皮筋伸长，海绵变形，气球压扁，由运动变为静止，由静止变为运动，运动方向改变。 请同学将它们分类，归纳总结出：（橡皮筋伸长，海绵变形，气球压扁）这些是改变了物体的形状。（由运动变为静止，由静止变为运动，运动方向改变）这些是改变了物体的运动状态。 4、小试身手：指出下列现象中，哪些物体的运动状态发生了变化，把它的序号填入括号中（）1、停在站内的汽车 2、从站内开出的火车，速度在逐渐增大 3、行驶的汽车遇到紧急情况刹车停住 4、被起重机吊起的重物匀速上升 5、正在转弯的汽车 总结得出静止和匀速直线运动时运动状态不变。 5、出示图片，提问：有力存在吗？从哪里判断出来？（我们可以通过力的作用效果判断力的存在，这里体现了转换法） 6、教师用力压桌面，提问：有没有施加压力？有没有作用效果？教师演示实验，说明桌子发生了形变，只是形变非常微小，用眼睛观察不到。 （三）学习活动三：力的三要素和力的示意图 1、出示图片，学生观察到杆的形变程度不一样，那么，力的作用效果与什么因素与关系呢？ 2、请同学们完成下列小实验，认真观察现象。（控制变量法） （1）分别用大小不同的力朝一个方向弯小钢尺； （2）分别用大小相同的力朝上和朝下弯折钢尺； （3）分别用大小相同的力在不同部位朝下弯折钢尺。 3、抽同学说出各个小实验中观察到的现象，并分析得出可以影响力的作用效果的三要素：大小、方向、作用点。 4、用图像描述一个力的三要素时，更简单、直观。请同学们观看微课，总结出方法。 第十二章 数 项 级 数 教学目的：（1）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（2）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy 、D`Alembert 判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（3）理解Leibniz 级数，熟练利用Leibniz 级数，Abel 、Dirichlet 判别法判别一般级数的敛散性。 教学重点：上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。 教学难点：判别法的应用。 主要教学方法：充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。 §1 级数的收敛性 1． 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1。 又如， +-++-+)1(1)1(1。 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为：∑∞ =1 n n u ，或 ∑n u 。 2． 级数的收敛性 同济第六高等数学教案 版无穷级数 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98- 第十一章无穷级数教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 第一节 力 教案 【教学目标：】 1、知识与技能： (1)知道力的概念和力的单位。 (2)知道力的三要素，能用示意图表示力。 2、过程与方法： (1)通过活动和生活经验感受力的作用效果。 (2)了解物体间力的作用是相互的，并能解释有关现象。 3、情感、态度与价值观： (1)在观察体验过程中，培养学生的科学态度。 (2)从力用三要素表示的事例中认识科学方法的价值。 【教学重点：】 1、力的概念和力的单位。 2、力的三要素，用示意图表示力。 【教学难点：】 1、力的概念 2、认识物体间力的作用是相互的，并解释有关现象。 【教学过程：】 一、引入新课 "力"这个字大家太熟悉了，同学们知道"力"字词语有多少呢？ 力量、力气、能力、…… 理解力、战斗力…… “给力” 力不从心、力所能及、身体力行、身强力壮、力争上游、四肢无力……在同学们说出的这么多"力"中，力的含义各不相同。在物理学中，"力"又是什么呢 ? 二、新课教学 1 、 力的定义 活动一：①请同学们用力拉弹簧、弯钢尺、压气球，感受力的出现。 ②把磁铁和一个铁块分别放在小车上，靠近，观察现象。 结合刚才的感受和实验，再结合生活中的一些力出现的场景，以及课本上的图12.4-2，完成右上表。 师引导学生举出的事例，尽量效果各不相同。 师生分析上表得出：力是物体对物体的作用。 力的单位是 ，简称 ，符号 活动三：体会力的大小。手托物理课本的力大约是3牛。 补充例子：托起两个鸡蛋所用的力大约为1N ；成年男子右手的握力大约是700N ；一个质量是40kg 的同学对地面的压力大约是400N 等等。 分析强调：力不能离开物体而存在；力的出现最少的有两个物体，这两个物体分别叫施力物体和受力物体。并且是同时存在的。 力作用时物体一定必须接触吗？不一定。 2、力的作用效果 活动二：小组讨论，上面的事例中力产生的效果分别是什么？分组回答 总结：力可以使物体发生形变。 力可以使物体运动状态发生改变。 要特别说明运动状态中的两方面：运动速度，运动方向。 脚 磁铁 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 高数第七章无穷级 数知识点 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1 n n U 与 ∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 第 十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 微积分第七章无穷级 数 第七章无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本 性质和收敛的必要条件。 （2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。 （3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4）会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10）掌握函数?Skip Record If...?的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在?Skip Record If...?上的函数展开成傅氏级数，会将定义在?Skip Record If...?上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和 的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数?Skip Record If...?收敛于和s，则级数?Skip Record If...?也收敛，且其和为ks．(证明) 性质2：若级数?Skip Record If...?、?Skip Record If...?分别收敛于和s、σ，则级数?Skip Record If...?也收敛，且其和为s±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数?Skip Record If...?