5.3 直线与平面的夹角
课时目标 1.理解直线与平面的夹角的概念.2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角．
1．直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的________所成的角，其范围是__________，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中________的角．
2．直线和平面所成的角可以通过直线的____________与平面的__________求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin θ＝__________.
一、选择题
1．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 夹角的大小是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2.
如图所示，四面体SABC 中，SA →·SB →＝0，SB →·SC →＝0，SA →·SC →＝0，，∠SBA ＝45°，∠SBC ＝60°，M 为AB 的中点．则BC 与平面SAB 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．75°
3．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为( )
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．120°
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是()
A．等于90°
B．小于90°
C．大于90°
D．不确定
5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于()
A．30°B．60°
C．150°D．以上均错
6．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是()
A．30°B．60°C．150°D．90°
题号12345 6
答案
二、填空题
7.
如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．
8．正方形ABCD的边长为a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，则直线PB与平面PAC所成的角为________．
9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为2，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为________.
三、解答题
10.
如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值．
11.
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
能力提升
12.
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M.
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值．
13．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝1
2AB ，N 为AB 上一
点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；
(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．
直线与平面所成角的求法
(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面
5．3 直线与平面的夹角
知识梳理
1．射影 ????0，π
2 最小 2．方向向量 法向量 |cos φ|
作业设计 1．C
2．B [∵SB →·SC →＝0，SA →·SC →＝0，∴SB →⊥SC →，SA →⊥SC →
，即SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，又SB ∩SA ＝S ，
∴SC ⊥平面SAB ，∴∠SBC 为BC 与平面SAB 的夹角．又∠SBC ＝60°，故BC 与平面SAB 的夹角为60°.] 3．B
4．A [A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，故A 1B 1⊥MN ， 则MP →·MN →＝(MB 1→＋B 1P →)·MN → ＝MB 1→·MN →＋B 1P →·MN →＝0， ∴MP ⊥MN ，即∠PMN ＝90°. 也可由三垂线定理直接得MP ⊥MN .]
5．B [当直线l 的方向向量ν与平面α的法向量n 的夹角〈n ，ν〉小于90°时，直线l 与平面α所成的角与之互余．] 6．A [
如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系． 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a,0,0)，B (0，a,0)， C (－a,0,0)，P ?
???0，－a 2，a 2. 则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝????－a ，－a 2，a 2，CB →
＝(a ，a,0)． 设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)， 则cos 〈CB →
，n 〉＝CB →·n |CB →||n |
＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →
，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.] 7.45
解析 不妨设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x 轴垂直于AB )，
则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ??
??32
，－12，2，
则CD →＝????32，－12，2，CB 1→
＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，
由?????
n ·
CD →＝0，n ·
CB 1→＝0，解得n ＝(－3，1,1)．
又∵DA→＝
?
?
?
?
3
2
，－1
2
，－2，
∴sin θ＝|cos〈DA→，n〉|＝4
5.
8．30°
9.
π
6
解析在正三棱柱ABC—A1B1C1中取AC的中点O，OB⊥AC，则OB⊥平面ACC1A1，
∴∠BC1O就是BC1与平面AC1的夹角．
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，B
?
?
?
?
3
2
，0，0，
C1????
0，
1
2
，2，
OC1
→＝
?
?
?
?
0，
1
2
，2，BC1→＝
?
?
?
?
－3
2
，1
2
，2.
cos〈OC1
→，BC
1
→〉＝OC1
→
·BC1
→
|OC1
→
||BC1
→
|
＝
?
?
?
?
0，
1
2
，2·
?
?
?
?
－3
2
，1
2
，2
1
4
＋2×3
4
＋1
4
＋2
＝
9
4
33
2
＝3
2.
∴〈OC1
→，BC
1
→〉＝π
6
，即BC1与平面ACC1A1的夹角为π
6.
10．解如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，
则B(3,0,0)，D????
3
2
，2，4.
设P (3,0，z )，则BD →＝????－32，2，4，OP →
＝(3,0，z )． ∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →
＝－92＋4z ＝0，z ＝98
.
∴P ????3，0，9
8.∵BB ′⊥平面AOB ， ∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan ∠POB ＝9
83＝3
8
，
故OP 与底面AOB 所成角的正切值为3
8
.
11．解 由题设条件知，可建立以AD 为x 轴，AB 为y 轴，AS 为z 轴的空间直角坐标系(如图所示)．
设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，
D ????12，0，0，S (0,0,1)． ∴AS →
＝(0,0,1)， CS →
＝(－1，－1,1)．
显然AS →是底面的法向量，它与已知向量CS →
的夹角β＝90°－θ， 故有sin θ＝|cos β|＝|AS →·CS →
||AS →||CS →
|＝11×3＝3
3，
于是cos θ＝
1－sin 2θ＝
63
. 12．(1)证明 依题设，M 在以BD 为直径的球面上， 则BM ⊥PD .
因为PA ⊥底面ABCD ，AB
底面ABCD ，
则PA ⊥AB .
又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面PAD ， 则AB ⊥PD ，又BM ∩AB ＝B . 因此有PD ⊥平面ABM ，又PD 平面PCD .
所以平面ABM ⊥平面PCD . (2)解
如图所示，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)， P (0,0,4)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，D (0,4,0)，M (0,2,2)， 设平面ABM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥AB →，n ⊥AM →
可得?
????
2x ＝0，2y ＋2z ＝0，
令z ＝－1，则y ＝1，即n ＝(0,1，－1)． 设所求角为α，则sin α＝??????PC ·
n |P C →|·|n |＝223，
故所求的角的正弦值为22
3.
13.
(1)证明 设PA ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴正向建立空
间直角坐标系如图所示，
则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M (1,0，1
2)，
N (12，0,0)，S (1，1
2
，0)． 所以CM →
＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)．
因为CM →·SN →
＝－12＋12＋0＝0，
所以CM ⊥SN .
(2)解 NC →
＝(－12
，1,0)，
设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则?????
a ·
CM →＝0，a ·
NC →＝0，
即???
x －y ＋1
2z ＝0，
－1
2x ＋y ＝0.
令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．
因为|cos 〈a ，SN →
〉|＝??????a ·SN →|a |·|SN →|＝????
??－1－1
23×
2
2
＝22，所以SN 与平面CMN 所成的角为45°.