平方差公式练习题精选(含答案) 一、基础训练
1．下列运算中，正确的是（）
A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6 2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）
A．（x+1）（1+x）B．（1
2
a+b）（b-
1
2
a）
C．（-a+b）（a-b）D．（x2-y）（x+y2）
3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（） A．3 B．6 C．10 D．9
4．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）
A．5 B．-5 C．10 D．-10
5．9.8×10.2=________; 6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______．
9．（1
2
x+3）2-（
1
2
x-3）2=________．
10．（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；
（3）（x-2y）2；（4）（-2x-1
2
y）2．
11．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；
（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．
12．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，?小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，?验证了什么公式？
二、能力训练
13．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（）
A．4 B．2 C．-2 D．±2
14．已知a+1
a
=3，则a2+
2
1
a
，则a+的值是（）
A．1 B．7 C．9 D．11
15．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（）A．10 B．9 C．2 D．1
16．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（）
A．25x2-4y2B．25x2-20xy+4y2C．25x2+20xy+4y2D．-25x2+20xy-4y2 17．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．
三、综合训练
18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；
（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？
19．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．
20．观察下列各式的规律．
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
…
（1）写出第2007行的式子；
（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．
参考答案
1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，?而应是多项式乘多项式．
2．B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．
3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1），故能被10整除．
4．D 点拨：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．
5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．
6．（-2ab）；2ab
7．x2+z2-y2+2xz
点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，?然后运用完全平方公式．
8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
点拨：把三项中的某两项看做一个整体，?运用完全平方公式展开．
9．6x 点拨：把（1
2
x+3）和（
1
2
x-3）分别看做两个整体，运用平方差公式（
1
2
x+3）
2-（1
2
x-3）2=（
1
2
x+3+
1
2
x-3）[
1
2
x+3-（
1
2
x-3）]=x·6=6x．
10．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．
点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b．（3）x4-4xy+4y2；
（4）解法一：（-2x-
12y ）2=（-2x ）2+2·（-2x ）·（-12y ）+（-12y ）2=4x 2+2xy+14
y 2． 解法二：（-2x-12y ）2=（2x+12y ）2=4x 2+2xy+14y 2． 点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．
11．（1）原式=（4a 2-b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2-（b 2）2=16a 4-b 4．
点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，?先进行恰当的组合．
（2）原式=[x+（y-z ）][x-（y-z ）]-[x+（y+z ）][x-（y+z ）]
=x 2-（y-z ）2-[x 2-（y+z ）2]
=x 2-（y -z ）2-x 2+（y+z ）2
=（y+z ）2-（y-z ）2
=（y+z+y-z ）[y+z-（y-z ）]
=2y ·2z=4yz ．
点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．
12．解法一：如图（1），剩余部分面积=m 2-mn-mn+n 2=m 2-2mn+n 2．
解法二：如图（2），剩余部分面积=（m-n ）2．
∴（m-n ）2=m 2-2mn+n 2，此即完全平方公式．
点拨：解法一：是用边长为m 的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n 的正方形．
解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m-n ）?的正方形面积．做此类题要注意数形结合．
13．D 点拨：x 2+4x+k 2=（x+2）2=x 2+4x+4，所以k 2=4，k 取±2．
14．B 点拨：a 2+21a
=（a+1a ）2-2=32-2=7． 15．A 点拨：（2a-b-c ）2+（c-a ）2=（a+a-b-c ）2+（c -a ）2=[（a-b ）+（a-c ）] 2+（c-a ）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．
16．B 点拨：（5x-2y ）与（2y-5x ）互为相反数；│5x-2y │·│2y-5x │=（5x-?2y ）2?=25x 2-20xy+4y 2．
17．2 点拨：（a+1）2=a 2+2a+1，然后把a 2+2a=1整体代入上式．
18．（1）a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ．
∵a+b=3，ab=2，
∴a 2+b 2=32-2×2=5．
（2）∵a+b=10，
∴（a+b）2=102，
a2+2ab+b2=100，∴2ab=100-（a2+b2）．
又∵a2+b2=4，
∴2ab=100-4，
ab=48．
点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+）、ab、（a2+b2）?三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．
19．（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4），
（3x）2+2×3x·（-4）+（-4）2>（3x）2-42，
9x2-24x+16>9x2-16，
-24x>-32．
x<4
3
．
点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式．
20．（1）（2007）2+（2007×2008）2+（2008）2=（2007×2008+1）2
（2）n2+[n（n+1）] 2+（n+1）2=[n（n+1）+1] 2．
证明：∵n2+[n（n+1）] 2+（n+1）2
=n2+n2（n+1）2+n2+2n+1
=n2+n2（n2+2n+1）+n2+2n+1
=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1．
而[n（n+1）+1] 2=[n（n+1）] 2+2n（n+1）+1
=n2（n2+2n+1）+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
所以n2+[n（n+1）] 2+（n+1）2=[n（n+1）+1] 2．