收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 第十二章数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 §1 级数的收敛性 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数; 通项( 一般项, 第项), 前项部分和等概念( 与中学的有关概念联系). 级数常简记为. 2.级数的敛散性与和: 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余 和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！） 解时, . 级数收敛; 时, 级数发散; 时, , , 级数发散; 时, , , 级数发散 . 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为( 注意从0开始). 例2讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3讨论级数的敛散性. 解设, , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数的敛散性. 解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系: 对应部分和数列{}, 收敛{}收敛; 对每个数列{}, 对应级数, 对该级数, 有=. 于是,数列{}收敛级数收敛. 可见, 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系: , 其中. 无穷积分可化为级数; 对每个级数, 定义函数, 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 综上所述, 级数和无穷积分可以互化, 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 人教版八年级物理下 册第七章第一节教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 力 —新授课 ★整体设计说明★ 本节课由生活中常见的力学现象引出力是什么的问题。然后根据力的作用效果来进一步认识力，明确力不能离开物体而存在。通过列举日常生活中的例子明确力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。最后介绍力的三要素，明确力的作用效果与力的三要素有关。 ★教材分析★ 本节课由力的概念、力的作用效果、力的三要素、力的示意图以及力的作用是相互的这五部分组成。这些内容是初中力学的基础，为后面的学习做了铺垫，重要性可见一斑。 ★教法建议★ 本节课的内容丰富，力是一个很抽象的概念，教材强调从力的作用效果去认识力、感受力，从而使抽象的问题具体化。因此要围绕“力的作用效果”这个中心组织教学。同时，让学生根据所熟知的生活中的事实，列举相关实例，充分利用学生的感受和体验去上好这节课。 ★学情分析★ 力学教材中很多内容学生已具有比较丰富的感性认识，这对教学是有利的。但实践又证明，学生在学习力学时，头脑中存在着较多的先入为主的错误认识，特别是关于力的概念以及力和运动之间的关系，如：1．只有有生命的人或动物才能施加力，或认为只有某些物体才能施力；2．力的作用是单方面的，如认为“地球吸引人，人不吸引地球”；3．相互接触的物体间才有力的作用；4．只有在力的作用下，物体才能运动等。这些已具有的“经验”在教学中会干扰学生形成正确的概念，再加上初中学生的辨识能力及抽象思维能力相对薄弱，也给力的概念的形成带来了一定的困难。 ★学法指导★ 阅读法、事例法，学生结合了生活经验后会有大量的关于力的作用效果的例子，所以完全可以通过学生举出例子来进行分析进而推出力的三要素，并结合光线的处理得出力的示意图这一处理抽象概念的方法。力学的知识看似比较 第七章 无穷级数(无穷离散量之和的数学模型) 无穷级数的理论在高等数学中占有重要地位。它是与数列、极限密切相关的一个概念，它几乎与微积分同时诞生，牛顿就曾把二项式级数作为研究微积分的工具；为了解决微积分诞生时混乱的逻辑基础，拉格朗日也曾试图用无穷级数重建微积分理论，但由于当时对无穷级数认识的粗糙性，均未获成功。无穷级数之所以难以捉摸是由于它与无穷（或无限）纠缠在一起。随着运动和变量进入数学，无穷这个孪生鬼怪也同时降生，当时的数学家尽量避免无限，免得像阿基里斯追不上兔子一样困惑恼人。直到19世纪中叶，才由大数学家Cauchy 揭开了无限的面纱，建立起无穷级数的严格理论。 所谓无穷级数就是无穷多个数或函数之和，它是研究无限离散量之和的数学模型，是人们认识客观事物间数量关系的一个很重要的数学工具，是数学分析的重要内容之一，是现代数学的重要方法已被广泛应用到了数学自身，以及自然科学和社会科学的各个领域。它是高等数学中研究函数性质的一个重要工具，它可以表达一个函数（或数），也可以将一些复杂的量表示成简单量的无穷和，从而得到复杂量实用的近似计算公式。我们将利用无限与有限的辩证关系，以极限为工具建立级数理论。 我们将级数分为两大类来研究，常数项级数（也简称为数项级数）和函数项级数，我们先介绍数项级数。 §1 常数项级数的概念与性质 一、数项级数的概念 1、实例 已知线段AB ，设其长为S ，取A 1为AB 的中点，A 2为A 1B 的中点，…，依次取下去，A n 为A n-1B 的中点，则n 可无限增大，记各线段长度为 ,,,,,122111 n n n a A A a A A a AA ===- 则得各部分线段的长度数列 ,,,,21n a a a ， 其中S a n n 2 1=. 将这无穷多个数依次用加号连接，得到的应是线段的总长度表达式 ++++=n a a a S 21. 这里出现了无穷多个数依次相加的式子，在物理、化学等许多学科中，常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上给出其定义，即 2、定义1 设有数列}{n u ，则称式子 ++++n u u u 21 为（常数项）无穷级数，简称为（数项）级数，其中依次叫做级数的第1项，第2项，…，u n 又叫做级数的一般项或 通项，利用通项级数可简记为∑∞ =1 n n u ，即 ++++=∑∞ = n n n u u u u 211 . (1) 例如 +++++n 21814121——等比(或几何)级数， n n u 2 1=，即有 ∑=∞=121,21,,81,41,21n n n . ++++n 21 ， n u n =， 即有 ∑=++++= n n n n 1 21 . +-+-1111———波尔察诺级数， 1)1(+ -=n n u ， 即有 ∑-=+-+-∞=+1 1)1(1111n n . 注 我们只有有限多个数相加的定义，并没有无穷多个数相加的定义，因而上述定义只是形式上的定义，例如波尔察诺级数：八年级物理下第七章第一节力课堂练习
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